銀行間同業拆借市場利率擴散模型及實證

谷 偉

(中南財經政法大學 統計與數學學院，武漢 430073)

0 引言

利率是生活中常見的經濟變量，一直是市場各方關注的焦點之一，特別是短期無風險利率，它對其他金融產品的定價和利率風險的管理起著非常大的影響。近年來，許多學者提出了各類模型來擬合短期利率數據，其中一種是利用隨機微分方程所控制的擴散過程來描述利率的隨機行為。這方面的期限結構模型主要有：Merton(1973)[1]模型、Vasicek(1977)[2]模型、CIR(1985)[3]模型、CKLS(1992)[4]模型等，它們均是通過對隨機微分方程設定不同的漂移項和擴散項來獲得的。如何利用觀測到的數據來快速、準確的估計利率擴散模型中的未知參數，以及哪個模型對數據的擬合程度最好，這些都是研究的熱門問題。

考慮如下由一維隨機微分方程所控制的擴散過程模型

其中θ是未知參數向量，Xt表示瞬時利率，漂移項μ(Xt;θ)表示 Xt的瞬時均值，擴散項 σ(Xt;θ)表示 Xt的瞬時方差，μ(Xt;θ)和 σ(Xt;θ)是非線性函數，Wt是一維標準維納過程。假定擴散過程Xt在時間點0=t0＜t1＜...＜tn=T上有離散觀測值Xobs=(x0,x1,...,xn),且Δ=ti-ti-1為常數。

對于擴散過程模型(1)的參數估計問題，Hansen(1982)[5]研究了在計量經濟模型假定下，GMM估計量的一致性結果以及漸進分布等問題；Lo(1988)[6]用極大似然法得到參數估計；Pedersen(1995)[7],Brandt&Santa-Clara(2002)[8]提出了模擬極大似然估計法；Durham&Gallant(2002)[9]比較了各種連續時間擴散過程似然估計的數值方法，并將估計方法擴展應用到隨機波動模型，Ait-Sahalia(2002,2008)[10.11]提出了Hermite多項式近似法。本文采用Hurn[12]提出的一種基于偏微分方程的估計方法，該方法通過數值求解與擴散模型相關聯的偏微分方程(PDE)，獲得轉移密度函數的近似解。同時，考察中國銀行間同業拆借市場利率的多個單因子模型，應用該方法進行參數估計，并引入AIC準則進行模型識別。

1 基于C-N差分的偏微分方程估計方法

如果擴散過程Xt的轉移密度 p(xt|xs;θ)(s＜t)已知，則可得如下似然函數

其中 p(Δ,xi|xi-1;θ)是兩觀測值 xi-1和 xi間的轉移密度函數。則θ的估計值可通過最大化式(2)，也可最小化(3)

事實上，X的轉移密度函數通常都是未知的，如何獲得 p(Δ,xi|xi-1;θ)，則成為一個關鍵問題。本文考慮了基于偏微分方程的方法近似 p(Δ,xi|xi-1;θ)。

假 定 p(Δ,xi|xi-1;θ)≡p(ti,xi|ti-1,xi-1;θ)，并 記p(t,x)=p(t,x|ti-1,xi-1;θ)，Karatzas and Shreve(1992)[13]指出轉移密度函數 p(t,x)是以下Fokker-Plank偏微分方程的解

假定擴散過程X=(x0,x1,...,xn)的取值區間為[a,b]，則(6)應滿足如下初值條件

和邊值條件(Hurn等[12])。

其中 δ(·)為Dirac delta函數。求解(6)～(8)可獲得相應的轉移密度函數，但Dirac delta初值函數的處理成為一個棘手的問題，Jensen和Poulsen(2002)[14]指出，可以選擇均值為 xi-1+μ(xi-1;θ)Δt，方差為 Δtσ2(xi-1;θ)的正態分布作為初值函數的近似。

采用有限差分法求解方程(6)，把區間[a,b]等分成N份，取步長為 Δy=(b-a)/N ，其中節點 yi=a+iΔy(i=0,1,…,N)，同時把時間區間[ti-1,ti]以步長Δt=(ti-ti-1)/m等分成m份，其中節點ti,j=ti-1+jΔt,(i=1,2,…,N,j=0,1,…,m)。記 r=Δt/(Δy)2，μi=μ(yi)，σi=σ(yi)，=p(ti,j,yi)，則(6)的離散格式為

事實上，(9)是通過Crank-Nicolson差分法對(6)進行離散獲得的。

假定 p(t,x)的解落在區間[y0,yN]或區間[y0,∞]上，漂移項和擴散項滿足μ(y0)≥0，σ(y0)=0，可以認為在邊界點y0處沒有累積任何密度，則可取 p(t,y0)=0。然而在邊界點 yN處，通過離散邊值條件(8)，且令(9)中i=N-1，可得如下格式

若取 p(t,y0)=0(否則，可獲得類似(10)的結果)，則離散格式(9)的起始迭代為

結合(9)～(11)，最終，可得如下矩陣形式的差分格式

其中AL和 AR是(N+1)×(N+1)矩陣，pi是包含轉移密度函數…,的(N+1)維向量。

2 單因素利率擴散模型及AIC準則

對(1)中的漂移項和擴散項作不同的假設，可得不同的利率擴散模型。Merton(1973)是最早用隨機微分方程描述利率變化隨機行為的，Vasick(1977)說明了利率具有均值回復的特征，此后又涌現出了眾多模型，見表1所示。

從表1可以看出，所有模型的漂移項均為擴散過程Xt的線性函數，模型1～4是模型5的特殊形式，而模型6是模型3的一個變換模型。在模型5中，θ1表示利率的均值回復速度，θ2表示利率的均值回復水平，θ3表示利率的波動系數，θ4表示粘性系數。

表1 單因子利率模型表

為從眾多模型中選擇一個最為合適的模型來擬合實際數據，我們引入了AIC準則[14]進行模型識別。

3 實證分析

本文收集了1996年2月至2010年3月中國銀行間貨幣市場的拆借利率IBO007，所使用的是每月加權后的平均利率，共計170個月度數據(數據來源：中國貨幣網，www.chinamoney.com.cn)。由于拆借利率按單利計算，不妨按下述公式將其轉換為等價連續復利：R(t)=52ln(1+r(t)/52)，其中r(t)表示觀測的加權平均利率，R(t)表示轉換后的連續復利。可以獲得變換后170個數據的描述性統計特征，均值：0.0381，標準差：0.0292，偏度：3.8662，峰度：1.5273，最大值：0.1124，最小值0.0102，其時間序列圖如圖1所示。

圖1 連續復利R(t)的時間序列圖

從時間序列圖上看，從1996年2月到1999年12月，2006年5月到2009年1月這兩個期間內數據波動比較厲害，前段時期是中國貨幣政策發生重大調整的時期，后段時期是受次貸危機的影響而頻繁調整貨幣政策。

表2列出了利用R(t)獲得單因子模型的參數估計結果，模型1和2的參數估計的標準誤差相對較大，故這兩個模型的估計結果不可靠，不適合于對利率數據進行建模。對比模型3、4、5和6的AIC值，模型3的AIC值最小，其次是模型5，也就是說，對于所考察的樣本數據擬合最好的是CIR模型，其次是CKLS模型。且由估計結果可知，利率的均值回復水平是0.025，這意味著中國利率的長期水平值是0.025，當利率低于這個值時，利率有上升的趨勢，反之，有下降的趨勢。

表2 單因子利率模型的參數估計，括號內為參數估計的標準誤差

4 結論

本文采用基于偏微分方程的估計方法對多個單因子利率擴散模型進行參數估計，并引入了AIC準則進行模型擬合效果的對比。考慮了這種估計算法在中國銀行間貨幣市場拆借利率中的應用，在所考慮的樣本區間內，擬合效果最好的是CIR模型，其次是CKLS模型，且由估計結果可知，利率的均值回復水平是0.025。

[1]Merton.Theory of Rational Option Pricing[J].Bell Journal of Economics and Management Science,1973,（4）.

[2]Vasicek,O.An Equilibrium Characterization of the Term Structure[J].J.Finan.Econom,1977,(5).

[3]Cox,J.C.,Ingersoll,J.E.,Ross,S.A.A Theory of the Term Structure of Interest Rates[J].Econometrica,1985,53(2).

[4]Chan,K.C.,Karolyi,G.A.,Longstaff,F.A.,et al.An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-term Interest Rate[J].Journal of Finance,1992,(47).

[5]Hansen,L.P.Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators[J].Econometrica,1982,50(4).

[6]Lo.,A.W.Maximum Likelihood Estimation of Generalized Ito Processes with Discretely Sampled Data[J].Econometric Theory,1988,(4).

[7]Pedersen,A.R.A New Approach to Maximum Likelihood Estimation for Stochastic Differential Equations Based on Discrete Observations[J].Scand.J.Stat.,1995,(27).

[8]Brandt,M.,Santa-Clara,P.Simulated Likelihood Estimation of Diffusions with an Application to Exchange Rate Dynamics in Incomplete Markets[J].J.Financ.Econ.,2002,(63).

[9]Durham,G.B.,Gallant,A.R.Numerical Techniques for Maximum Likelihood Estimation of Continuous-time Diffusion Processes[J].J.Bus.Econ.Stat.,2002,20(3).

[10]Ait-Sahalia,Y.Maximum Likelihood Estimation of Discretely Sampled Diffusions:a Closed form Approximation Approach[J].Econometrica,2002,(70).

[11]Ait-Sahalia,Y.Closed-form Likelihood Expansions for Multivariate Diffusions[J].Annal.of Stat.,2008,36(2).

[12]Hurn,A.S.,Jeisman,J.,Lindsay,K.A.Transitional Densities of Diffusion Processes:a new Approach to Solving the Fokker-planck Equation[J].J.of Deriv.,2007,(14).

[13]Karatzas,I.,Shreve S.Brownian Motion and Stochastic Calculus(2ndEdtion)[M].New York:Springer-Verlag,1992.

[14]Uchida,M.,Yoshida,N.AIC for Ergodic Diffusion Processes from Discrete Observations,Preprint MHF 2005-12,March 2005,Faculty of Mathematics,Kyushu University,Fukuoka[Z].2005.