隨機雙指數記憶耗散系統的非馬爾可夫擴散*

謝文賢 許鵬飛 蔡力 李東平

(西北工業大學應用數學系,西安 710072)

(2012年11月26日收到;2012年12月12日收到修改稿)

1 引言

眾所周知,廣義朗之萬方程(generalized Langevin equation,GLE)是描述反常擴散的主要途徑之一[1-5].大量研究表明,在冪函數型[6,7]、指數型[6,8]、雙指數型記憶核函數[9-11]中均觀察到不同類的反常擴散現象.Wang等[3,12]建立了GLE所對應的反常擴散及其福克-普朗克(Fokker-Planck)方程與概率密度函數之間的關系.Porr`a等[6]針對GLE在耗散記憶核函數與噪聲相關函數變化的情況下,研究了粒子運動由平穩狀態到超擴散的演化趨勢,隨著參數的變化呈現出了欠擴散、正常擴散等現象.Bao等[4,13,14]基于GLE針對簡諧速度噪聲(harmonic-velocity noise)深入研究了反常擴散下的動力學等問題.Vi?nales等[7,15]則圍繞Mittag-Leffl er噪聲和長時拖尾噪聲(long-time tail noise)研究了GLE帶有簡諧振子的反常擴散現象,大大深化了隨機環境對擴散現象的影響.除反常擴散一系列研究外,此領域還涉及GLE的數值模擬[11,16]、遍歷性[17]、隨機共振[18-20]等的研究.

上述研究結果多限于單自由度耗散系統,而關于多自由度情形涉及較少.多自由度情形中不容忽視的問題就是不同噪聲源的互關聯性[21-28].以往諸多研究表明互關聯性對隨機共振[22-24]、平均首次穿越[26,27]等現象影響深刻.近來,Wang等[28]在互關聯噪聲激勵的兩自由度耦合系統(可用GLEs表示)中,細致分析了含有冪函數型的記憶核情形下的反常擴散問題.而Roy等[29]和Kumar[30]應用具有耦合阻尼項的兩自由度耗散系統來研究電子受垂直于相平面方向的均勻磁場作用下的軌道磁力矩的特性.但是此類系統的擴散問題筆者目前尚未見報道.鑒于此,本文將其GLEs推廣至互關聯情形,研究具有雙指數記憶核函數和阻尼耦合的系統的響應二階矩所呈現出的非馬爾可夫擴散行為,并分析不同噪聲源間的互關聯性對其影響.具體的GLEs如下：

其中粒子質量為m,阻尼耦合因子為B.內噪聲ξi(t)滿足 〈ξi(t)〉=0,以及漲落耗散定理 〈ξi(t)ξj(t′)〉=kBTβij(|t-t′|)(i=x,y),kB為 Boltzmann 常數,T 為環境的絕對溫度.

方程(1)也可視為一般機械振動理論中具有耦合黏性阻尼B的運動方程的推廣.

2 熱寬帶噪聲激勵下的系統響應矩

2.1 兩噪聲不存在互關聯的情形

首先考慮系統(1)的雙指數記憶核函數(i=x,y),其滿足

其中τ1和τ2為兩個相關時間,β0為摩擦系數.此時,兩噪聲不存在互關聯性,系統(1)退化為具有耦合阻尼項的GLEs.不失一般性,令m=1,引入新變量x˙(t)=v(t),y˙(t)=u(t),并運用Laplace變換,易得系統(1)的位移x(t),y(t)和速度v(t),u(t)的表達式

其中,取初始位移x0=y0=0及初始速度v0=1.2,u0=0.8,而 βxx(t),hi(t),Hi(t)分別為對應于 β?xx(s),h?i(s),H?i(s)的逆Laplace變換(i=1,2).這里

結合(2)—(5)式,并運用Laplace變換可得系統響應二階矩的表達式

其中αi為如下方程di(z)=0的根(i=1,2)：

由于系統(1)的對稱性,位移y(t)和速度u(t)的二階矩與(6)式結構類似.

特別地,當相關時間τ1→∞,則ξi(t)(i=x,y)退化為Ornstein-Uhlenbeck噪聲,文獻[6,8]對此類單自由度系統的反常擴散的研究已有報道.進一步,當相關時間τ2→0,則ξi(t)(i=x,y)退化為高斯白噪聲,系統(1)的耗散記憶核函數失效,表現為馬爾可夫性;其位移二階矩是正常擴散的.為了具體分析噪聲性質和耗散性質對擴散現象的影響,以下討論中均選定參數值kBT=5.0,k=1.0.

圖1和圖2中給出位移二階矩〈x2(t)〉隨時間t的非馬爾可夫振蕩擴散.熱寬帶噪聲僅在其相關時間τ2充分小時退化為“綠”噪聲[11].在“綠”噪聲范圍內,〈x2(t)〉隨著相關時間τ1的增大而遞增,但相關時間τ1增加到一定程度時,〈x2(t)〉隨τ1的增加其變化減弱.圖1中τ1=10與τ1=15所對應的〈x2(t)〉非常接近,這表明τ1增加到一定程度時,“綠”噪聲逐漸退化成高斯白噪聲,即有此時，結合(4)—(6)式可得高斯白噪聲激勵下位移二階矩：

其中

當系統參數k=B=0時,系統(1)退化為無簡諧勢束縛的單自由度系統,此時,位移二階矩〈x2(t)〉在“綠”噪聲范圍內將退化為彈道擴散[9].圖2分析了(2)式中摩擦系數β0對位移二階矩〈x2(t)〉的影響.當摩擦系數 β0=0.01 時,〈x2(t)〉呈現振蕩形式的擴散,并且振蕩幅度隨著時間的演化逐漸增大.而隨著摩擦系數β0的不斷增大,系統阻尼使粒子運動減弱,〈x2(t)〉明顯趨于平穩狀態,即符合物理直觀.

圖 1 〈x2(t)〉作為t的函數隨τ1變化的曲線 (B=0.05,β0=0.01)

圖2 〈x2(t)〉作為t的函數隨 β0變化的曲線 (τ1=7,τ2=3,B=0.05)

2.2 兩噪聲互關聯的情形

若考慮兩噪聲色相關的情形：

其中D1和D2分別表示兩激勵噪聲的強度(D1=λ 為互關聯強度,τ3為互關聯時間.若τ3→0,則(7)式退化為白關聯情形

考慮到兩噪聲所滿足漲落耗散定理,可得系統(1)中記憶核函數

類似(4)和(5)式,導出βxy(t),gi(t),Gi(t)(i=1,2)的Laplace變換如下：

結合(4),(7),(9)—(11)式,可得系統(1)各響應的二階矩.這里僅列出〈x2(t)〉的表達式：

其中αi為如下方程wi(z)=0的根(i=1,2)：

圖3描述了粒子沿著x軸方向的位移二階矩〈x2(t)〉隨耦合因子B的變化情況,在短時間內影響不顯著,但長時間后隨著B的增加而其擴散加劇.在兩噪聲存在互關聯(λ=1)情形時,圖3中虛線表明〈x2(t)〉仍呈現振蕩擴散,且耦合因子B同樣將促進〈x2(t)〉的擴散.相較于無關聯(λ=0)情形(實線),互關聯情形的擴散加劇.

圖3 兩噪聲有(無)互關聯情形下〈x2(t)〉作為t的函數隨B變化的曲線 (τ1=7,τ2=3,β0=0.05)

圖4 〈x2(t)〉作為t的函數隨B和λ變化的曲線(τ1=7,τ2=3,β0=0.05)

圖4 描述了系統(1)的位移二階矩〈x2(t)〉在阻尼耦合因子B=0時隨時間t的變化情況.當兩噪聲無關聯(λ=0)時,系統退化為僅受簡諧勢場束縛的單自由度系統,此時,〈x2(t)〉在長時間后趨于平穩狀態,即 〈x2(∞)〉=kBT/k.而在兩噪聲互關聯(λ=1,τ3=4.5)時,系統(1)退化為僅受二維簡諧勢場束縛的兩自由度系統,互關聯性延長了〈x2(t)〉的弛豫時間.

結合圖3和圖4,在兩噪聲有(無)關聯情形下,耦合因子B將使得粒子遠離簡諧勢場的束縛,而呈現普遍的振蕩擴散.

圖5 〈x2(t)〉作為 τ3的函數隨 λ 變化的曲線(τ1=7,τ2=3,B=0.05,β0=0.3,t=30)

圖6 〈x(t)y(t)〉作為t的函數隨τ3和λ變化的曲線(τ1=10,τ2=0.01,B=0.02,β0=0.3)

圖5 描述了位移二階矩〈x2(t)〉(12)式作為互關聯時間τ3的函數,隨著兩噪聲間的互關聯強度λ變化情況.〈x2(t)〉隨著τ3的增加而單調遞減,突顯了色關聯性(7)式演化為白關聯性(8)式時,〈x2(t)〉的擴散得到顯著加劇.〈x2(t)〉隨著互關聯強度λ的增加而增大,即兩個色噪聲之間的互關聯性越強,位移二階矩擴散就越強.圖6表明,色關聯性(7)式延緩〈x(t)y(t)〉趨于平穩狀態的趨勢,τ3越小其負相關性越強,弛豫時間越長.

3 結論

本文導出了(互關聯)熱寬帶噪聲激勵的具有耦合阻尼項的系統(1)響應二階矩的解析表達式,并討論了〈x2(t)〉和〈x(t)y(t)〉隨各系統參數的變化情況.粒子在簡諧勢場中受阻尼耦合因子B的作用,位移二階矩〈x2(t)〉出現了普遍振蕩式的非馬爾可夫擴散,其在一定范圍內隨噪聲相關時間τ1和耦合因子B的增大而擴散加劇,耗散記憶核函數的摩擦系數不斷增大將使〈x2(t)〉呈現平穩狀態.而兩熱寬帶噪聲之間的互關聯性對響應二階矩起著十分顯著的影響：互關聯強度對〈x2(t)〉的非馬爾可夫擴散呈現促進作用,并加強了兩位移間的互相關性;相反,較大的互關聯時間卻抑制〈x2(t)〉擴散和位移間相關性的加強.上述二階矩特性將有助于系統(1)的隨機共振及遍歷性的討論.

[1]Bao JD 2005 Progress Phys.25 359(in Chinese)[包景東2005物理學進展25 359]

[2]Zhuo Y Z 2004 Nuclear Phys.Rev.21 83(in Chinese)[卓益忠2004原子核物理評論21 83]

[3]Wang K G,Tokuyama M 1999 Physica A 265 341

[4]Bao JD,Zhou Y,L¨u K 2006 Phys.Rev.E 74 041125

[5]Siegle P,Goychuk I,H¨anggi P2010 Phys.Rev.Lett.105 100602

[6]Porr′a JM,Wang K G,Masoliver J1996 Phys.Rev.E 53 5872

[7]Vi?nales A D,Desp′osito M A 2006 Phys.Rev.E 73 016111

[8]Bao JD,Bai ZW 2005 Chin.Phys.Lett.22 1845

[9]Bao JD,Zhuo Y Z 2003 Phys.Rev.Lett.91 138104

[10]Siegle P,Goychuk I,Talkner P,H¨anggi P2010 Phys.Rev.E 81 011136

[11]Bao JD 2004 J.Stat.Phys.114 503

[12]Wang K G 1992 Phys.Rev.A 45 833

[13]Bao JD,Song Y L,Ji Q,Zhuo Y Z 2005 Phys.Rev.E 72 011113

[14]Bao JD,Zhuo Y Z,Oliveira F A,H¨anggi P 2006 Phys.Rev.E 74 061111

[15]Vi?nales A D,Wang K G,Desp′osito M A 2009 Phys.Rev.E 80 011101

[16]L¨u K,Bao JD 2005 Phys.Rev.E 72 067701

[17]Plyukhin A V 2011 Phys.Rev.E 83 062102

[18]Neiman A,Sung W 1996 Phys.Lett.A 223 341

[19]Bai WSM,Peng H,Tu Z,Ma H 2012 Acta Phys.Sin.61 210501(in Chinese)[白文斯密,彭皓,屠浙,馬洪2012物理學報61 210501]

[20]Zhong SC,Gao SL,Wei K,Ma H 2012 Acta Phys.Sin.61 170501(in Chinese)[鐘蘇川,高仕龍,韋鹍,馬洪2012物理學報61 170501]

[21]Xu W,Jin Y F,Xu M,Li W 2005Acta Phys.Sin.54 5027(in Chinese)[徐偉,靳艷飛,徐猛,李偉2005物理學報54 5027]

[22]Jin Y F,Hu H Y 2009 Acta Phys.Sin.58 2895(in Chinese)[靳艷飛,胡海巖2009物理學報58 2895]

[23]Jin Y F 2012 Physica A 391 1928

[24]Zeng CH,Wang H,Wang H T 2011 Chin.Phys.B 20 050502

[25]Fuli′nski A,Telejko T 1991 Phys.Lett.A 152 11

[26]Zhang N M,Xu W,Wang C Q 2007 Acta Phys.Sin.56 5083(in Chinese)[張娜敏,徐偉,王朝慶2007物理學報56 5083]

[27]Jiang L L,Luo X Q,Wu D,Zhu SQ 2012 Chin.Phys.B 21 090503

[28]Wang Y X,Zhao NR,Yan Y J2012 Phys.Rev.E 85 041142

[29]Roy D,Kumar N 2008 Phys.Rev.E 78 052102

[30]Kumar N 2012 Phys.Rev.E 85 011114