一維三振子周期結構帶隙設計*

高明 吳志強

1)(天津大學機械工程學院力學系,天津 300072)

2)(山東科技大學理學院力學系,青島 266590)

(2012年12月24日收到;2013年4月1日收到修改稿)

1 引言

周期結構是由基本單元在空間周期排列形成的結構.在土木工程、機械動力、航空航天等領域中有廣泛應用,如加筋梁板、蜂窩結構、柵格結構、階梯軸等[1].聲子/光子晶體也是典型的周期結構，其彈性常數/介電常數周期性變化，且具有彈性波/電磁波帶隙[2],是當今物理學、光電子學、電磁場理論、材料科學、納米技術、微機電等領域共同關注的研究熱點.

周期結構具有特殊的色散關系,色散關系曲線之間的頻率范圍稱為帶隙,帶隙頻率范圍內的彈性波傳播受到抑制,而其他頻率范圍(通帶)內的彈性波可以無損耗地傳播[3].因此,周期結構可作為減振單元用于振動控制[4-7].由于是寬頻帶的振動控制方法,對激勵頻率的波動不敏感,既適合于激勵源的頻率不穩定的振動控制,也適用于共振頻率密集結構的振動控制.

計算帶隙是周期結構研究的重要問題,已發展的計算方法主要包括傳遞矩陣法[8]、平面波展開法[9]、時域有限差分法[10]、多重散射法[11]、集中質量法[12,13]等.其中集中質量法有精度高、收斂性好等優點,特別適合一維周期結構的帶隙計算.利用集中質量法可將一維周期結構等效為周期彈簧振子系統[12-14],振子的質量和彈簧的剛度由一維周期結構中的等效彈性模量、長度、截面尺寸等參數得到.已有研究表明,既可以適當選擇周期結構中單元的材料和幾何參數,調節周期結構帶隙范圍[3,5],也可利用智能材料(如壓電晶體[4,15-17]、形狀記憶合金[18,19]、功能梯度材料[20,21]等)主動改變彈性模量,調節帶隙范圍.

目前有關帶隙的研究,大部分從正問題的角度進行討論,而對如何設計周期結構實現特定頻率范圍的帶隙這一反問題,還極少涉及.因此,發展周期結構帶隙設計方法有重要的理論意義和潛在的工程應用價值.

作為帶隙設計的初步探討,本文針對一維三振子周期結構,引入奇異性理論分析其色散曲線拓撲結構,給出帶隙起止頻率的計算公式,進而提出此類結構帶隙設計方法并進行驗證.

2 帶隙計算

圖1所示為一個無限周期彈簧振子結構.每個周期由3個彈簧及振子串聯而成,相應的彈簧剛度系數為k1,k2,k3,相應的振子質量為m1,m2,m3,相鄰振子間距均為d,每個周期的長度為a=3d.如圖1,假定彈簧的質量全部集中在振子上,且振子只能在圖示的水平方向即x方向運動,xj為對應振子mj的位移.對于第 j個振子,其運動方程為

根據Bloch定理[22],在周期邊界條件下,上述運動方程的解可寫為振幅為A,角頻率為ω的簡諧振動：

式中 jq表示第 j個振子的位相因子,q為波矢,在第一Brillouin區即(-π/a,π/a)取值.

圖1 一維三振子周期結構

將(2)式代入((1)式,得：)

由于彈簧振子結構周期排列,在周期邊界條件下有：

方程(3)可簡化為

要使系統中存在形如(2)式的振動形式,則(5)式系數行列式必須等于零,即

將特定的m1,m2,m3和k1,k2,k3代入(6)式,且令qd∈(-π/3,π/3)便可得到三條色散曲線.圖2所示為m1=1 kg,m2=0.2 kg,m3=0.77 kg,k1=k2=k3=800 N/m的色散曲線.色散曲線上的每個點都對應于周期結構中的一種彈性波的傳播模式.所有色散關系曲線都不經過的頻率范圍形成帶隙,如圖2陰影部分所示.顯然,帶隙上下限值與色散曲線拓撲結構有關.(6)式中參數變化時,會不會導致色散曲線拓撲結構變化還沒有明確結論,為此下節引入分岔分析的奇異性理論進行討論.

圖2 一維三振子周期結構色散曲線

3 奇異性分析及帶隙起止頻率

由于方程(6)中有6個參數m1,m2,m3和k1,k2,k3,數目較多,不便于進行分析,下面對其進行無量綱化處理.令：

則方程(6)可簡化為無量綱方程：該方程描述了無量綱參數與無量綱頻率間的關系.當m21=m31=k21=k31=1時,帶隙不存在,本文不考慮這種特殊情況.

若視q為分岔參數,w為狀態變量,則根據奇異性理論[23],方程(8)對應的色散曲線存在不同形式的拓撲結構時,參數空間中必然存在非空的臨界參數集合,即轉遷集.轉遷集將參數空間分成不同區域,不同區域中的分岔曲線的拓撲結構一般是不同的.相反,如果所有轉遷集都為空集,則色散曲線的拓撲結構不隨參數的變化而變化,也就說完全可按圖2的特點來確定帶隙的位置.

若記w0=w2,gw0,gw0w0和gq分別為g關于w0的一階、二階導數和關于q的一階導數.則轉遷集包括分岔集B,滯后集H和雙極限點集DL,分別為

g,gw0和gw0w0的表達式見附錄.

先計算分岔集B：

若視(12)式為關于m21的一元二次方程，則由于判別式可知(12)式沒有m21實數根,也就是說沒有任何參數組合滿足分岔集B的條件,集合B為空集.

再看滯后集H：

由gw0=gw0w0=0聯立消去的w0,可得參數需滿足的方程為

同樣，由于其判別式

可知方程(13)無解,因此集合H也為空集.

對于雙極限點集DL而言,因g關于w0最高次次數為3,也為空集.

B,H和DL均為空集,表明不管周期結構的質量參數和剛度參數如何變化,色散曲線均保持圖2所示的結構.又由(8)式可知色散曲線極值點位置也只與qd有關,而與其他參數無關.因此第一帶隙的上下限恒為圖2①,②點的頻率值,第二帶隙的上下限恒為圖2③,④點的頻率值.

由一元三次代數方程的求根公式，可得第一帶隙的起始頻率、截止頻率為

第二帶隙的起始頻率、截止頻率為

其中,

4 帶隙設計方法及舉例

由于在振動帶隙內,結構沒有對應的振動模式,即當外激勵頻率在帶隙范圍內時,振動在結構中的傳播大大減弱.帶隙設計的任務就是根據外激勵頻率的范圍,選取合適振子的質量和彈簧剛度,使外激勵頻率落在帶隙范圍內,從而起到隔振減振的效果.

4.1 帶隙設計方法

根據以上奇異性分析結果,振動帶隙的起止頻率只與三條色散曲線的邊值點有關.控制帶隙范圍主要控制色散曲線的邊值點(圖2中的①—④點)的數值即可.因此,帶隙設計可按以下步驟進行：

1)將所需設計的第一、二帶隙的無量綱邊值條件wI1,wI2,wII1,wII2依次代入無量綱色散方程中,得到含有m21,m31,k21和k31的關系式;

2)找到滿足帶隙設計要求的m21,m31,k21和k31取值范圍;

3)在各參數的取值范圍內,選取合理數值,根據實際工程情況,選取實際參數完成帶隙設計.

為簡便起見,下面針對等剛度和等質量兩種情況分別進行帶隙設計.

4.2 等剛度系統帶隙設計

對于等剛度系統,k21=k31=1,(8)式簡化為

假如設計第一帶隙角頻率為11.5—18 rad/s,第二帶隙角頻率為25—40 rad/s,即圖2中①—④各極值點的數值分別為

則可取對應無量綱頻率帶隙邊值條件w1=wI1=1.15,w2=wI2=1.8,w3=wII1=2.5,w4=wII2=4,在方程(14)關于w的解中分別找到與四個邊值條件對應的三條色散曲線上①—④的數值,得到質量比m21,m31需滿足的條件,畫出m21,m31的關系曲線,如圖3中①—④所示.

圖3 等剛度系統振子質量比設計區域

實際帶隙的寬度不小于設計帶隙即滿足設計要求.具體來說,①點數值小于1.15,②點的數值大于1.8,③點數值小于2.5,④點數值大于4.易于驗證在圖3中陰影區選擇m21和m31時,上述要求即可滿足.以下通過例子驗證這一結論是正確的.

今選取陰影區域中的一點m21=0.14,m31=0.43.再根據(15)式的設計要求,可以把頻率的數值取為10,實際參數選取如下：

將(16)式各值代入(6)式,畫出色散曲線如圖4(a)所示.從圖中可以看出,①—④點全部滿足(15)式的設計要求.為驗證帶隙設計結果的正確性,畫出10個周期三振子系統振動傳輸特性曲線,如圖4(b)所示,可以看出在振幅較大衰減的區域恰好與帶隙位置相對應.說明在等剛度情況下,本文提出的設計方法是有效的.

圖4 等剛度系統色散曲線與傳輸特性曲線圖

4.3 等質量系統帶隙設計

對于等質量系統m21=m31=1,(8)式簡化為

假設還按(15)式的帶隙設計要求,取對應無量綱頻率帶隙邊值條件w1=wI1=1.15,w2=wI2=1.8,w3=wII1=2.5,w4=wII2=4,由方程(17)可得到質量比k21,k31所需滿足的條件,畫出k21,k31的關系曲線,如圖5中①—④所示.在圖5陰影區域選擇滿足帶隙設計要求的一點k21=10,m31=2.5.仍然可以把頻率的數值取為10,實際參數選取如下：

將(18)式各值代入(6)式,畫出色散曲線如圖6(a)所示.圖6(b)為10個周期三振子系統的振動傳輸特性曲線.從圖中可以看出,①—④點亦全部滿足(15)式的設計要求.因此在等質量情況下,本文提出的設計方法也是有效的.對不等剛度和不等質量的情況,由于受篇幅限制,此處不再舉例.

利用集中質量法中振子質量和彈簧剛度與連續介質材料參數之間的關系,可將周期彈簧振子結構帶隙設計方法應用到一維桿狀周期結構帶隙設計中,還可以對含有智能材料主動構件的周期結構進行帶隙設計.也可應用于聲子晶體的帶隙設計,不僅有助于推動聲子晶體在減振降噪中早日得到廣泛應用,還將為光子晶體的帶隙設計提供參考.

圖5 等質量系統彈簧剛度設計區域

圖6 等質量系統色散曲線與傳輸特性曲線圖

5 結論

針對一維三振子周期結構,對其色散方程進行奇異性分析,表明色散曲線的拓撲結構不隨質量和剛度等參數的變化而變化,進而確定帶隙范圍,給出兩個帶隙起止頻率公式.作為帶隙設計實例,分別對等剛度和等質量系統兩種情況進行了討論,給出了具體設計過程,通過具體算例進行了驗證.設計結果能夠達到預期目的.這為在減振降噪等領域設計周期結構提供了一定的理論依據和參考.

附錄 g,gw0和gw0w0的表達式

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