雙晶懸臂梁式壓電換能器建模與結構參數分析

朱 波，劉文波

（南京航空航天大學自動化學院，江蘇南京 210016）

0 引言

無線傳感器網絡節點一般可能處在野外惡劣環境中，不便更換電池，因此，人們正在尋找一種長期有效的能量采集技術來保證傳感器的電源需求，實現長期有效的供電，從而延長無線傳感器的使用壽命。環境中振動是普遍存在的，收集環境振動能量為消耗電量低的網絡傳感器等微機電系統提供一種長久的能源，并有可能取代電池。此項研究越來越受到廣泛重視［1～3］。壓電晶體屬于非中心對稱點群晶體，機械載荷作用導致其內部晶胞正負電荷中心產生偏移從而引發極化，這就是正壓電效應;反之，如果晶體在外加電場激勵下集體在某個方向產生變形叫做逆壓電效應。因此，壓電材料可以作為將機械振動轉換為電能的元件，以實現采集能量為無線傳感器供電的目的。但是，壓電材料自身很脆，諧振頻率高，電源特性很差（高電壓、低電流、高阻抗），尤其在低頻情況下表現得更加明顯，而環境中大多數振動源的頻率在400 Hz以下，即屬于低頻范圍。這嚴重限制了壓電換能器的發展和應用。通過將壓電材料和金屬材料結合形成懸臂梁結構，并在末端附上質量塊以降低諧振頻率，能較好地解決這個矛盾。目前主要采用雙晶懸臂梁式的結構，實現從振動源獲取能量的目的。為進一步提高懸臂梁的發電效率，建立系統壓電模型與參數優化分析的方法是壓電結構設計的關鍵技術問題。本文針對如何實現結構設計中參數優化問題，通過建立機電耦合的等效電路模型得到了輸出功率和諧振頻率的計算公式，輸出功率隨參數變化的曲線。分析了一些參數對輸出功率的影響，提出了一些新的結論，為懸臂梁是壓電換能器的設計提供了理論依據。

1 壓電雙晶換能器建模

通過對壓電懸臂梁進行受力分析，得到一個等效電路模型。從而求出懸臂梁的諧振頻率計算公式和在一定加速度和頻率的振動激勵下輸出電壓和功率的表達式。

1．1 換能器構成

如圖1所示為一典型的壓電雙晶懸臂梁結構，金屬層的上面表面都貼有壓電陶瓷，固定端固定于基座中，梁的自由端附有質量塊［4］。當基座上下運動時，梁的自由端在慣性的作用下也上下運動，懸臂梁將發生彎曲變形，壓電材料的兩表面間產生電壓。從而將機械的振動轉換為電能。

圖1 換能器結構圖Fig 1 Structure diagram of energy converter

1．2 應力應變分析

1．2．1 外力對壓電層中應力的影響

根據材料力學，EpIp+EcIc=EpIj，所以，復合梁模型的慣性矩可等效為［5］

壓電陶瓷上平均應力

梁彎矩

聯立式（2），式（3）得

式（4）描述了壓電陶瓷平均應力和z方向上外力間的關系，用常數k1來描述

1．2．2 梁自由端擾度和壓電層應變間關系

根據Ruler標準梁方程可知彎曲梁曲率表達式為

又由梁的應力和應變間關系有

σ=Epδ（其中δ為應變）．（7）

聯立式（3），式（6），式（7）得到懸臂梁自由端擾度和壓電層應變之間的關系

令

1．3 等效模型的建立

1．3．1 懸臂梁整體受力分析

將整個懸臂梁系統看做一個質量—彈簧—阻尼系統進行受力分析可得

將式（10）乘以k1得

而

其中，σ藉為可用于進行機電耦合的應力。

1．3．2 機電耦合中應力和輸出電壓關系

由第一類壓電方程［6］

令S=0得

壓電陶瓷片產生的電壓和電場關系［7］

聯立式（17），式（16）得到用于機電耦合的應力和輸出電壓間關系

其中，a=1表示雙晶串聯，a=2表示雙晶并聯。

壓電雙晶片的等效電容

其中，a=1表示雙晶串聯，a=2表示雙晶并聯［8］。

1．3．3 系統電學模型建立

將應力類比為電壓，應變的微分類比為電流。根據式（11），式（12），式（13），式（14）可將整個系統等效如圖2所示。

圖2 等效模型圖Fig 2 Equivalent model chart

由式（12）得

由式（13）得

由式（14）得

由式（15）得

由式（18）得

1．4 系統求解

1．4．1 諧振頻率求解

當不帶負載時，即R=0。由圖2可得

聯立式（25），式（26），并進行拉氏變換得

其中，Am為基座的加速度。

由式（27）得諧振角頻率

由式（28）可知，增加質量塊的重量將減小諧振頻率。

1．4．2 輸出電壓與功率求解

為了計算輸出功率和最優負載，假設接上負載用電阻R表示，則有

聯立式（29），式（30）可以解得在頻域范圍內的電壓輸出

2 仿真分析

將壓電陶瓷PZT—5的材料參數、懸臂結構參數等代入式（31），式（32）中，并利用Matlab計算得到仿真圖如圖3～圖6。

圖3 功率隨負載變化Fig 3 Power change with load

圖4 功率隨厚度比變化Fig 4 Power change with thickness ratio

由圖3可以看出:輸出功率先隨負載的增大而增大，然后隨著負載的增大而減小，亦即存在一個使得輸出功率最大的負載值。從圖4可以看出:逐漸增大壓電層和金屬層厚度的比值，輸出功率先增大后減小。通過圖5可以看出:當電極和梁的長度比大約在0．8左右時，輸出功率達到最大。圖6表明:當質量塊的質量從5 g逐漸增加到13 g時，諧振頻率降低，輸出功率增大。增加質量塊的重量不僅能降低諧振頻率也能提高能量轉換效率。

圖5 功率隨長度比變化Fig 5 Power change with length ratio

圖6 功率隨質量塊變化Fig 6 Power change with quality block

3 結論

1）換能器存在一個最優負載使得輸出功率達到最大值。例如:當梁的長度為80 mm時，最優負載為105Ω。因此，在設計后續采集和儲能電路時，應盡量使電路工作在最優負載下，以提高轉換效率。

2）壓電片不一定要貼滿整個梁，例如:梁長度為80 mm時，當電極長度為梁的0．8倍時輸出功率最大。因此，在換能器的設計中，應該選擇合適的電極長度以提高轉換效率。

3）諧振頻率隨著質量塊重量的增加而減小，輸出功率隨著質量塊重量的增加而增大。因此，換能器設計中，在滿足性能的前提下，可以增大質量塊的重量。

4）壓電層和金屬層厚度的比值，壓電梁的寬度存在一個合適的值使得輸出功率得到提高。例如:梁的長度為80 mm，厚度比為0．3時，輸出功率最大。

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