層片輪廓邊界離散的雙圓弧局部逼近算法

張 燎

ZHANG Liao

（甘肅工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天水 741025）

0 引言

在RP制造技術(shù)中，三維 CAD 模型分層所得到的截面輪廓是由直線段、圓弧、橢圓弧及非均勻有理B樣條曲線段等基本圖形組成的折線多邊形理論輪廓，在離散提取截面輪廓邊界數(shù)據(jù)時，現(xiàn)在的RP成型設(shè)備常用直線插補(bǔ)的方式進(jìn)行輪廓掃描，即按照一定規(guī)則將離散點直接選定在邊界曲線段上，取出一系列離散點，然后將各離散點用直線段連接起來，形成物理層片加工的實際折線掃描路徑，這樣處理的結(jié)果會導(dǎo)致實際掃描輪廓和理論掃描輪廓之間存在較大的形狀和尺寸偏差，而且會丟失輪廓的一些細(xì)節(jié)信息（如圖1所示），特別在離散曲率較大的截面理論輪廓時，丟失的信息會更多，產(chǎn)生的偏差更大，使打印出的三維實體“失真”。

圖1 直線插補(bǔ)離散形成的實際掃描輪廓

為解決直線插補(bǔ)離散產(chǎn)生的形狀和尺寸偏差問題，可用雙圓弧和直線插補(bǔ)混合的方法離散理論掃描輪廓。當(dāng)輪廓曲率大于預(yù)定值時，用雙圓弧逼近法局部離散掃描輪廓，反之，則用直線插補(bǔ)法離散，以提高離散速度。

1 雙圓弧逼近算法的構(gòu)建

雙圓弧成立必須具備6個條件，其定義見文獻(xiàn)[1,2]；雙圓弧是根據(jù)雙圓弧圓心角的符號來劃分類型的：若兩弧度角符號相同，即同為正或負(fù)則此雙圓弧為C型，如圖2(a)所示；若兩弧度角符號不同，即一個為正一個為負(fù)，則此雙圓弧為S型，如圖2(b)所示。

圖2 雙圓弧的基本分類

1.1 坐標(biāo)系

為了建立雙圓弧逼近算法模型，在圖3中建立以P1點為原點、矢量為X軸和垂直于x軸的一矢量構(gòu)成y軸的直角坐標(biāo)系，規(guī)定各角度逆時針為正，順時針為負(fù)，這樣α1和β1為正，而α2和β2為負(fù)，其中α1和α2分別為P1點和P2的切線角，P點將圓弧P1P2（局部輪廓）分割為兩段簡單圓弧P1P和P2，P點被稱為兩段圓弧的連接點。

1.2 雙圓弧連接點確定的原則

雙圓弧逼近就是不斷尋找兩段弧的連接點 Pi，并將它取出，這是雙圓弧逼近算法實現(xiàn)的一個關(guān)鍵問題。為使兩個圓弧連接盡可能的光順[2]，采用“使兩段圓弧曲率之差最小”的原則來確定點P的位置[3]。

圖3 兩節(jié)點P1和P2之間的雙圓弧

1.3 雙圓弧逼近算法的構(gòu)建

1）雙圓弧的相對曲率半徑

利用圖3中的的幾何關(guān)系和正弦定理，可導(dǎo)出雙圓弧相對曲率半徑R1、R2的計算公式。

曲率之差絕對值的最小值為:

通過求解(4)式的極小值，可求得使雙圓弧局部光滑的1β和2β：

將式（5）帶入式（1）和式（2）可得：

由圖3可看出，雙圓弧的半徑已求得，只要求得兩段圓弧的圓心O1和O2的坐標(biāo)和連接點P的坐標(biāo)，就能確定任意兩個離散點之間的雙圓弧。

2）雙圓弧的圓心坐標(biāo)

圓弧O1的坐標(biāo)為：

圓弧O2的坐標(biāo)為：

3）連接點P的坐標(biāo)

4）求出各點的切矢

由式（6）～式（9）可看出，圓心、連接點和圓弧的半徑的確定是以層片理論輪廓起始的兩個點推導(dǎo)出來的，對于后續(xù)擬合的點同樣適用。要確定相對曲率半徑、雙圓弧的圓心坐標(biāo)和連接點的坐標(biāo)(需要確定α1和α2)，還要確定各點的切矢。

由雙圓弧的定義可知，每條雙圓弧必須要有4個已知條件及一個判據(jù)才能確定[2]，而判據(jù)和兩端點坐標(biāo)、各離散點的坐標(biāo)都已知，這樣連接點處的切線矢量從層片數(shù)據(jù)中插補(bǔ)獲得。已知三個連續(xù)的邊界點Pi?1、 Pi和Pi+1，如圖4所示，則 Pi點處的切線矢量為：

圖4 層片數(shù)據(jù)的切矢

求得各點的切矢后，就可以求出αi了，由矢量的運算可得其公式為：

其符號由以下行列式判斷：

式中，Tx,Ty分別為矢量的x，y分量，Kx,Ky分別為矢量的x，y的分量。在圖3建立的坐標(biāo)系中，若該行列式值大于0，則矢量元在X軸的上方，αi＞0；相反，則αi＜0。

1.4 雙圓弧逼近的誤差

通過每段圓弧圓心到連接點Pi的距離減去該段的半徑來計算逼近的誤差。

其中i代表 P1和Pn之間的等分點Pi的下標(biāo)，k代表連接點Pik(xik,yik)對應(yīng)的第一段圓弧還是第二段圓弧的下標(biāo)。P(xok,yok)和Rk分別對應(yīng)圓弧的圓心、半徑，(xik,yik)為連接點 Pi的坐標(biāo)。

1.5 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

圓心坐標(biāo)、連接點坐標(biāo)都是在局部坐標(biāo)系（oxy）中求得的，還要轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)(oμv)中，其轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

其中(xi?1，yi?1)為起始點坐標(biāo)，φi為雙圓弧的兩端點連線 Pi?1Pi+1與總體坐標(biāo)系μ軸正向的夾角。（xi，yi）為局部坐標(biāo)系中的任意一點坐標(biāo)。

2 算法實施的步驟

Step1：將層片的掃描輪廓邊界分解為基本圖形元素組成的曲線組，結(jié)果存放在一動態(tài)曲線段數(shù)組中。按曲線段成員首尾相接的拓?fù)潢P(guān)系，將其在數(shù)組中的存放次序重新排列。

Step2：定義一點對象動態(tài)數(shù)組存放掃描輪廓曲線離散結(jié)果。首先取曲線段數(shù)組中第一個成員作為當(dāng)前處理對象。

Step3：按照等步長對理論輪廓數(shù)分割，找出極值點和奇點。

Step4：計算兩端點的曲率，如果大于零則調(diào)用雙圓弧逼近處理程序，轉(zhuǎn)入Step5，如果曲率接近于零，用直線插補(bǔ)法離散，轉(zhuǎn)入Step8。

Step5：求出相鄰兩個節(jié)點處的切矢，這樣每2個節(jié)點間可以用前述的雙圓弧方法逼近。

Step6：計算出兩個圓弧的相對曲率半徑和圓心坐標(biāo)后，可求得兩圓弧連接點的坐標(biāo)，這樣就構(gòu)造出逼近層片理論局部輪廓的雙圓弧。

Step7：進(jìn)行誤差檢驗。如果逼近誤差小于給定誤差限δ，逼近就結(jié)束，可進(jìn)入下一輪相鄰邊界點的雙圓弧逼近，轉(zhuǎn)入Step4，如果大于給定誤差，則將兩個理論輪廓的端點再等分（實際上是變步長），轉(zhuǎn)入Step4過程，直到精度滿足為止。

Step8：將離散的節(jié)點數(shù)據(jù)存入數(shù)組。

3 算法驗證

理論掃描路徑如圖5中細(xì)實線部分，它由三條直線段和一條NURBS曲線段組成，輪廓邊界框大小為 203.756×129.869，為了清楚地看出直線插補(bǔ)和雙圓弧局部逼近兩種算法離散曲率較大輪廓產(chǎn)生的效果，將離散的步長取大一些，取d=10、15、20三個步長，分別計算三組數(shù)據(jù)。在采用C#編程實現(xiàn)[4]算法時，直線插補(bǔ)離散差生的誤差，用兩段圓弧連接點 Pi到被雙圓弧分割的局部輪廓兩端點連線之間的距離δline表示，雙圓弧離散產(chǎn)生的誤差用文章提出的雙圓弧局部逼近算法中的誤差δarc表示，兩種輪廓離散方法的效果對比列于表1中。

由表1看出，隨著步長的增大，兩種算法的誤差也隨之增大。在同一步長下，雙圓弧算法產(chǎn)生的誤差要比直線插補(bǔ)算法產(chǎn)生的誤差要小一半，說明雙圓弧離散曲率較大的輪廓時，逼近程度要高，效果明顯（見圖5中1和2放大部分）。但對于曲率較小的輪廓，雙圓弧的效果不是明顯。

表1 直線插補(bǔ)和雙圓弧局部逼近算法所差生的誤差比較

直線插補(bǔ)和雙圓弧局部逼近離散的實際掃描輪廓對比見圖5粗實線部分。

圖5 直線插補(bǔ)離散和雙圓弧局部逼近離散對比(d=20)

文章還將雙圓弧局部離散算法的離散效果與中國礦業(yè)大學(xué)王衛(wèi)辰關(guān)于“面向快速成形的三維CAD模型直接分層方法研究”[5]論文研究成果也進(jìn)行了對比。王衛(wèi)辰等人對曲率較大的輪廓離散時，采用的是變步長離散方法，即小步長離散。對于同樣的輪廓，雙圓弧局部離散效果要比變步長離散逼近效果要好。

4 結(jié)束語

經(jīng)過驗證，雙圓弧局部逼近離散算法是可行的，能明顯減小現(xiàn)有成型設(shè)備采用直線插補(bǔ)法離散曲率較大的理論掃描輪廓產(chǎn)生的偏差，與直線插補(bǔ)離散法相比，雙圓弧離散誤差減小了約50%。在算法實施的過程中，使用了雙圓弧局部逼近和直線插補(bǔ)混合算法，曲率比較大的輪廓用雙圓弧逼近，曲率接近于零的輪廓用直線插補(bǔ)法離散，既提高了精度，也避免了單純采用雙圓弧逼近算法導(dǎo)致的運算速度下降問題，具有較好的工程使用價值。

[1] 蘇步青,劉鼎元.計算幾何[M].上海:上?？萍汲霭嫔?1982 .

[2] 施雯.代數(shù)曲線的雙圓弧逼近與等距線構(gòu)造[D].杭州:浙江工業(yè)大學(xué),2012:7-25.

[3] 上官建林.快速原型制造中反求工程關(guān)鍵技術(shù)的研究[D].鄭州:鄭州大學(xué),2007:33-40.

[4] 王小科.C#開發(fā)實戰(zhàn)寶典[M].北京:清華大學(xué)出版社,2010.

[5] 王衛(wèi)辰.面向快速成形的三維CAD模型直接分層方法研究[D].徐州:中國礦業(yè)大學(xué),2010,3: 90-93.