基于邊緣值、方差以及脈沖性的偏微分方程圖像去噪算法

侯傳勇

（中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，太原 030051）

1 引言

自20世紀(jì)80年代以來，計(jì)算機(jī)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，性價(jià)比越來越高，從而為數(shù)字圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺的迅速發(fā)展奠定的物質(zhì)基礎(chǔ)，其應(yīng)用也日趨擴(kuò)展。圖像去噪[1]是數(shù)字圖像處理中的一個(gè)經(jīng)典問題。偏微分方程（PDE）因?yàn)榫哂懈飨虍愋缘奶匦裕⑶易赃m應(yīng)性強(qiáng)，所以將其應(yīng)用在圖像去噪過程中時(shí)能夠在平滑噪聲的同時(shí)更好的保持邊緣紋理等細(xì)節(jié)信息。在過去的二十幾年中，偏微分方程算法獲得了巨大的發(fā)展。

從理論上看，利用偏微分方程進(jìn)行圖像去噪可以追溯到很早以前。1990年，學(xué)者Perona和Malik[2]在熱傳導(dǎo)方程的基礎(chǔ)上提出了著名的圖像去噪模型：P-M模型。但是，由于P-M方程在解的存在唯一性上缺乏相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，因此，F(xiàn).Catt[3]等學(xué)者于1992年對(duì)P-M模型進(jìn)行了改進(jìn)，在數(shù)學(xué)理論上解決了解的存在唯一性，完善了這個(gè)模型。1994年，J.Weickert[4]利用擴(kuò)散張量為擴(kuò)散項(xiàng)，提出了基于張量的偏微分方程模型，克服了非線性擴(kuò)散方程無法去除圖像邊緣處噪聲的缺點(diǎn)。隨后，Osher[5]和他的研究小組提出了基于全變分的圖像消噪模型。此外，偏微分方程去噪模型還實(shí)現(xiàn)了由低階向高階[6]等的發(fā)展。

現(xiàn)有的偏微分方程去噪模型因?yàn)樵跀U(kuò)散的時(shí)候沒有考慮圖像本身的具體特征，所以去噪的同時(shí)不能特別清晰的保護(hù)圖像的具體細(xì)節(jié)信息。本文在原有偏微分方程模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖像的邊緣值、方差以及脈沖性等特征，提出了一種改進(jìn)的基于偏微分方程的圖像降噪算法。該算法利用邊緣值、方差跟脈沖性來確定擴(kuò)散的程度，進(jìn)而確定各項(xiàng)異性擴(kuò)散的強(qiáng)度，從而起到很好的降低圖像噪聲的作用。

2 P-M模型原理

1990年，Perona和Malik提出了各向異性擴(kuò)散模型（P-M模型），該模型用一個(gè)能保持邊緣的具有自適應(yīng)的各向異性擴(kuò)散替代高斯平滑。P-M模型根據(jù)具體區(qū)域來調(diào)節(jié)模型的擴(kuò)散系數(shù)，使擴(kuò)散主要發(fā)生在圖像的平滑區(qū)域，而在邊緣處則停止擴(kuò)散。因此隨著擴(kuò)散過程的進(jìn)行，平滑區(qū)域的噪聲越來越少而非平滑區(qū)域的噪聲則得到較好的保持。

Perona和Malik提出了能夠保持邊界的各向異性擴(kuò)散方程：

其中，It(x,y)是t時(shí)刻的圖像; div是散度算子；? It(x,y)是梯度算子；ct是依賴于圖像的擴(kuò)散系數(shù)。通過適當(dāng)?shù)亩x擴(kuò)散函數(shù)，Perona-Malik模型既可以去噪，又可以很好的保護(hù)圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息。

設(shè)想 It(x,y)是圖像在第t次迭代后坐標(biāo)(x,y)處的灰度值；I0(x,y)是原始輸入圖像。各向異性擴(kuò)散模型可以通過使用四個(gè)鄰域和拉普拉斯算子離散得到：

t也可以被認(rèn)為是Perona-Malik各向異性擴(kuò)散模型梯度(x ,y)的映射。即：

在Perona-Malik各向異性擴(kuò)散模型中，擴(kuò)散系數(shù)可由以下公式給出：

其中，參數(shù)k是一個(gè)常數(shù)，在擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)中是一個(gè)邊緣強(qiáng)度閾值,通常是一個(gè)正整數(shù)。

但是單純的用梯度信息來控制擴(kuò)散強(qiáng)度并不能清晰的反映圖像的細(xì)節(jié)信息。因此本文在原有P-M模型的基礎(chǔ)上引入了圖像的邊緣值、方差以及脈沖性等特征。

3 算法改進(jìn)

邊緣值體現(xiàn)了灰度圖像中突出變化的部分，我們使用sobel算子[7]來計(jì)算像素的邊緣值[8]。邊緣值的計(jì)算公式如下：

其中，1s為行邊緣算子，2s為列邊緣算子。

圖像的標(biāo)準(zhǔn)偏差[9]描述了圖像在3×3鄰域中的分布，可以用以下公式求得：

其中 iju為為3×3鄰域中灰度均值，d=3表示3×3鄰域。

圖像的脈沖性[10]：

結(jié)合圖像的特征和擴(kuò)散過程中的梯度,擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)(公式5)可以寫為

將以上三種圖像的描述方法結(jié)合到一起即：

其中，k0為一個(gè)邊緣強(qiáng)度閾值，通常是一個(gè)正整數(shù)。

在修改后的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)中，邊緣強(qiáng)度閾值k0與梯度和邊緣值、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及脈沖性結(jié)合，即可得到修改后的擴(kuò)散模型。在梯度變化大的地方，圖像的灰度值變化大，HO值大，為邊緣區(qū)，需要保留；在梯度變化小的地方，圖像的灰度值變化平緩，HO值小，為非邊緣區(qū)域，可以進(jìn)行擴(kuò)散平滑處理。

圖1 Lena圖像原圖

圖2 加噪聲結(jié)果

圖3 邊緣值降噪結(jié)果

圖4 標(biāo)準(zhǔn)偏差降噪結(jié)果

圖5 脈沖降噪結(jié)果

圖6 HO模型降噪結(jié)果

為了檢測本算法對(duì)圖像噪聲的抑制效果，本文以Lena圖像作為原始圖像。圖像加入以u(píng)取0，σ2取0.001的噪聲數(shù)據(jù)模型。然后，對(duì)噪聲圖像分別采用偏微分模型和本文算法進(jìn)行降噪處理。

如圖1- 6所示，分別為原始圖像、加噪聲圖像、基于邊緣值的偏微分模型、基于標(biāo)準(zhǔn)偏差的偏微分模型、基于脈沖性的偏微分模型和基于HO的偏微分模型下的降噪結(jié)果。可以看出，每種方法都對(duì)噪聲有一定的抑制效果。其中邊緣值跟標(biāo)準(zhǔn)偏差方法可以很好的去除噪聲，但是容易造成過平滑，不能很好的保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)信息；脈沖降噪方法在出去噪聲的同時(shí)，容易造成偽影；基于HO的偏微分模型的降噪效果是最佳的，這種算法不僅能夠很好的去除噪聲，并且可以保護(hù)圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息。

除了主觀觀察方法外，為了對(duì)該算法的效果進(jìn)行客觀、定性的評(píng)價(jià)，本文對(duì)重建的結(jié)果進(jìn)行了定量的分析，采用均方誤差和信噪比兩種評(píng)價(jià)參數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，定義如下：

均方誤差MSE

其中，ijI表示原始圖像的第i行，第j列的像素灰度值；ijs表示去噪后圖像的第i行，第j列的像素灰度值；MSE評(píng)價(jià)的是去噪圖像跟真實(shí)圖像的接近程度。MSE越小代表去噪圖像跟原始圖像越接近，去噪效果越好。

2)信噪比SNR

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

信噪比是用于比較重建圖像與原圖像質(zhì)量的參數(shù)，信噪比數(shù)值越大，說明圖像中的噪聲越少。

表1 各種算法的重建圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)參數(shù)

5 討論與結(jié)論

本文采用一種改進(jìn)的基于偏微分方程理論，針對(duì)圖像的噪聲問題，利用圖像的3×3鄰域中的邊緣值、標(biāo)準(zhǔn)偏差和脈沖性等可以用來描述圖像一個(gè)區(qū)域內(nèi)的分布變化的特點(diǎn)，在偏微分模型中引入圖像的邊緣之、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及脈沖性，并用改進(jìn)的偏微分模型進(jìn)行降噪。實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)的偏微分模型降噪后的重建圖像效果較好，其中HO模型去噪效果最好，而且可以在有效的抑制圖像的噪聲的同時(shí)，保留圖像的細(xì)節(jié)與邊緣。但是在降噪過程中，計(jì)算程序復(fù)雜，程序運(yùn)行時(shí)間較長，如何有效的改進(jìn)，是進(jìn)行下一步研究的內(nèi)容。

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