基于TIGGE多模式集合的24小時氣溫BMA概率預報

劉建國 謝正輝 趙琳娜 賈炳浩

1 中國科學院大氣物理研究所大氣科學和地球流體力學數值模擬國家重點實驗室，北京 100029

2 中國科學院大學，北京 100049

3 中國氣象局公共氣象服務中心，北京 100081

1 引言

為了減少大氣系統預報的不確定性，數值天氣預報已經由單一值的確定性預報進入到集合預報時代（Gneiting and Raftery, 2005）。多模式集合預報著眼于捕捉包括初邊界條件以及物理過程的不確定性以期提高預報技巧，已成為多家數值天氣與氣候預報中心進行天氣、氣候預測的基礎平臺（Molteni et al., 1996; Grimitt and Mass, 2002; 陳靜和陳德輝, 2002; Barnston et al., 2003; Palmer et al.,2004）。充分展示集合預報的潛力需要對模式輸出進行統計后處理，并通過率定去除單個模式偏差、提高預報與觀測的相關性來提高預報精度。對某一時間和地點的多模式集合預報是從概率密度函數（probability density function, PDF）取樣，該PDF描述了集合預報的不確定性，給出天氣變量的概率預報且量化相關天氣風險，比確定性預報具有更大的經濟價值，并廣泛應用于電力、航空、氣象導航、天氣風險金融、疾病模擬等（Palmer et al., 2004; 杜鈞和陳靜, 2010; 趙琳娜等, 2010）。

早期概率預報大都是基于線性回歸方法（Glahn et al., 1972; Bermowitz, 1975）或Logistic回歸方法（Applequist et al., 2002; Hamill et al.,2004），它們只給出超過某個閾值的特定事件發生概率而不能給出全部預報的PDF。近年來，一些能夠充分利用集合預報全部信息并獲得完整 PDF的概率預報方法研究也已取得進展，如分層模型方法（Krzysztofowicz and Maranzano, 2006）、可靠性集合平均方法（Smith et al., 2009）、貝葉斯模型平均方法（Bayesian model averaging, BMA）（Raftery et al., 2005）。BMA能產生率定的、高集中度的預報PDF，它對某一特定變量的概率預報（PDF）是經過偏差校正的單個模型概率預報的加權平均，其權重是相應模型的后驗概率，代表著每個模型在模型訓練階段相對的預報技巧。應用研究表明基于BMA方法進行集合預報具有優勢（Wilson et al., 2007;Duan et al., 2007; Sloughter et al., 2007, 2010; 楊赤等, 2009; Fraley et al., 2010）。

BMA方法最初應用于集合預報系統中服從Gaussian分布的地面氣溫和海平面氣壓等天氣變量（如 Raftery et al., 2005; Wilson et al., 2007），以及后來應用于不服從Gaussian分布的降水和風速等天氣變量（Sloughter et al., 2007, 2010)。Fraley et al.(2010) 進一步將BMA方法應用于集合預報成員具有可替換性和缺失的情況。這些研究主要是對歐美一些典型區域進行多模式集合的BMA概率天氣預報試驗，缺乏針對中國區域基于多模式集合 BMA概率預報的率定、評估及充分發展概率預報潛力的研究。淮河流域水文氣象特點復雜，極端事件頻發，是水文氣象研究的典型流域。而 TIGGE（The THORPEX Interactive Grand Global Ensemble）收集了全球多個氣象業務中心的全球中期業務集合預報系統的多成員、多要素、多時效的預報結果，為評估多模式集合預報系統和概率性預報及其拓展應用提供了很好的支持。本文以淮河流域為研究區域，利用 TIGGE四個中心 European Centre for Medium-Range Weather Forecasts (ECMWF)、United Kingdom Meteorological Office (UKMO)、China Meteorological Administration (CMA) 和 United States National Center for Environmental Prediction(NCEP) 的2007年6月1日至2007年8月31日夏季三個月的 24小時地面日均氣溫集合預報結果，結合研究區域內 43個站點觀測，通過率定不同中心及多中心超級集合的BMA模型參數，建立針對流域內各站點的BMA概率預報模型，改進了地面氣溫的預報技巧。并對BMA概率預報效果進行評估，探討各中心及超級集合預報產品在研究區域的適應性。利用已建立的BMA概率預報模型做出地面日均氣溫的百分位預報，提出基于百分位預報的高溫預警方案，展示了多中心模式超級集合預報產品及概率預報的應用潛力。

下面第二節介紹BMA方法的基本理論框架，第三節是研究區域與數據，第四節是試驗結果及分析，最后一節是小結和討論。

2 貝葉斯模型平均（BMA）

2.1 BMA模型

BMA是一種結合多個統計模型進行聯合推斷和預測的統計后處理方法，Raftery et al.(2005) 將其推廣應用到多個動力模型中。令 f=f1,…,fK分別表示K個不同數值模式的預報結果，y代表需要預報的變量，yT代表培訓數據。BMA預報模型（BMA預報 PDF）可表示為如下的多模式概率預報加權平均的形式：

這里 pk(y|(fk,yT))是與單個集合成員預報 fk相聯系的條件概率密度函數，可解釋為預報變量y在模型訓練階段模式預報fk為最佳預報條件下的概率密度函數，表明 fk在模型訓練階段為最優預報的可能性；wk表示在模型訓練階段第k個成員預報為最佳預報的后驗概率，非負且滿足，反映的是每個模型成員在模型訓練階段對預報技巧的相對貢獻程度。當預報變量服從正態分布，如地面氣溫和海平面氣壓等，pk(y|(fk,yT))為正態分布密度函數，其預報變量均值或期望為原始預報結果的簡單線性函數ak+ bkfk，標準偏差為σ，即：

由此及（1）可知BMA預報均值為也即BMA模型的確定性預報結果。若令s，t分別表示空間與時間指標，kstf表示預報集合中第k個成員在空間s與時間t的預報結果，則公式（1）相應BMA預報方差為

BMA預報方差（4）包含兩項：第一項表示預報集合的離散程度，第二項表示集合內的預報方差。

2.2 BMA模型參數的率定

BMA預報模型參數包括ak, bk,wk(k=1, 2, …,K) 與σ2。它們的率定參照Raftery et al.(2005) 提出的方法，利用一套培訓數據，ak, bk(k=1, 2, …, K)通過線性回歸

來確定，而wk(k =1, 2, …, K)與σ2通過極大似然原則來率定。假定預報誤差在空間s與時間t上相互獨立，則對數似然函數為

方程（6）不存在解析的極大值解，需要進行迭代求解。Raftery et al.（2005）提出在預報變量服從正態分布的情形下使用 Expectation-Maximization（EM）算法求解，Vrugt et al.（2008）提出適應一般情形的Markov chain Monte Carlo（MCMC）方法，能獲得全局最優解，但計算量較大，田向軍等（2011）提出了使用一種有限記憶擬牛頓優化算法求解，并比較了三種算法的優缺點。實際操作中迭代算法的選取取決于預報變量的類型以及計算量的大小。EM 算法雖只能獲得局部最優解，但算法簡單，易于編程實現，計算速度快，對于服從正態分布的預報變量更加有效可行。氣溫服從正態分布，因此本研究在BMA方法中選擇Raftery et al.（2005）采用的 EM 迭代算法求解方程（6）從而獲得參數 wk(k =1, 2, …, K)與σ2。這里引入一個非觀測變量 zk,s,t，求解方程（6）的具體EM迭代算法如下：

1）初始化：讓

n是培訓期觀測數據總和；

2）計算初始對數似然函數：

3）Expectation（E）步：將j替換為j+1，對所有的k, s, t，計算

4）Maximization（M）步：計算權重

更新方差

2.3 具有可替換集合成員的BMA模型

對于集合預報中的一些在統計上不易區別的集合成員，比如僅僅是由于隨機擾動形成的不同集合成員，像TIGGE中每個業務中心的擾動預報成員，我們可認為其為可替換的集合成員。對于可替換的集合成員我們可以考慮他們具有相同的 BMA權重和BMA參數，從而可以減少計算量。根據Fraley et al.(2010) 的研究，修改BMA方法應用于具有可替換集合成員的集合預報。假設將m個集合成員分成I組，每組有im個可替換集合成員，即讓f,ij描述第i組第j個集合成員預報結果，y,ij為相應的校正結果，BMA預報模型（1）可寫為

對于EM算法，E步（8）可寫為

M步（9）～（10）可寫為：

對集合預報結果進行BMA概率預報可歸結為以下三步：1）確定培訓期長度；2）采用EM算法及培訓數據率定 BMA模型參數；3）獲得相應的BMA模型。本文采用回歸滾動預報方式，即培訓期是一個滑動窗口，BMA采用先前的N天作為培訓期進行訓練，培訓出的BMA系數應用到下一天（24小時預報）的BMA模型預報中，每一天動態建立研究區域內各站點的BMA模型。試驗中驗證期的每一天在研究區域內所有站點的BMA概率預報可以累積來驗證預報技巧。

3 研究區域與數據

淮河是我國南北自然分界線，地處南北氣候過渡帶，流域內水文氣象特點復雜，極端天氣事件頻發，本研究取淮河流域作為研究區域（圖1）。

觀測資料為Li and Yan (2009) 均一化處理更新的該區域內43個基準氣象站2007年6月1日至8月31日地面日均氣溫觀測。模式結果為同時期ECMWF、UKMO、CMA、NCEP四個TIGGE中心四套全球集合預報系統多集合成員的24小時地面日均氣溫集合預報結果。起報時間為世界時（格林威治時間）每日00時，各中心集合預報的集合成員數等有關信息可參見表1。根據ECMWF、NCEP、UKMO、CMA各成員輸出的地面日均氣溫24小時集合預報結果，其均為0.5°×0.5°的格點數據，使用雙線性插值方法獲得流域內站點的集合預報結果。

表1 本研究采用的TIGGE四個單中心集合預報系統（ECMWF、NCEP、UKMO、CMA）的比較Table 1 Comparison of four single–center ensemble prediction systems in TIGGE in this study (ECMWF,UKMO, CMA, NCEP)

圖1 淮河流域及43個基準氣象觀測站Fig.1 Illustration of the Huaihe River basin and the location of 43 standard meteorological stations

4 結果

4.1 培訓期長度

對不同時期、不同研究區域，BMA模型的培訓期長度也不同。以一個中心一段時期的集合預報結果和觀測作為培訓數據，使用不同的培訓期長度來建立 BMA概率預報模型，通過平均絕對誤差（mean absolute error, MAE）、90%預測區間寬度、連續等級概率評分（continuous ranked probability score, CRPS）（Gneiting and Raftery, 2007）三種指標檢驗BMA模型性能，確定培訓期長度。平均絕對誤差用來檢驗確定性預報精確度，這里原始集合預報的確定性預報是指其均值。90%預測區間寬度和連續等級概率評分用來檢驗概率預報的精確度和集中度。三種指標都是負導向的，值越小模型性能即預報效果越好。

考慮UKMO中心10天、15天、20天、25天、30天、35天、40天、45天和50天九種培訓期的BMA模型，選取7月21日至8月31日作為驗證期，各項檢驗指標取驗證期期間所有站點的均值。表2給出了BMA模型與原始集合預報各項檢驗指標均值，從表2中可看出不同訓練期長度的BMA模型比原始集合預報所有的指標都要小，這說明BMA模型比原始集合預報的效果好。圖2 給出了不同長度培訓期的 BMA模型各項檢驗指標均值的比較，從圖 2a中可以看出, 在30天以前隨著培訓期的天數增加，MAE在不斷變小，30天以后就有較穩定的MAE；從圖2b中可以看出，30天以后有較穩定的、較小的CRPS，且30天后的CRPS減少的幅度很小；從圖2c中可以看出，在30天以前隨著培訓期的天數增加，90%預測區間寬度在增加，30天以后趨于穩定。綜合考慮MAE、CRPS、90%預測分布區間寬度三個指標以及計算量，培訓期為30天時趨于穩定并得到較優的預報效果，因此選擇培訓期為30天。

表2 不同長度培訓期BMA模型和原始集合預報（Ens）的檢驗指標均值Table 2 Verification metric mean of BMA predictive models and raw ensemble forecasts (Ens) of average daily surface air temperature for different training period lengths

4.2 單中心集合的BMA概率預報

4.2.1 BMA概率預報實例

對于BMA概率預報，首先描述單個預報變量在一個站點一天的BMA預報PDF實例，后面將給出多站點多時間的模型性能結果。圖3給出了一個BMA概率預報實例：UKMO中心 54945站 2007年8月1日地面日均氣溫的BMA概率預報PDF。圖3中BMA預報PDF的主要成分是指主要成員（BMA模型中占主要權重的成員）預報PDF與相應權重的乘積。

4.2.2 模型比較與檢驗評估

考慮不同中心BMA概率預報PDF，通過平均絕對誤差、90%預測區間寬度、連續等級概率評分三種指標檢驗和評估 TIGGE四個中心集合預報產品BMA概率預報效果，選取7月1日至8月31日作為驗證期，各項檢驗指標取驗證期期間所有站點的均值。表3給出了四個中心BMA模型與原始集合預報的各項檢驗指標均值，從表3中可以看出各中心的集合預報產品的BMA概率預報模型都比原始集合預報效果好。圖4給出了四個中心BMA模型各項檢驗指標均值的比較，可以看出，ECMWF具有較小的 MAE（圖 4a）與 90%預測區間寬度（圖 4c），ECMWF和UKMO有較小的CRPS（圖4b）。綜合考慮，ECMWF具有最好的預報效果，UKMO次之。

圖2 不同長度培訓期BMA模型性能檢驗指標均值比較：(a) BMA確定性預報的MAE; (b) CRPS; (c) BMA 90%預測區間寬度Fig.2 Comparison of BMA predictive models of average daily surface air temperature for different training period lengths: (a) MAE of BMA deterministic forecasts; (b) CRPS; (c) average width of 90% prediction interval

圖3 UKMO中心54945站2007年8月1日地面日均氣溫BMA預報PDF。實曲線是BMA預報PDF，虛曲線是BMA預報PDF的主要成分，粗垂直實線是觀測，細垂直實線是確定性預報，垂直虛線是BMA預報PDF 的第10百分位和第90百分位預報Fig.3 BMA predictive PDF of average daily surface air temperature from UKMO at station no.54945 on 1 Aug 2007.The upper solid curve is the BMA predictive PDF; the lower dashed curves are major components of BMA predictive PDF; the thick vertical line is verifying observation, the thin vertical line is the deterministic forecast; the dashed vertical lines indicate the 10th percentile and 90th percentile forecasts from the BMA predictive PDF

表3 TIGGE四個單中心集合預報系統BMA模型和原始集合預報（Ens）的檢驗指標均值Table 3 Verification metric mean of BMA predictive models and raw ensemble forecasts (Ens) of average daily surface air temperature for four single–center ensemble prediction systems

4.3 超級集合的BMA概率預報

4.3.1 模型比較與檢驗評估

圖4 TIGGE單中心集合預報系統BMA模型性能檢驗指標比較：(a) BMA確定性預報的MAE；(b) CRPS；（c）BMA 90% 預測區間寬度Fig.4 Comparison of BMA predictive models of average daily surface air temperature for four single–center ensemble prediction systems: (a) MAE of BMA deterministic forecasts; (b) CRPS; (c) average width of 90% prediction interval

使用 TIGGE四個中心的擾動集合預報形成TIGGE多中心模式超級集合預報系統，共有107個成員。考慮到每個中心采用的是同一個模型形成的擾動集合預報，認為其集合成員為可替換成員，根據Fraley et al.（2010）的研究，對于可替換成員在BMA模型中可以給予他們等權重、同參數。本節應用考慮、不考慮（普通）可替換成員的BMA模型于TIGGE超級集合預報系統，選取7月1日至8月31日作為驗證期，利用三種指標檢驗和評估各中心及多中心超級集合預報系統BMA模型預報效果，各項檢驗指標取驗證期期間所有站點的均值。表 4是可替換原則下 BMA模型各中心成員的權重均值，從表4可以看出，ECMWF貢獻了大部分的比例，50個成員均占0.0159，其他幾個中心集合預報系統成員貢獻較少，這也驗證了前面試驗ECMWF的集合預報系統有最佳的區域適應性的結論。表 5給出了單中心、多中心超級集合預報BMA模型與原始集合預報的檢驗指標均值，從表 5中可以看出，所有的BMA模型預報效果比原始集合預報好。圖5給出了BMA模型檢驗指標均值比較，從圖5可以看出超級集合（grand ensemble，GE）的普通BMA模型比單中心集合預報系統的BMA模型有更好的預報效果，考慮可替換原則的超級集合（grand ensemble considering exchangeable members, EGE）BMA模型大大減少計算量且在所有集合預報系統的BMA模型中有最好的預報效果，比原始集合預報在MAE上減少近7%，在CRPS上提高近10%。

4.3.2 百分位預報與極端事件分析

BMA概率預報模型給出的完全PDF包含了多中心模式集合預報不確定性的定量估計，從中可以分析出高溫等極端天氣事件信息。由上節的討論，考慮可替換原則的超級集合BMA概率預報具有最佳預報效果，根據BMA預報PDF給出百分位預報，通過分析百分位預報個例，提出基于集合預報的概率分布來預警高溫天氣的方案，探討如何捕捉PDF中極端事件信息，并討論其局限性。

表4 考慮可替換原則的TIGGE超級集合BMA模型中各中心集合成員權重均值Table 4 Weight mean of BMA predictive models for TIGGE grand ensemble with exchangeable members

表5 集合預報系統BMA模型和原始集合預報（Ens）的檢驗指標均值Table 5 Verification matric mean of BMA predictive models and raw ensemble forecasts (Ens) of average daily surface air temperature for different ensemble prediction systems

圖5 TIGGE單中心與超級集合預報系統BMA模型性能檢驗比較：(a) BMA確定性預報的MAE；(b) CRPS；(c) BMA 90%預測區間寬度Fig.5 Comparison of BMA predictive models of average daily surface air temperature for different ensemble prediction systems: (a) MAE of BMA deterministic forecasts; (b) CRPS; (c) average width of 90% prediction intervals

圖6 淮河流域27個站點地面日均氣溫百分位預報與觀測：（a）2007年7月26日；（b）2007年8月1日Fig.6 Percentile forecasts and observations of average daily surface air temperature at 27 stations in Huaihe River basin on (a) 26 Jul 2007 and (b) 1 Aug 2007

圖6給出了2007年7月26日（圖6a）、8月1日（圖6b）兩天淮河流域無缺失數據的27站點地面日均氣溫百分位預報。對于正常氣溫，BMA確定性預報能較好預報當天地面日均氣溫狀況（圖6a）；然而確定性預報對高溫天氣幾乎沒有預報能力（圖6b）。圖7給出了2007年7月9日至8月8日57290站的百分位預報，同樣表明確定性預報能成功預報當月大部分日期的地面日均氣溫而不能預報高溫天氣。由此可知只有概率預報才有可能做出高溫預警，7月11、17、18日與8月1日的四次高溫天氣中，每次觀測溫度都高于95百分位點，其中7月18日和8月1日這兩次的95百分位點明顯高于其他相同百分位點以及高溫點（303.15K）（圖7）。若從更多的歷史集合預報和觀測記錄找到類似規律，則可提出該區域預警高溫天氣的方案：高溫事件對應于概率預報的95百分位點，若95 百分位點已經高于高溫點也明顯高于其他相同百分位點，那么就應該進行高溫預警，決策者也應該考慮采取應對高溫的措施。圖8給出了2007年7月9日至 8月 8日 54916站地面日均氣溫預報超過303.15K（30℃）高溫天氣的概率。從圖 8可以看出預報的高溫概率與觀測氣溫表現出比較好的一致性，特別是這一個月的兩次高溫事件都能得到較好的預報，這從另一個角度說明根據概率預報進行高溫預警的可行性。

圖7 2007年7月9日至8月8日57290站地面日均氣溫百分位預報與觀測Fig.7 Percentile forecasts and observations of average daily surface air temperature at station no.57290 from 9 Jul to 8 Aug, 2007

圖8 2007年7月9日至8月8日54916站地面日均氣溫預報超過303.15 K高溫的概率與觀測Fig.8 Probability of exceeding 303.15 K and observations for average daily surface air temperature at station no.54916 from 9 Jul to 8 Aug, 2007

根據概率預報進行高溫預警也有局限性，存在虛報、漏報等預報不準的風險，如圖7和圖8中7月21日都屬于高溫高概率預報，而事實上該天都屬于夏天的正常溫度，屬于虛報。因此，如何從概率預報中捕捉到更多有用信息以減少虛報、漏報，增加概率預報對高溫等極端天氣事件預報的準確度，這既是對概率預報的挑戰，也是今后努力的方向。

5 小結與討論

將BMA方法應用于淮河流域進行地面日均氣溫概率預報試驗，動態建立了流域內各站點 BMA概率預報模型，并對 TIGGE四個單中心及多中心模式超級集合預報系統在研究區域的預報技巧進行評估。通過BMA概率預報PDF，極大地提高了地面氣溫的預報技巧，展示了多中心模式超級集合產品及BMA概率預報的應用潛力，特別是在極端事件預報方面的潛力。BMA概率預報試驗結果顯示：研究區域的 TIGGE多模式集合的 BMA模型培訓期長度選擇 30天較為合適，且所有 BMA模型比原始集合預報有更好的預報效果；TIGGE各中心集合預報的 BMA模型都有較好的預報效果，ECMWF最優；普通的 TIGGE多中心模式超級集合BMA模型比單中心集合預報的BMA模型有更好的預報效果。采用可替換原則的多中心模式超級集合的 BMA模型，既能節省計算量又有最好的預報效果，它與原始集合預報相比，其MAE有近7%的減少，CRPS有近10%的提高；根據已建立的BMA預報PDF，給出了百分位預報，提出了基于集合預報的概率分布來預警高溫天氣的方案。

BMA概率預報能向用戶提供完全的 PDF，該PDF定量描述了多模式集合預報的不確定性，通過分析研究BMA概率預報PDF，可以提高預報精度特別是極端事件的預報能力，但是任然存在對極端事件的漏報和誤報。我們可以通過改進BMA方法和進一步探討從BMA預報PDF中挖掘出更多有用信息來減少漏報和誤報，提高預報精度。比如BMA方法中采用不同的偏差校正方法和參數率定方法對概率預報效果有一定的影響，特別是對像降水等其他非正態分布的天氣預報變量（Schmeits and Kok,2010; 田向軍等, 2011）。BMA方法中偏差校正方法以及參數率定方法的改進，BMA預報PDF中有用信息的挖掘，對于這些問題值得在今后的研究中進行深入探討，以期獲得更優的BMA概率預報效果。

BMA方法本質上是一個模型訓練的統計方法，必須利用觀測數據對模型集合中的各個預報模型進行訓練，測試以確定其系數。在訓練過程中對培訓數據的選取非常重要，培訓期的長度也具有區域性和時間性，需要不斷試驗以及經驗，才能獲得最佳的預報效果。由于該方法對觀測資料的依賴性，使得其應用也具有一定的局限性。

致謝 感謝中國科學院大氣物理研究所嚴中偉研究員及兩位匿名審稿人的寶貴意見。

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