水污染防治問題的數學模型研究＊

夏必臘 沈 浮 王 鵬 李文濤

（解放軍陸軍軍官學院數學教研室 合肥 230031）

1 引言

由于自然條件的影響，水資源特別是淡水資源在全球上分布不均，而且受氣候變化的影響，使許多國家和地區可用量減少。目前，世界范圍內城市和工業區集中發展，由于集中用水很大，超過當地水資源的供水能力，城市生活和工業用水存在大量的浪費和盲目開采造成水資源不足。另外，加上水體污染日趨嚴重，這樣原本地球上極其豐富的水資源面臨嚴重危機。根據相關資料統計，目前全世界每年約4200多億立方米的污水排入江河湖海，污染了5500億立方米的淡水，約占全球凈流量的14%以上。河流污染已經影響到人類的正常生活和生存，因而研究污染物在水體中的擴散現象及其擴散規律是治理和控制水體污染的重中之重，對河流水質的監測保護以及水資源的合理使用有著重要的意義。

本文針對河流水質的模型，從數學角度加以解釋分析，最后提出河流水質模型在實際應用中的意義。

2 水污染問題的數學模型

假設有一穩定流的一維均勻河段，已知彌散系數D＝2km／h，流速v＝5km／h，某污染的一級反應速率常數k＝0.015km／h，在x0＝0處有一點源，連續排放1小時，若起始斷面處在排放期間某污染物的濃度為＝10mg／L（j＝0，1，…，m），tm為排放終止時間，在河段的其它斷面處＝0（i＞0）。要求在8km長的河段里，從開始排放污染物起，不同時間，不同地段污染物的濃度分布。

考慮河流的一般流動狀態，除了考察分子的擴散與湍流擴散外，還要考慮到由剪切流造成的類似分子擴散的彌散作用。但在天然河流中，分子擴散系數具有數量級10－5～10－4m2／s，湍流擴散系數具有數量級10－2～1m2／s，而彌散系數的數量級為10～103m2／s，因此，在河流水質模型中，一般可以忽略分子擴散及湍流擴散的影響，只須考慮彌散作用，于是可建立如下微分方程［4］：

其中，A為河床斷面（L2）；Q 為流量（L3T－1）；D 為彌散系數（L2T－1）；y為某組分子在x 斷面處t時刻的濃度（ML－3）；S為各種源和匯的代數和。

對于一個不太長的河段，常可假定其水流近似地處于穩定狀態，斷面沿程均勻。這樣A、Q、D都可近似地作為常數處理，于是上述微分方程可簡化為

若河流中某種污染物進行一級衰減反應，并假定河底無滲漏，忽略面源的側向輸入，這時S＝－ky，k為常數。在不太長的河流中，某一污染物擴散所滿足的微分方程是一拋物型方程，結合實際問題的假設，可得到如下定解問題：

3 水污染方程的求解方法

對于其中的三個一階偏導數分別用相應的差商代替，即令

代入式（3），可建立如下顯式差分格式［9］：

當取參數v＝5，k＝0.015，D＝2時，計算結果列于表1。

表1 污染物在各點的濃度

4 結果分析

由于差分格式（4）可改寫為

可以證明［11］：當

時，差分格式（4）是數值穩定的，且以O（τ＋h2）階收斂。

容易驗證：在差分格式（4）中，所取步長及常數是滿足式（6）的，即按差分格式式（4）進行計算，所得結果表1是切合實際的。

5 結語

本文利用所建立的水質模型，對一段長8km河流的某種污染物濃度進行現狀模擬，結果表明，計算值與實測值比較接近，模型可以接受。此外，通過本模型可以計算出污染物允許的最大排污量，為科學預測河流污染物提供可靠的理論依據，這樣才有可能還河流的清白、純凈，才能可持續利用河流資源為人類子孫后代的生存提供良好的保障。由此可見，對河流水質數學模型的研究，為河流水質的控制與流域規劃等都有重要的應用價值。

［1］郭勁松，李勝海，龍騰銳.水質模型及其應用研究進展［J］.重慶建筑大學學報，2002，24（02）：109－115.

［2］王煥.水污染問題特征有限差分方法的數值計算及理論分析［J］.山東大學學報（理學版），2003，38（03）：53－60.

［3］王玲杰，孫世群，田豐.河流水質模擬問題的探討［J］.合肥工業大學學報（自然科學版），2005，28（03）：260－265.

［4］張國坤，李恒達.河流水質模型的分析及研究意義［J］.吉林師范大學學報（自然科學版），2004，26（03）：68－70.

［5］汪家權，陳眾，武君.河流水質模型及其發展趨勢［J］.安徽師范大學學報（自然科學版），2004，27（03）：242－245.

［6］吳迪軍，黃全義，孫海燕，等.突發性水污染擴散模型及其在GIS平臺中的可視化［J］.武漢大學學報（信息科學版），2009，34（02）：131－134.

［7］Kazmi A A，Hansen I S.Numerical Models in Water Quality Management：A Case Study for the Yamuna River［J］.Water Science Technology，1997，36：193－200.

［8］孫志忠，袁慰平，聞震初.數值分析［M］.南京：東南大學出版社，2002：267－287.

［9］蘇煜城，吳啟光.偏微分方程數值解法［M］.北京：氣象出版社，1989.

［10］姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［11］宋輝，周晶，鄒文萌.基于HLA的水面艦艇作戰仿真系統研究［J］.計算機與數字工程，2011（9）.

［12］錢云，張壽東.水污染事件應急響應聯動系統設計與實現［J］.計算機與數字工程，2008（3）.

［13］李榮華.偏微分方程數值解法［M］.北京：高等教育出版社，2005：201－288.

［14］Thomas J W.Numerical Partial Differential Equations［M］：Finite Difference Methods.New York：Springer－Verlag，1995.