涂俐蘭 劉紅芳 余樂

(武漢科技大學,冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室,武漢 430065)

(2013年2月20日收到;2013年4月2日收到修改稿)

1 引言

復雜網絡的每個動力節點的一致性問題是復雜動力網絡研究中的一個有趣且有意義的問題.最主要的原因是網絡的一致性在各個領域中都有許多應用,譬如在通信網絡中的信息交換一致、數值信號、模擬信號的一致性轉換等等[1-4].在過去的20年里,各種各樣的復雜網絡的一致性問題已被深入地探討[2,5-11].

但是,在這些文獻中,很少涉及具有噪聲擾動的復雜網絡.在實際生活中,因為不確定因素的存在,例如在物理系統中的隨機力以及由環境的不確定所產生的噪聲等,需要考慮噪聲造成的干擾,而且在網絡之間或在子系統中的信號傳輸存在環境干擾是不可避免的.當分析復雜網絡的動力學行為時,獲得的結果經常受到外部噪聲的極大影響[4,12].文獻[4]研究了因特網的魯棒性和脆弱性.文獻[12]探討了基因調控網絡在外部干擾下的魯棒性和演化能力.和不具有外部噪聲干擾的復雜網絡的一致性問題相比較而言,具有噪聲的復雜網絡的一致性問題研究得不多[13-17].文獻[13,14]研究了隨機擾動下的離散復雜網絡的一致性問題;文獻[15]提出了具有馬爾可夫跳躍隨機復雜動力網絡的一致標準;Li等[16]研究了利用H無窮控制方法使得具有外部擾動的線性復雜網絡達到一致;Ke等[17]研究了具有隨機擾動的一般時滯復雜動力網絡的一致性問題.

因為有噪聲干擾的存在,在時滯復雜動力網絡的實際研究中,必須考慮噪聲因素,這對于研究具有噪聲的復雜網絡的穩定性非常重要.在經典控制理論中,對控制系統的外部干擾和內部的參數擾動,人們利用反饋和前饋來盡量消除它們的影響,改善系統的性能.H無窮控制方法和自適應控制方法是處理這類問題的兩個有效的方法[18-20].基于H無窮控制和自適應控制,Wei和Wang[18]對混沌系統的一致性進行了研究;Wang等[19]討論了不確定系統的控制問題;Lin等[20]研究了不確定分數階混沌系統的一致性問題.利用H無窮方法,復雜網絡不僅可以獲得內部的穩定性(魯棒穩定)而且可以滿足外部一定的相容性(魯棒水平).同時將自適應方法和H無窮方法應用到具有外部噪聲的復雜動力網絡中將是一個具有挑戰性的問題.

基于以上分析,本文研究具有噪聲的時滯復雜動力網絡的自適應H無窮一致性問題,其中網絡包含未知但有界的非線性耦合函數、節點和耦合項都具有時變時滯,這種網絡代表了實際生活中的很多網絡.利用李雅普諾夫方法和線性矩陣不等式(LMI)方法,提出了兩個新的局部自適應H無窮一致性充分條件.根據這些控制技術,復雜網絡的內部將達到自適應漸近一致,而復雜網絡外部則因為有外部噪聲的存在而達到了一個魯棒H無窮水平.所以,本文具有兩個創新點：1)研究的復雜網絡較其他文獻更具有一般性,因為我們考慮的網絡不僅包含外部噪聲,而且含有非線性的耦合函數、時變時滯同時出現在節點系統和網絡耦合項中;2)利用自適應控制和H無窮控制方法,從理論上提出了這種網絡的局部自適應H無窮一致性充分條件,這些條件簡單易行.

2 問題的提出和預備知識

2.1 問題的提出

考慮一個由N個相同節點構成的時滯復雜動力網絡,網絡中每個節點都是一個n維系統.整個網絡的狀態方程可表示為

其中 f：Rn→Rn是一個連續可微的有界非線性函數,xi=(xi1,xi2,···,xin)T∈ Rn是第 i個節點的狀態變量,τ(t)是每個節點的時變時滯,它連續可微且滿足

其中τ是已知的非零常數,常數c＞0是耦合強度,A=(Aij)N×N是網絡的外部耦合矩陣.其中Aij定義如下：若節點i和節點 j(j/=i)之間有連接,那么Aij=Aji=1;否則,Aij=Aji=0(j/=i).而且矩陣A的對角線元素定義為

G是一個具有適當維數的矩陣,wi(t)∈Rn是外部噪聲,H：Rn×Rn→Rn是未知但有界的非線性函數.特別地,當H是線性函數時,網絡(1)可以寫成

其中C和D是兩個具有適當維數的矩陣.

注1 在本文,我們主要討論網絡(1)在控制器ui(i=1—N)的作用下的局部自適應H無窮一致性問題,所以,網絡(1)的狀態方程施加控制器可表示為

定義1(自適應漸近一致[9]) 一般地,若

則稱復雜動力網絡(5)漸近一致,其中s(t)∈Rn是下面孤立節點系統的解

假設ei(t)=xi(t)-s(t),由網絡(5)和系統(7),我們有誤差系統

注2 由上面分析可知,復雜網絡(5)達到一致的充分必要條件是誤差系統(8)在控制器的作用下的狀態變量趨于零,所以我們的問題就轉而研究誤差系統(8).

下面,我們給出自適應H無窮一致的定義.

定義2(自適應H無窮一致[21]) 給定零初始值和一個噪聲擾動衰減水平值γ＞0,在合適的控制器ui下,當網絡的誤差系統(8)滿足如下條件(9),則稱網絡(5)達到自適應H無窮一致,

其中S為正定對稱矩陣.

2.2 預備知識

為了更好地說明問題,本文總假設E是具有合適維數的單位矩陣,所用的范數‖·‖為1-范數,并給出下面幾個假設和引理.

假設 1 設 B(t)d=efD f(s(t))=(bij(t))n×n∈Rn×n是 f(x(t))在s(t)上的雅可比矩陣.同時,假設 B=(bij)n×n∈Rn×n,其中 bij是 bij(t)(t∈R)的最大值.

假設2 設對于所有的x∈Rn,存在矩陣K1,K2∈ Rn×n使得

引理1 對于任意矩陣X,Y∈Rn×m,下面的矩陣不等式成立

其中AT=A＞0,A∈Rn×n.

引理2(Schur complement[22]) 假設Q(x)=Q(x)T,R(x)=R(x)T和S(x)都是x的矩陣函數,下列線性矩陣不等式

等價于下列條件中的任何一個

3 主要結果

在本節,我們將提出復雜動力網絡(5)的局部自適應H無窮一致性充分條件.

定理1 當假設1和2成立時,對于給定的S=ST＞0和γ＞0,若存在兩個正定的矩陣P和Q使得

成立,那么網絡(1)在控制器

和自適應律

的作用下達到自適應H無窮一致,其中αi?是αi的近似值,而βi為正常數.

證明 對網絡(8)關于s(t)進行線性化,我們有

構造一個李雅普諾夫函數為

則V(t)在控制器(12)和自適應律(13)的作用下,關于誤差系統(14)的導數有

由引理1,有

和

所以,

根據(10)式,上面的不等式表示為

假設

則

對不等式(20)求從0到∞的定積分,有

因為V(∞)≥0,且V(0)=0,所以

從而,

上式意味著在各種假設下,復雜網絡(8)達到了局部自適應H無窮漸近一致.而且,要注意到不等式(19)不是標準的LMI形式,利用引理2,可以把它改寫為不等式(11).至此,證畢.

定理1提出了噪聲下的復雜網絡(1)達到自適應H無窮一致的標準.下面的定理2表明了當復雜網絡(1)沒有外部噪聲的時候,網絡內部獲得自適應漸近一致的充分條件.

定理2 當假設1和2成立時,對于給定的S=ST＞0,若存在兩個正定矩陣P和Q,使得

成立,則沒有噪聲的復雜網絡(1)在控制器(12)、自適應律(13)的作用下,達到自適應漸近一致.

證明 假設wi(t)=0,類似于定理1的證明,由(18)式,我們有

當

由引理2,它等價于不等式(21),我們有

所以,沒有噪聲的網絡(1)在控制器(12)、自適應律(13)的作用下,達到自適應漸近一致.證畢.

注3 當耦合函數H是線性函數時,也即網絡(4),則同樣可以獲得復雜網絡(4)達到自適應H無窮一致的充分條件.這時,定理1和定理2中的線性矩陣不等式(11)和(21)將更簡單,只需要把K1=C和K2=D代入定理1和定理2即可.

4 數值模擬

為了驗證前面理論分析的主要結果,下面我們將對一個由100個節點構成的小世界網絡進行數值模擬.考慮一個具有100個節點的小世界網絡(1),網絡(1)的平均路徑長度為0.5814,它的每個節點動力系統都是具有時滯的Lorenz系統

其中a1,a2,a3是實數.當a1=10,a2=8/3,a3=28時,Lorenz系統是混沌的.同時,本數值模擬中,設網絡(1)的耦合函數為

設wi(t)是高斯噪聲.為了簡單起見,給定網絡中的參數分別為τ(t)=1,G=(1,1,1)T,c=0.3,γ=0.5和S=diag(0.1,0.1,0.1).在所有的數值模擬中,設初始值為αi=βi=0.5?i(i=1,2,···,50),且設孤立系統的初始值為s=(3,-10,8).圖1和圖2分別是無噪聲和有噪聲的小世界網絡(1)的動力軌跡圖,其中網絡(1)的初始值為xi=(-0.05i,0.05i,0.5i),i=1,2,···,100.因為噪聲的存在,在初始值完全相同的情形下,圖1系統軌跡在短時間內不同于圖2.

圖1 無噪聲小世界網絡(1)的運動軌跡

圖2 噪聲下小世界網絡(1)的運動軌跡

根據定理1,利用Matlab的LMI工具箱,可以找到正定矩 陣 P和Q使得滿足定理1的條件(11).在上述條件下,對無噪聲和有噪聲的網絡(1)施加控制器(12),(13),獲得了無噪聲和有噪聲情況下誤差系統(8)的運動軌跡圖,如圖3和圖5所示.圖3的軌跡很快都漸近趨于零,說明無噪聲的網絡(1)在控制器(12),(13)的作用下,網絡內部很快達到一致.圖5的第二個、第三個子圖也很快趨于零,而從第一個子圖可以看出,誤差系統的軌跡在零的附近有很小的擺動,說明在網絡外部施加噪聲的干擾,網絡的誤差系統沒有大的改變,它的運動軌跡是有界的.圖4和圖6分別表示無噪聲和有噪聲的情況下自適應律(13)的軌跡圖,它們都表明自適應控制律很快都趨于穩定值.更進一步地,圖7說明在零初始條件下,誤差的H∞范數和外部噪聲H∞范數的比值開方在擾動衰減水∫平 γ=0.5之內,證明了∫

也即網絡(1)的各個節點達到了自適應H無窮一致,從而驗證了本文提出的理論的正確性和有效性.

圖3 無噪聲的誤差系統(8)軌跡圖

圖4 無噪聲的自適應律軌跡圖

圖5 有噪聲的誤差系統(8)軌跡圖

圖6 有噪聲的自適應律軌跡圖

圖7 誤差的H∞范數和外部噪聲的H∞范數的比值開方與時間關系圖

5 結論

本文研究了具有噪聲的時滯復雜動力網絡的一致性問題,其中網絡具有非線性耦合函數、節點系統和耦合項都有時變時滯.這種形式的網絡代表了實際中的很多網絡,在以往的文獻中很少涉及.基于李亞普諾夫穩定性理論、LMI技術、H無窮控制和自適應控制方法,本文提出了幾個局部自適應H無窮一致充分條件.這些條件能夠保證網絡的每個節點內部達到自適應H無窮一致,在此基礎上,網絡外部也達到了一定的H無窮衰減水平.而且,我們的假設和所獲得的自適應控制器形式非常簡單,在實際中也便于實現.最后,本文做了非常詳細的數值模擬,這些數值模擬證明了我們所提出的理論的正確性和有效性.

[1]Albert R,Barab′asi A L 2002 Rev.Mod.Phys.74 47

[2]Wang X F,Chen G 2002 IEEETrans.Circuits Syst.I,Fundam.Theory Appl.49 54

[3]Wang X F,Li X,Chen G R 2006 Theory and Application of Complex Networks(Beijing：Tsinghua University Press)p7(in Chinese)[汪小帆,李翔,陳關榮2006復雜網絡理論及其應用(北京：清華大學出版社)第7頁]

[4]Doyle JC,Alderson D L,Li L 2005 PNAS102 14497

[5]Wang X F,Chen GR 2002 Physica A 310 521

[6]Kocarev L,Amato P 2005 Chaos15 024101

[7]Zhou J,Chen T 2006 IEEETrans.Circuits Syst.I 53 733

[8]Tu L L,Lu JA 2009 Comput.Math.Appl.57 28

[9]Zhang QJ,Lu JA,L¨u JH 2008 IEEETrans.Circuits Syst.II 55 183

[10]Liu JL 2013 Acta Phys.Sin.62 040503(in Chinese)[劉金良2013物理學報62 040503]

[11]Liang Y,Wang X Y 2013 Acta Phys.Sin.62 018901(in Chinese)[梁義,王興元2013物理學報62 018901]

[12]Aldana M,Ballezaa E,Kauffmanb S,Resendiz O 2007 J.Theor.Biol.245 433

[13]Liang JL,Wang Z D,Liu X H 2008 Nonlinear Dyn.53 153

[14]Park JH,Lee SM,Jung H Y 2009 J.Optim.Theory Appl.143 357

[15]Li H J,Yue D 2010 J.Phys.A：Math.Theor.43 105101

[16]Li ZK,Duan ZS,Chen GR 2009 Chin.Phys.B 18 5228

[17]Ke C,Wang ZM,Tu L L 2013 Acta Phys.Sin.62 010508(in Chinese)[柯超,王志明,涂俐蘭2013物理學報62 010508]

[18]Wei R,Wang X Y 2004 Acta Phys.Sin.53 3298(in Chinese)[魏榮,王行愚2004物理學報53 3298]

[19]Wang ZY,Huang L H,Zuo Y,Zhang L L 2010 Int.J.Control Automat.Syst.8 266

[20]Lin TC,Kuo CH 2011 ISATrans.50 548

[21]Ahn CK,Jung ST,Kang SK,Joo SC 2010 Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat.15 2168

[22]Boyd S,Ghaoui L E,Feron E,Balakrishnan V 1994 Linear Matrix Inequalitiesin Systemand Control Theory(Philadelphia：SIAM)