分數階Lorenz系統的分析及電路實現*

賈紅艷 陳增強 薛薇

1)(天津科技大學自動化系,天津 300222)

2)(南開大學自動化系,天津 300071)

(2013年3月12日收到;2013年3月11日收到修改稿)

1 引言

盡管分數階的微積分理論很可能在300多年前就已經出現了,但在1960年以前,關于分數階系統的研究很少能引起研究者的關注[1,2].這或許是由于存在著許多不一致的微積分定義,或許是由于缺乏對分數階微積分的充分的幾何解釋[3].直到近幾十年,尤其當發現一些實際的物理系統展現出分數階動態特性以后,例如,管道的邊界層效應、電解電極、黏彈性受阻結構等過程中都存在分數階動態特性[4-7].關于分數階系統的研究開始引起了越來越多的關注,隨后對分數階系統中的混沌動態研究逐漸成為了一個研究熱點,相繼有一些分數階混沌系統被提出和研究,例如,分數階的Chua’s電路[1]、分數階的Lorenz系統[3]、分數階的Chen系統[8-10]、分數階的Lu¨系統[11]、分數階的神經網絡[12]、分數階的Duffi ng振子[13]等.

通常認為在維數低于3的系統中,不能發現混沌動態,而在分數階系統中存在混沌動態使得在維數低于3的系統中發現混沌現象成為可能.在更低維的系統中發現混沌現象或許會成為一個研究動力,促使研究者們更進一步地分析和研究分數階混沌系統.這里所說的系統維數是指系統中所有的微分方程的階次的總和.此外,出于應用的需要,關于分數階混沌同步和控制研究以及電路設計等也正逐漸成為了一個研究熱點[14-20].分數階混沌理論的研究工作將為混沌應用提供一些新的技術手段,從而促進混沌應用的發展.

然而由于對分數階混沌的研究剛剛起步,上述關于分數階混沌系統的研究絕大多數都是通過Lyapunov指數、吸引子相軌跡圖、電路仿真等數值仿真分析方法說明系統的混沌動態.而分數階混沌系統的分岔分析以及硬件實現等卻很少涉及.本文將主要通過分岔分析和模擬電路實現對分數階Lorenz系統的混沌特性進行研究.前者可以給出分數階系統隨參數變化的演化過程,分析系統的一些動態特性,找到系統中的混沌吸引子和周期吸引子.后者不僅可以幫助從物理意義上說明混沌的存在性,而且可以為分數階混沌應用提供電路模型.

2003年,Grigorenko和Grigorenko[3]分析了分數階Lorenz系統的混沌動態,不僅給出了當系統維數大于或等于2.91時的一些吸引子相軌跡圖和分析,而且也給出了當維數小于或等于2.91時,該系統不存在混沌動態的結論.但非常遺憾的是,2003年在和Grigorenko的私人通信中,Li證實了文獻[3]中的結論是錯誤的,并于2004年在文獻[2]中做了說明.2009年Yu等[21]進一步研究了分數階Lorenz系統且給出了其平衡點的穩定性分析,說明了該系統的Hopf分岔現象,同時也給出了2.96維的混沌吸引子的數值仿真圖.那么在更低維的分數階Lorenz系統是否存在混沌動態呢?

本文在上述研究的基礎上,首先對分數階Lorenz系統進行了研究,發現在更低維的分數階Lorenz系統存在著混沌現象.然后,為進一步說明混沌特性隨參數變化的演化行為,又給出了不同分數階次的系統的Lyapunov指數圖、分岔圖和吸引子相軌跡圖,通過數值分析方法說明了分數階Lorenz系統的混沌特性,即數值仿真結果和分岔圖是一致的.最后,基于整數階混沌電路的設計方法[22-31],用模擬電路實現了該分數階Lorenz系統,通過模擬示波器觀察到了與數值仿真一致的結果.不僅從物理意義上說明了分數階Lorenz系統的混沌特性,也為混沌應用提供了技術上的準備.

2 分數階Lorenz系統及其分形分析

2.1 分數階Lorenz系統

最近,Grigorenko和Grigorenko分析了分數階Lorenz系統的混沌動態,該系統可以被描述為

其中,a,b,c,d是系統參數,α,β,γ是分數階次.在文獻[2,3,21]中分別對該系統進行了數值仿真分析和平衡點的穩定性分析等研究,分別說明了該分數階系統在2.91維和2.96維的混沌特性.現選取a=40,b=3,c=10,d=25,α=β=γ=0.9時,通過數值仿真可以觀察到該分數階系統在2.7維的一個混沌吸引子的相軌跡,如圖1所示.

圖1 分數階Lorenz系統的混沌吸引子(α=β=γ=0.9)

2.2 分數階Lorenz系統分形分析和數值仿真

然而,僅僅憑借圖1不能說明分數階Lorenz系統的混沌動態.為進一步對其混沌特性加以驗證,下面將通過Lyapunov指數圖和分岔圖對其進行進一步研究.本文中采用的分數階微分為Riemann-Liouville定義：

那么,在該定義下的Laplace變換為

這樣,傳遞函數1/sα可以用一個近似的整數階傳遞函數表示.實際上當研究分數階系統的混沌動態時,頻域傳遞函數近似方法是常用的數值方法之一,這種方法在很多研究中常被采用[1,2,32,33].且誤差不會超過2 dB.本文分別采用了文獻[1,33]中所給出的兩種不同的頻域近似,對分數階Lorenz系統進行了研究,通過對Lyapunov指數圖、分岔圖和數值仿真分析,都發現了分數階Lorenz系統的混沌動態.鑒于篇幅原因,本文只給出了采用文獻[33]的頻域近似方法的分析結果.其中所用到的近似函數分別為

同時,基于連續整數階混沌系統Lyapunov指數的Jacobian計算方法,本文計算了分數階Lorenz系統的Lyapunov指數.與整數階系統計算方法不同的是,在計算不同分數階次Lorenz系統的Lyapunov指數時,本文將整數階的積分器1/s轉換為分數階的積分器1/sα,就可以得到系統的相應的分數階次的Lyapunov指數.

圖2 分數階次為α=β=γ=0.9的Lorenz系統的Lyapunov指數圖和分岔圖 (a)Lyapunov指數圖;(b)分岔圖

這樣當a=40,c=10,b=3,變化參數d時,可以得到分數階次為α=β=γ=0.9,系統維數為2.7的Lorenz系統的Lyapunov指數圖和分岔圖,如圖2所示.通過對該Lyapunov指數圖和分岔圖分析,可以發現在2.7維的Lorenz系統的確存在混沌特性.采用相同的方法,也可以分別得到分數階次為0.8和0.7,系統維數為2.4和2.1的Lorenz系統的Lyapunov指數圖和分岔圖,如圖3和圖4所示.

通過對上述Lyapunov指數圖和分岔圖的分析,可以發現當分數階次從0.7到0.9以步長0.1變化時,即系統維數從2.1到2.7以步長0.3變化時,分數階Lorenz系統不僅存在混沌特性,而且也存在周期特性.為了進一步驗證我們的分析,本文中也給出了一些不同分數階次或系統維數的數值仿真圖.現選取a=40,b=3,c=10,當分數階Lorenz系統的分數階次從0.7到0.9變化時,其x-y平面的相軌跡圖分別如圖5所示.其中當分數階次為0.9,a=40,b=3,c=10,分別取d=40,d=33.8時,分數階Lorenz系統為單周期吸引子和雙周期吸引子,如圖5(a)和5(b)所示;當分數階次為0.8,a=40,b=3,c=10,分別取d=40和d=41.7時,分數階Lorenz系統為混沌吸引子和周期吸引子,如圖5(c)和(d)所示;當分數階次為0.7,a=40,b=3,c=10,分別取d=40和d=46時,分數階Lorenz系統為漸進穩定的相軌跡和混沌吸引子,如圖5(e)和(f)所示.考慮到篇幅原因,本文僅給出部分吸引子的相軌跡圖.通過數值仿真觀察到的吸引子相軌跡與指數圖和分岔圖所呈現的動態特性是一致的.

圖3 分數階次為α=β=γ=0.8的Lorenz系統的Lyapunov指數圖和分岔圖 (a)Lyapunov指數圖;(b)分岔圖

圖4 分數階次為α=β=γ=0.7的Lorenz系統的Lyapunov指數圖和分岔圖 (a)Lyapunov指數圖;(b)分岔圖

圖5 分數階Lorenz系統的x-y平面的吸引子相軌跡 (a)α=β=γ=0.9,d=40時單周期吸引子;(b)α=β=γ=0.9,d=33.8時雙周期吸引子;(c)α=β=γ=0.8,d=40時混沌吸引子;(d)α=β=γ=0.8,d=41.7時周期吸引子;(e)α=β=γ=0.7,d=40時漸進穩定的相軌跡;(f)α=β=γ=0.7,d=46時混沌吸引子

3 分數階Lorenz系統的電路實現

為了進一步從物理意義上驗證分數階Lorenz系統的混沌特性,基于整數階混沌電路的設計方法和頻域近似方法,使用電阻、電容、模擬運算放大器LF347N和乘法器AD633,本文也設計了一個模擬電路實現了0.9階次的分數階Lorenz系統,如圖6所示.其中R5=R15=R24=1.55 MΩ,R6=R16=R25=62 MΩ,R7=R17=R26=2.5 kΩ;C1=C4=C7=0.73μF,C2=C5=C8=0.52μF,C3=C6=C9=1.1μF,上述電阻和電容的數值都是根據0.9階次的頻域近似確定的.R1=R2=2.5 kΩ,R3=R8=R9=R10=R13=R18=R19=R22=R27=R28=10 kΩ,R4=R12=R14=R21=R23=1 kΩ,R20=33.3 kΩ,R11是可調電阻,這些電阻阻值都是根據分數階Lorenz系統的系統參數確定的,其中R11隨著系統(1)中的參數d的變化而變化.這樣當調節可調電阻R11時,可以通過示波器觀測到混沌吸引子或周期吸引子的相軌跡,本文分別給出了x-y和y-z平面的混沌吸引子、雙周期吸引子和單周期吸引子的相軌跡圖,如圖7所示.通過與數值仿真的結果比較,可以發現分數階Lorenz系統的數值仿真、分形分析、電路實現的結果是一致的.

圖6 分數階Lorenz系統的模擬電路

4 結論

采用頻域傳遞函數近似方法,研究了分數階Lorenz系統,分別從系統的Lyapunov指數圖、分岔圖和吸引子相軌跡圖等數值仿真分析驗證了其混沌特性.與已有的研究不同的是,本文發現了該分數階Lorenz系統豐富的動態特性,當分數階次從0.7到0.9以步長0.1變化時,即系統維數從2.1到2.7以步長0.3變化時,分數階Lorenz系統不僅都存在混沌特性,而且也都存在周期特性.另外,也設計了一個模擬電路實現了分數階次為0.9的Lorenz系統,且通過示波器觀測到的相軌跡圖同數值仿真分析是一致的,從物理意義上進一步驗證了分數階Lorenz系統的混沌特性.上述研究結果表明,在更低維的Lorenz系統中也存在著混沌特性.本文的研究工作或許將為混沌應用提供更為豐富的分數階模型,為其應用提供技術上的準備.

圖7 示波器觀測到的分數階Lorenz系統的相軌跡 (a)x-y平面混沌吸引子;(b)y-z平面混沌吸引子;(c)x-y平面雙周期吸引子;(d)y-z平面雙周期混沌吸引子;(e)x-y平面單周期吸引子;(f)y-z平面單周期吸引子

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