基于OFDM循環前綴LS信道估計的構造方法

趙旺興，萬群，陳章鑫

（電子科技大學 電子工程學院，四川 成都 611731）

1 引言

正交頻分復用技術被認為是下一代4G或B3G無線通信系統中最關鍵的技術之一。該項技術的優勢在于它可將一段固定頻譜分隔成相互正交的子頻帶，提高了頻譜資源利用率。同時，子頻帶可將小尺度衰落分割成平坦衰落，從而有效對抗多徑衰落如頻率選擇性信道影響。結合在接收端通過信道估計和均衡，相對于單載波調制系統具有更好的傳輸效率。

在系統應用中，歐洲的DVB，WiMAX系統采用在頻域中等間隔地插入已知導頻并在接收端進行插值方法跟蹤快變信道的頻域信息的方式，適用于快衰落信道估計[1]。中國數字地面廣播系統（DTMB）采用了一種在時域幀中插入具有不相關特征的PN序列的方式可分離出時域信道信息，已有一部分用于系統的方案中。除此之外，國內外開展了大量的理論研究工作。通常與接收端均衡聯合起來研究。如在基于判決反饋的均衡方法中，將信道參數處理成濾波器抽頭，用自適應的方法如最小均方法（LMS）不斷訓練逼近信道真實值[2]。文獻[3]利用卡爾曼濾波法也屬于自適應理論范疇。還有一類盲信道估計方法中，不需要借助輔助信息，直接將接收符號做數學處理，如將其變換到高階矩陣，用特征值分解或奇異值分解再做特征提取，可以恢復出信道信息[4]。由于矩陣理論的成熟，文獻[5]直接將OFDM簡化為矩陣擾動模型進行分析求解。

循環前綴（CP）在抑制符號及子載波間干擾中發揮著重要的作用，一般不直接用于估計信道。盡管如此，文獻[6]建立了信道估計凸優化模型。文獻[7]直接推導了循環前綴與時域信道表達式的關系。文獻[8]系統而全面地總結了循環前綴的完整性對信道估計及接收端均衡恢復的影響。這些方法都將循環前綴與信道估計建立了關系，不乏巧妙性。然而這些研究都是在時域上進行研究挖掘關系，很少有文獻研究循環前綴的頻域特性，也即將CP做相應長度的FFT變換成頻域序列在頻域上研究其特性。事實上，因為CP是一個OFDM最后部分的復制，它的頻域序列必然攜帶了子載波信息。換言之，可以將其作為一種特殊的導頻，并且這種導頻不同于傳統子載波導頻對子載波信息進行局部抽取，它與子載波之間具有特殊的線性映射關系，具體見第 2節的推導。

已經有文獻研究表明，與傳統類似的直接占有子載波的導頻序列相比，在相同的最小二乘估計準則下，CPFS法的估計均方誤差（MSE）與后者具有不確定的關系。文獻[9]給出了一個在LS估計框架[10]下，只要選擇的子載波導頻序列足夠多，其信道估計的MSE一定要好于CPFS序列。那么，當選擇子載波個數只能為p（CPFS點數）點時，上述2種序列進行信道估計的大小關系是值得研究的內容。

而大家熟知的在相同子載波導頻選取下，有一種等間隔的子載波導頻序列具有最優性，也稱梳狀子載波導頻序列，附錄 A給出了證明。那么當同時選取p點CPFS與之比較時，LS估計性能如何？通過推導它們的特征表達式，附錄B將兩者進行了做差比較，結果證明是不定的，取決于子載波的不同情況。

在這樣的背景下，本文提出了一種構造子載波發送序列的方法，在新的構造子載波下，可使得上述2種特征序列不定的關系明朗化，利用LS信道估計的最小化 MSE機制迫使前者優于后者，從而進一步提升了LS信道估計方法的估計精度，與之對應發現了這種特殊的CPFS序列。

本文余下的部分組織如下：首先推導LS信道估計器的MSE，論述MSE取決于導頻序列的能量，作為依據，推導了等間隔子載波序列與子載波發送序列間的關系并比較了兩者的能量關系。在構造發送序列部分中，通過以上機制建立約束模型，用兩步拉格朗日解析法解得了最優解，保證了CPFS的最優性；還對約束模型的優化進行了可行性范圍分析，指出其可行性。最后用仿真驗證了構造理論和約束模型的正確性。需要說明的是，?代表向量卷積，*代表向量之間或向量與標量間的乘積，H表示矩陣共軛轉置。

2 LS信道估計器

2.1 點到點的OFDM信道傳輸模型

點到點的OFDM信道傳輸模型可表示為

其中，y代表接收端符號，s發送端符號，h時域信道，n是加性噪聲。當傳輸過程連續時，根據傅里葉變換理論，在頻域式(1)等價于

2.2 LS信道估計的最小化MSE原理

在OFDM系統中，結合式(2)，頻域LS準則的信道估計表達式可簡單表示為

其中，“—”表示2個向量除法，是將接收端的頻域符號與發送端對應符號相除，表征LS信道估計的頻域信息。結合式(2)，推導該估計方法MSE如下。

3 特征序列

為了在LS框架下比較CPFS與傳統基于子載波序列信道估計的 MSE大小關系。首先定義一種等間隔子載波序列。即從子載波中等間隔地抽取出導頻序列。附錄A證明了在相同的點數下，其具有最小的LS估計MSE。圖1給出它與循環前綴頻域序列CPFS之間的關系表征。

圖1 2種比較的特征序列

下面推導出2種特征序列與子載波發送序列之間的特征關系表達式。

設子載波個數為M, 訓練序列個數為P，由于PM＜，于是總能夠從M個子載波中抽取出P個訓練序列，等間隔長度為表示向上取整。實際中，為了滿足一致性條件，只要保證P略大于多徑信道徑數即可。

Xi, i =1,2,… ,M記為總體子載波發送序列，于是等間隔訓練序列為

m表示起始訓練序列位置，不失一般性，結合DFT得

其中， fQ-1為循環前綴， ( fQ-1= xCP)，f0, … ,fQ-2表示非循環前綴部分。同理，將局部傅里葉矩陣也做相應的分塊，即

將0F化簡得

觀察其特征，可表示為

FP表示P點DFT矩陣。同時，進一步有

Fi= Fi-1φ, i = 1 ,… ,Q ，于是結合式(10)和式(12)得

因此，

這樣就得到了等間隔子載波導頻序列與子載波發送序列的特征關系式。同時，直觀地，循環前綴頻域序列CPFS又可表示為

在附錄B中比較了 XQ和 XCP在相同子載波下序列的能量關系，即LS信道估計器的MSE大小關系，可以證明關系是不定的。然而研究CPFS的目的是為了以之作為載體優化LS信道估計。以下從凸優化的角度，以子載波發送序列為變量，建立優化模型，解得最優的子載波發送序列，使得 CPFS能夠最優化。同時，還對優化模型進行了可行域分析，論述其可行性。

4 新的發送序列構造

4.1 基本約束模型搭建

記新的發送序列為X，結合式(5)和式(14)，新的發送序列X使得2種特征序列盡量靠近，于是

同時為了使誤碼率不至于太大，整個發送序列與原發送序列間應盡量保持一致，即

其中，η是一個很小的正數。

最后，為了使得CPFS比等間隔子載波序列的MSE小，結合式(4)和式(5)得

結合式(16)～式(18)，建立約束模型為

為了解得式（19）的結果，利用拉格朗日解析法求解。

其中，λ，μ是拉格朗日約束式，ε是增量因子，由式（19）中第2個不等式引進。附錄C是利用求梯度和求導的方法巧妙解出新的解X必然包含在

其中，η和ε是增量因子和確定變量。z是一個特殊的表達式，由式(18)定義。

4.2 拉格朗日重復解析

由式(21)可知，滿足基本約束模型的X必然被包含在式(21)內，但是其中存在著若干解，同時為了進一步優化達到目的，有必要對結果進一步優化，與附錄C一樣。采用拉格朗日法進一步優化。

首先，確立一個更直觀更強的目標函數，該目標函數使得構造前后2種特征序列進一步靠近。

那么，再次構造拉格朗日解析式為

對X求梯度解得

其中，σ是拉格朗日因子。

5 構造可行性分析

第4節最后通過迭代求得最優解，為了驗證以上約束優化模型具有合理性及可行性，在此繼續對構造模型進行可行性分析，通過該分析從理論上可以明確構造思想的正確性。

總結起來，約束模型僅僅與2個約束式(式(17)和式(18))及2個目標函數式(式(16)和式(22))有關，并且由式(21)可知，約束式(16)與最終結果無關，因為該等式中并不包含A。因此，只需要考慮約束式(17)和式(18)及目標函數式(22)所組成的優化模型。

首先，重新抽象出約束模型，式(18)等價于

β將時域OFDM符號映射成循環前綴，α將時域OFDM符號映射為該符號帶上循環前綴，γ將時域OFDM符號映射為等間隔訓練序列時域符號。

同時目標函數式(22)可簡記為

于是約束式可統一在以下框架中

在該框架下，核心是分析式(28b)的可行性。

根據矩陣理論， f1(x)的范圍為

這時再構造比較函數

事實上，結合式（31），當M屬于以上范圍時，矩陣 βH* β - M* αH*α 是不定的。即存在 x0，使得 g1( x0) ≥ 0 。

接下來再計算 f2(xN)的范圍，由于關系的不明朗，只能給定一個上界和下界。

其中，

從式(34)得出如下結論。

1不可行。

事實上，這種情況等價于ε很大時，式(28b)不可能成立。然而，此時再看式(28a)和式(28c)可知，這并不影響優化結果。

6 仿真

仿真條件如下。

比特映射：16-QAM。

子載波個數：256。

是否插入導頻：否。

循環前綴長度：P=16。

信道估計插值方式：DFT。

等間隔寬度：Q=16。

信道徑數：H=16。

最大信噪比：40dB。

參數設置：η，ε可調。

6.1 可調參數分析

為了驗證在可行性分析中的準確性，分2步對仿真理論進行驗證。通過可行性分析知道，ε將影響可行性是否成立。當η固定時，首先使得作為第1種情況。然后，在第2步中設立ε很大，即足夠小，逼近于0，將其作為第2種情形。

6.2 信道估計MSE分析

當 η =0.01,ε =0.01時，2種特征序列構造前后MSE結果如圖2所示。

圖2 基本條件下的2種特征序列構造前后MSE比較

當 η = 0 .0001,ε = 0 .1時，2種特征序列構造前后MSE結果如圖3所示。

圖3 拓展條件下2種特征序列構造前后MSE比較

以上仿真結果表明，可行性分析是正確無誤的，從而本文的構造理論達到了預期的目的。不僅提高了LS導頻信道估計的精度，也利用了循環前綴資源，提高了系統效率。

7 結束語

本文在LS信道估計框架下，提出了一種新的基于循環前綴頻域序列的信道估計方法，論證了其與傳統最優性的等間隔子載波序列法比較的均方誤差大小關系。設計了一種構造子載波發送序列的方法，該構造方法的成功使得循環前綴LS估計方法超越了傳統的具有最優性的等間隔訓練序列法，達到了優化的目的。拉格朗日解析法的使用巧妙地得到了優化結果，可行性分析對優化模型進行了嚴格的論述，最后用仿真驗證了其正確性。該設計的成功預示著，在新的 OFDM 框架下，可以充分應用循環前綴資源，同時還能夠得到更準確的信道估計，從而提高了系統利用的效率。雖然構造的計算復雜度可能很高，但是作為一種理論上改進的方法，本構造理論具有很強的理論性和創新性，具有借鑒的價值和研究的意義。

附錄A 等間隔訓練序列最優性證明

設導頻從 L個子載波中任選 p個組成導頻選取下標｛k1, k2,… ,kp｝ ，那么，

不論導頻選擇的哪些子載波，由式 (16)可知，決定LS通用估計器 MSE大小的因子將由矩陣Q決定，因

L×L為 xL是時域OFDM符號，相對而言是固定的。

所以矩陣LL×Q是哈密特對稱矩陣，對角線上的元素為均為p，并且LL×Q可由pL×P表出，而后者秩不大于p，矩陣LL×Q的秩不大于p。

考慮將LL×Q做特征值分解如下

其中，LL×q是酉矩陣，因為pL×P是復數矩陣，所以LL×Q的特征值必然都是復數，又因為矩陣的對角線之和等于矩陣的特征值之和，以矩陣的譜范數來定義矩陣大小，所以得到如下約束關系。

容易發現，當1s=時，LL×Q矩陣只有一個特征值或者其余特征值幾乎可以忽略不計時，所有的能量都傾斜于該最大的特征值，可使得譜范數最大化。這時，矩陣LL×Q的秩理論上為1，或者每行的差距不大。又由于LL×Q是哈密特矩陣且秩為1，并且其對角線上的元素均為p，因此一個充要條件是：LL×Q的所有元素都接近p。

根據其定義，LL×Q中的第i行及第k列的元素表達式為

根據以上分析得

利用歐拉公式，進一步有

要同時滿足式（21）中的條件，由于 km∈{1,2,…,L},m=1,… ,p，且l=0,1,2,…,L-1取值都要滿足，于是，需要設計一種最優的km使得如下問題優化，

將其看作mk的函數，求偏導令其等于0，整理得

滿足上式的mk只有限定其是離散均勻分布，不妨設為

這時導頻選取為等間隔的。證明完成。

附錄B 2種特征序列的能量大小比較

考慮做如下變形，

分別計算得

同時，

那么，

具體地，

能量決定于 C, 看是否是正定或負定。首先可將C等價變形為

C和D等價，它們有共同的特征值，注意到D含有正和負的特征值，是不定的，從而 C是不定矩陣，意味著發送序列的不同可使得能量差可正可負，即2種特征序列的能量大小關系不定。從而2種序列LS信道估計的MSE也不定，它在相同的子載波下決定于特征序列的能量。完畢。

附錄C 子載波最優解的關系式推導

對式(20)求梯度，并分別對λ和μ求導得

以下是具體求解過程。

首先，式(35a)可以化為

上式代入式(35b)得

將式(35c)展開為

比較得

因為 BH=B也是一個共軛對稱矩陣，所以式(36)等價于

同時，由式(35a)左乘HX 可以解出

比較式(37)和式(38)得到重要的等式

推導完畢。

[1] WANG L G, LIU H S, ZHU L X. Design methods of channel estimation device based on OFDM system[J]. Shipboard Electronic Counter measure, 2008, 31(4)：101-104.

[2] SUN G C, ZHOU C Z, SUN B. LMS adaptive channel estimation algorithm and simulation[J]. Computer Applications, 2005,25(6)：1468-1470.

[3] HE W H, LEE Y M. Low-complexity kalman channel estimator structures for OFDM systems with and without virtual carriers[A]. Proc of Communication society[C]. IEEE Press, 2004.2447-2451.

[4] KATHRYN K. Channel Estimation of Frequency Selective Channels for MIMO-OFDM[D]. Alberta：University of Calgary，2005.

[5] FENG W. Signal-Perturbation-Free Semi-Blind Channel Estimation for MIMO-OFDM Systems[D]. Montreal： Concordia University, 2009.

[6] KOIKE-AKINO T, MOLISCH A F, DUAN C J, et al. Capacity, MSE and secrecy analysis of linear block precoding for distributed antenna systems in multi-user frequency selective fading channels[J]. IEEE Trans on Communications, 2011, 59(3)：888-900.

[7] STEGER C B. Wireless Downlink Schemes in a Class of Frequency Selective Channels with Uncertain Channel State Information[D].Houston： Rice University, 2004.

[8] SU B. Blind Channel Estimation Using Redundant Precoding： New Algorithms, Analysis and Theory[D]. California： Institute of Technology Pasadena, 2008.

[9] ZHAO W X, FANG F. A diverse proof of OFDM channel estimation comparing CP-sequences and training-sequences methods under LS frame[A]. Proc of Information Theory and Artificial Intelligence Computing[C]. IEEE Press, 2011.

[10] GüREL ?, Channel Estimation for OFDM Systems[D]. Middle East Technical University, 2005.