基于半正定約束的最差性能最優通用信號模型頑健波束成形算法

徐定杰，賀瑞，沈鋒

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引言

自適應波束成形技術廣泛應用于雷達、通信、聲吶、聲學以及醫學成像等眾多領域。在陣列導向矢量和協方差矩陣準確已知的情況下，自適應波束成形器能輸出最優的信號干擾噪聲比(SINR)。但在實際應用中，由于陣列校正誤差、未知傳感器互耦、近場波前失真、源擴展、相干和非相干的局部散射以及有限的采樣數據等因素的影響，使得實際的陣列導向矢量和協方差矩陣與其理想值之間存在誤差，嚴重影響了波束成形器的性能。

目前，研究者已經提出了很多頑健的自適應波束成形方法來解決上述問題，但這些算法大多是針對簡單的點信號源模[1~10]。而在一些實際應用中，如無線通信和聲納，由于相干和非相干散射(空間分布)或波前擾動的作用，天線陣列不能再將這些信號源作為點信號源，應當建模為具有一定中心角和角度擴展的空間分布式信號源。此時，需要利用高秩信號模型來描述信號散射和波前擾動的影響，而且通常利用信號的協方差矩陣來描述期望信號的陣列響應，而不是期望信號的導向矢量。因此，多數算法不能直接推廣到高秩信號模型。針對通用信號模型，文獻[11]提出了一種具有閉環形式解的頑健自適應波束成形算法，通過使期望信號和接收信號的協方差矩陣對所有可能的失配維持無畸變響應從而提高頑健性，即所謂的最差性能最優。但是求解過程中沒有考慮協方差矩陣的半正定特性，只是限制了失配約束參數必須小于協方差矩陣的最大特征值，而最優解的求取必須借助于約束參數。因此可能導致所求的解過于保守，無法獲得最優解。文獻[12]提出了一種基于迭代的頑健自適應波束成形算法，該算法附加了協方差矩陣的半正定約束，因此算法的性能有所提高。但是基于半正定規劃的問題必須在每次迭代中由內點方法求解，大大增加了算法的計算復雜度，制約了算法的實際應用。

本文針對通用信號模型，提出了一種新的頑健自適應波束成形算法。該算法基于期望信號和接收信號協方差矩陣的最差性能最優，并且考慮了協方差矩陣的半正定約束。通過對波束成形器進行建模和變換，得到了一種新的頑健自適應波束成形器的表達式，并且通過對波束成形器進行求解，得到了最優權矢量的近似閉式解，相對于文獻[12]中的迭代求解具有較低的計算復雜度并且更加接近于最優值。

2 通用信號模型

考慮一個傳感器陣列是由M個陣元組成的理想均勻線陣，則 1M×維的陣列接受信號為

其中， s( k)、 i( k )和 n ( k)分別表示統計獨立的期望信號、干擾信號和噪聲組成部分。陣列輸出為y( k ) = wHx ( k )，其中， w = ［ w , w , ? ? ?,w］T為加權

0 1M-1矢量， (? )T和(?)H分別表示矩陣的轉置和共軛轉置。陣列加權矢量w可以通過最大信干噪比準則獲得

其中，

分別為陣列期望信號的協方差矩陣和干擾加噪聲協方差矩陣。在點信號源模型下，期望信號s( k ) = s0( k)as，期望信號協方差矩陣其中， s0( k)為期望信號波形，為s0( k)的協方差，as為期望信號的導向矢量。在這種情況下，sR的秩為1，并且式(2)可以簡化為

但在一些實際應用中，如無線通信和聲吶中的非相干散射(空間分布)或具有波前擾動的信號源，天線陣列不能將這些信號源作為點源，應當建模成具有一定中心角和角度擴展的空間分布式信號源。在這種情況下，不能簡單地利用信號的導向矢量建模，sR可以表示為[13]

其中， ρ （ θ）為信號源空間角功率密度函數。因此，通用信號模型可以為點信號源或空間分布式信號源，稱 Rs為通用信號模型的協方差矩陣，它的秩為1到M之間的任意整數。通用信號模型下自適應波束成形算法可以表示為[11]

則自適應波束成形算法的最優權矢量optw 為

其中， p ｛ ?｝表示求矩陣的主特征矢量，即對應于最大特征值的特征矢量。

3 最壞情況下頑健自適應波束成形算法

在實際波束成形應用中，很難得到協方差矩陣sR和in+R 的真實值，一般用協方差矩陣的估計值和誤差來表示真實的協方差矩陣，假定具有如下關系

為了改善對于任意失配的頑健性，保證在最差失配條件下的無失真響應，基于最差性能最優的頑健波束成形算法可以表示為

該波束成形算法可以描述為在最差失配2Δ條件下保持期望信號的無失真陣列響應，同時在最差失配1Δ條件下的陣列輸出功率最小，因此該算法是基于最差性能最優準則的。通過文獻[11]中的處理方法，該問題可以簡化為

利用Lagrange乘數方法進行求解，該波束成形算法的最優解為

4 基于半正定約束的頑健自適應波束成形算法

由于算法(13)沒有考慮協方差矩陣的半正定約束，可能導致所求的解過于保守。因此，提出了一種基于半正定約束的頑健自適應波束成形算法

則式(16)可以等價的轉化為

其中，η為Δ的模約束參數且0η＞。

5 頑健波束成形算法的求解

為了對式(18)進行求解，首先要求解以下最小化問題

把目標函數展開，式(19)可轉化為

對于該最優化問題，最優解顯然取在約束集合的邊界上，因此不等式約束可以等價轉換為等式約束也可以表示為

對于該等式約束最優化問題，可以利用Lagrange乘數方法進行求解，其解可通過最小化如下函數獲得

其中，λ為Lagrange乘數。求式(22)關于Δ的梯度并令其為零，得

可得Δ的最優解為

運用矩陣求逆引理，式(24)可重新寫為

其中， tr （?）表示跡運算。由式(25)和式(26)，可以得到最差情況下的值，即

則最優化問題(18)可以等價轉換為

由于約束的括號中含有未知的參數w，因此很難利用Lagrange乘數方法求得最優的閉式解。由于=QHQ，則式(29)中的約束可等價地轉化為

即

則最優化問題(29)可近似為

由式(32)可以看出，新約束條件比原來的約束更為嚴格。可以證明，最優解發生在不等式約束的邊界上，因此式(33)與式(15)具有相似的形式，與文獻[11]中的求解方法類似，利用Lagrange乘數方法進行求解，該頑健自適應波束成形算法的最優解為

6 仿真分析

為了驗證所提出算法的頑健性、求解的正確性，進行了如下的仿真實驗。考慮陣元數為20，陣元間隔為半個信號波長的理想均勻線陣。假設期望信號和干擾信號都為非相干散射源，其角功率密度分別服從高斯分布和均勻分布，中心波達方位角分別為30°和 30-°，方位角角度擴展方差都為4。假定期望信號的角功率密度也服從高斯分布，但中心波達方位角和角度擴展方差分別為32°和6。此外，干擾信號功率和空間白噪聲功率分別為20dB和0dB。所有的實驗結果均由200次Monte-Carlo實驗平均所得，并將其與對角加載算法LSMI (diagonally loaded sample matrix inversion)、文獻[11]和文獻[12]提出的進行比較。其中，對角加載因子 30r= ，模約束參數ε和η分別設為文中使用MATLAB CVX工具箱對文獻[12]中的迭代算法進行求解。

圖1給出了不同輸入SNR對輸出SINR性能的影響。顯然，本文提出的方法和文獻[12]中的算法要優于文獻[11]中的算法，這是由于附加了協方差矩陣的半正定約束，提高了算法的性能。而本文提出的方法又要優于文獻[12]中的迭代算法，這是因為本文提出的方法得到了權矢量的閉式解，該解更加接近權矢量的最優解。隨著 SNR的增加，只有LSMI算法的輸出SINR增加緩慢，并且性能最差。

圖1 輸出SINR相對于輸入SNR的變化

圖 2給出了不同快拍數對波束成形器輸出SINR的影響。從圖中可以看出，本文提出的方法在快拍數變化時有著比較穩定的輸出SINR，并且優于文獻[11]和文獻[12]中算法的性能。同樣，由于附加了協方差矩陣的半正定約束，文獻[12]中算法輸出的SINR要高于文獻[11]中的算法。LSMI算法輸出的SINR最低，逐漸接近15dB。

圖2 輸出SINR相對于快拍數的變化

7 結束語

針對傳統波束成形算法在通用信號模型下的局限性，提出了一種基于半正定約束的通用信號模型頑健波束成形算法。該算法利用協方差矩陣的半正定約束，提高了算法的頑健性。通過對波束成形器進行變換和求解，得到了最優權矢量的近似閉式解，具有較低的計算復雜度。計算機仿真結果也驗證了所提算法的正確性和有效性。

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