幾種思想方法在數學分析教學中的應用

2013-10-29 10:20:14肖應雄

湖北工程學院學報 2013年3期

肖應雄

（湖北工程學院數學與統計學院，湖北孝感432000）

數學分析是高等師范院校數學教育專業的一門重要基礎課。無論從知識結構的承前啟后，還是從能力的培養和思維品質的提高諸方面看，數學分析教學對師范生的成長都起著十分重要的作用。由于數學分析中概念、定理比較多，因而光靠死記硬背是行不通的。針對這一現象，為了準確地掌握概念、定理，并熟練運用它們，就此列舉了四種方法，即類比法、化歸法、變式法和圖象法。這些方法均可在數學分析課程教學中運用，包括在概念教學中的運用，在定理教學中的運用，在解題中的運用。在教學中巧妙地運用好這些方法，可以為學生探求知識發揮有效的作用。但也須注意，不可機械套用，把未經證明的結論當作真理。

1 類比法在數學分析教學中的應用

類比法（或稱類比推理法）是指根據兩個問題有一部分特征相類似，從而推出其他特征也可能相類似的一種推理方法。一般地，為了解決數學問題A，會聯想一個已經會解的與A有某些類似特征的問題B。于是推測：

1）問題A與問題B有某些類似的結論。

2）用解決問題B的類似辦法來解決問題A。

數學分析課程中能夠運用類比法思考的問題是很多的，教師在講授這門課時，不僅要傳授知識，培養學生邏輯推理、邏輯論證的能力，還要注重類比法的應用，以培養學生的探究能力，進而提高學生的創造思維能力。

1.1 類比法在概念教學中的運用

數學概念是數學對象本質屬性的抽象，因而概念的理解對于學生來說相對較難。而類比法非常具有啟發性，因而數學分析中的許多概念可以通過類比法引出并揭示它的本質。

例如，對于二元函數極限的概念，學生理解起來比較困難，但是，學生對一元函數極限卻比較熟悉。因而，可以在理解一元函數極限的基礎上去理解二元函數極限，它們都是利用ε，δ語言描繪變量的變化過程，因而可類比地表述為：

一元函數的極限：設函數f在點x0的某個空心鄰域U°（x0，δ）內有定義，A 為確定的實數。?ε＞0，?δ＞0，使得當x∈U°（x0，δ）時，有：｜f（x）－A｜＜ε，則稱函數f當x趨于x0時以A為極限，記作：（x）＝A

這種方法對概念的理解具有啟發性，有利于學生對概念的理解，從此提出新的問題。

1.2 類比法在定理教學中的運用

數學分析中有很多內容是定理的證明與公式的推導，其中有許多定理是可以做互相類比的。通過類比逐步引導學生引出新定理的內容，從而做出推理論證。例如函數極限的性質和柯西收斂準則可通過與收斂數列的性質和柯西收斂準則進行類比，引出它的全部性質。無窮限廣義積分通過與數項級數進行類比，引出它的全部斂散性理論。還有（x）g（x）dx與∑anbn都可用阿貝爾判別法判斷它們的收斂性。

1）若｛an｝為單調有界數列，且級數∑bn收斂，則∑anbn收斂。

2 化歸在數學分析教學中的運用

化歸，從字面上看，就是轉化和歸結的意思。化歸思想是指人們在研究問題時，把待解決的研究對象，通過某種轉化過程，把它歸結到另一類已經解決或比較容易解決的問題中去，最終使原問題得到解決的一種思維方法，是一種重要的數學思想方法。

化歸思想在解決數學問題時經常用到。對未解決的問題作轉化，使之歸結為已經解決的問題，從而達到化繁為簡、化難為易的目的，可以說解決數學問題的實質就是如何實現化歸。在解題教學中，化歸策略運用得當不僅可以使解題成功，而且有助于拓寬學生的視野，提高學生迅速解決問題的能力，培養學生的創新精神。

在數學分析解題中，化歸思想的運用有兩種形式：

1）判斷問題，若P、Q是互相等價的命題，則判定P可歸結為判定Q，反之亦然。

2）計算問題，若A、B是兩個相等的量，則計算A可歸結為計算B，反之亦然。

以上兩種化歸都是可逆的。在數學分析課程里，大量的數量關系都存在著可逆成分，因而數學分析中的很多問題都可以利用化歸思想來解決。在解題過程中，若按照思維的習慣陷入困境時，可把思維轉到另一逆方向，則更有利于問題的解決。但在具體運用時往往忽略這一方向的化歸，有時正是由于這一方向的化歸，往往會使人茅塞頓開，絕境逢生，使問題得到解決。