電磁感應浮力演示裝置實驗及分析＊

杜 妍，楊玉華

（1.天津大學電氣與自動化工程學院，天津300000；2.華北電力大學數(shù)理系，河北保定071003）

1 引言

電磁懸浮技術是集電磁學、電子技術、控制工程、信號處理、機械學、動力學為一體的機電一體化技術。隨著電子技術、控制工程、信號處理元器件、電磁理論及新型電磁材料的發(fā)展和轉子動力學的進展，磁懸浮技術得到了長足的發(fā)展［1]。電磁懸浮技術在各個領域的應用越來越廣泛，并已成為進行相關高科技研究的重要手段。電磁學實驗是用實驗的方法去研究電磁學理論的規(guī)律。目前關于電磁感應浮力實驗的演示及實驗現(xiàn)象的分析信息量相對較少，而電磁感應原理已廣泛應用于諸多科研領域。因此，對電磁感應浮力實驗演示及實驗現(xiàn)象的分析是十分必要的。自行設計加工制成了交流電電磁感應浮力演示裝置，對實驗原理及現(xiàn)象進行了探討，研究成果可用于教學展示、科研等方面參考。

2 電磁感應浮力實驗原理分析

2.1 實驗裝置簡介

演示實驗裝置主要由一個銅線圈和一塊鋁板構成。實驗過程概述如下：在銅線圈l內通入交變電流i，下方放置鋁板，則鋁板處將有磁場產生。此磁場會激發(fā)出電場和渦流。渦流將進一步產生反作用于線圈的磁場，使線圈受到一個電磁感應浮力，最終克服重力產生懸浮效果。實驗裝置模型如圖1所示。

2.2 交變電流產生磁場

根據(jù)畢奧－沙伐定律，有：

式中：idl為元電流，R為線電流回路到作用點之間的距離。

i-Bz幾何關系如圖2所示，可以推出B點所受電磁磁感應強度B的大小：

其中，idl為元電流，R為線圈半徑，r為渦流半徑，α為r與y軸夾角，l為線圈上B點到A點的距離，ε為dl和eR之間的夾角。線電流回路產生的磁場呈對稱分布，如圖3所示。

圖1 實驗裝置模型圖

圖2 i-Bz幾何關系分析圖

圖3 線電流回路產生的磁場分布示意圖

對線電流回路產生的磁場進行進一步分析可知，磁場的水平分量將左右抵消，因此真正作用在圖2中A點的只有磁場的垂直分量Bz。通過數(shù)學推導我們得到Bz的表達式：

其中 i＝imsinwt。

2.3 由磁場產生電場及渦流

法拉第電磁感應定律告訴我們，交變磁場B和它感應出的電場強度E之間存在微分關系：

利用柱坐標系，可求得Bz感應出的電場強度：

其中ρ為渦流回路半徑微元。根據(jù)磁感應產生的情況分析，我們認為E只有φ方向而無ρ和Z方向分量，所以Eφ對Z的偏導為零。從而

麥克斯韋方程組揭示了渦流和它激發(fā)它的電場之間的定量關系：

注意，此處考慮到鋁板電感，增加了jwl一項。其中R0為鋁板電阻。

2.4 由渦流產生反作用于線圈的磁場及電磁感應浮力

首先計算渦流J產生的電流大小為：

圖4 J-F幾何關系分析圖

其中d0為面積微元的厚度。

J－F幾何分析如圖4所示，并將（9）式代入畢奧-沙伐定律，有：

B′方向為平面δ（渦流J方向和兩點距離方向矢量確定的平面）的法線方向。B″方向為水平方向。設ε為平面δ與水平方向的夾角，γ為B′和水平方向的夾角，則ε與γ互為余角。由于最終要求的浮力是垂直向上的，因此這里需求B′的徑向分量Br。由圖4可知：

利用法拉第電磁感應定律求得線圈所受電磁感應浮力為：

由電磁感應浮力F的最終表達式可以看到，（12）式中包含因子sinwt·coswt，由數(shù)學知識易知sinwt·coswt＝1／2sin2wt，此時線圈在一個周期內所受浮力平均值將為0。考慮到實驗中用于產生渦流的鋁板內除有電阻外還有電感存在，因此在上述（8）式分母位置上增加jwl一項，使sinwt產生90°相位偏移，此時浮力平均值不再為0。并且我們認為 wl＞＞R0，從而有：

本實驗中僅討論鋁板內存在的自感。在各向同性的線性介質中，如磁場由某一電流回路產生，則穿過此回路所限定面積的磁通，與回路中電流有正比關系，也就是與回路相交鏈的磁鏈ψL和電流成正比：ψL＝LI；磁路中磁動勢、磁通和磁阻的關系為F＝φ·R；磁鏈又等于導電線圈匝數(shù)N和穿過該線圈的各匝的平均磁通量φ的乘積：ψL＝Nφ。當電流一定時，產生的磁動勢一定，所以磁阻越大，磁通就越小，計算出的鋁板電感也就越小。實驗中將用鐵芯和鐵板搭建成鐵磁回路，因為鐵的磁導率遠遠大于空氣，所以鐵磁回路可以增大磁通，進一步增大電感，防止電磁感應浮力為零的現(xiàn)象發(fā)生。

3 仿真分析

因為此實驗推導出的最終公式中的積分無法求出解析解的表達式，所以難以對電磁感應浮力進行定量討論。但利用微元法及Matlab軟件可以近似測繪出電磁感應強度Bz、渦流J和渦流回路半徑r之間的定性關系曲線，如下所示。

表1 仿真參數(shù)表

3.1 仿真參數(shù)與仿真數(shù)據(jù)圖

3.1.1 Bz隨渦流環(huán)路半徑r的變化趨勢

取渦流半徑為0.1mm，通入1A電流時產生的Bz從圓心開始隨半徑的變化趨勢如圖5所示，可以看出，圓心處磁感應強度最大，并且磁感應強度隨半徑增大而減小。

3.1.2 J隨渦流環(huán)路半徑r的變化趨勢

圖5 Bz曲線

圖6 J曲線

取渦流半徑為0.1mm，通入1A電流時產生的J從圓心處開始隨半徑的變化趨勢如圖6所示，可以看出，圓心處電流密度最大，并且電流密度隨半徑增大而減小。

4 電磁感應浮力實驗過程、現(xiàn)象及分析

4.1 實驗裝置及參數(shù)

基于上述分析，可設計出電路圖如圖7所示，并給出相關實驗參數(shù)。將線圈、數(shù)字萬用表、保險裝置、自耦調壓器依次串聯(lián)。其中，鐵芯和鐵板構成磁回路，鋁板用于產生渦流及感應磁場，萬用表打在電流檔，用于測量電路中電流大小，自耦調壓器用于逐步增大電壓。

圖7 實驗電路連接圖

4.2 實驗過程詳述

4.2.1 完整鐵磁回路條件下的磁懸浮現(xiàn)象

按上述電路圖連接好電路并檢查無誤后，閉合開關，逐步增大電路中電壓使電流增大。當電流達到一定數(shù)值時，可以看到線圈在電磁感應浮力和重力共同作用下向上升起，且達到一定高度時，處于動平衡懸浮狀態(tài)。由于電磁感應浮力是一種震蕩性質的力，因此線圈是一種懸浮振動。另外線圈的溫度也顯著升高，這是由于感應電流的熱效應所致。觀察過程中及時記錄下通入電流的大小及對應線圈升起的高度。考慮到銅線圈承受的最大電流為20A，當萬用表示數(shù)接近20A時應立即斷電，線圈下落。

4.2.2 非完整鐵磁回路條件下的磁懸浮現(xiàn)象

將鋁板上放置的鐵芯取走，只保留一半鐵磁回路，再次按上述步驟進行試驗，可以觀察到當通入同樣大小的電流時，線圈上升的高度明顯小于第一次實驗。

4.2.3 實驗數(shù)據(jù)記錄

實驗過程中記錄在完整鐵磁回路和非完整鐵磁回路兩種情況下的起飛電流，最大電流（斷電時電流）及線圈升起的高度，數(shù)據(jù)整理如下。

從表3中可以看出，鐵磁回路的完整與否對實驗結果有很大影響，原因解釋如下：在鐵磁回路不完整時，因為空氣的磁導率遠遠小于鐵芯磁導率，所以磁通、電感同時減小，因此電磁感應浮力也顯著減小。

表2 實驗參數(shù)表

表3 測量數(shù)據(jù)表

5 優(yōu)化電磁感應浮力的設想

為了使電磁感應浮力演示裝置的磁懸浮效果更好，結合上述分析提出以下設想：

（1）線圈應纏繞均勻，以便在實驗過程中線圈各部分受力均勻，懸浮更為穩(wěn)定。

（2）線圈形狀應盡可能接近扁平狀，以增大線圈半徑，從而增大浮力。

（3）提供較強的磁場。

［1] 馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導論［M] .北京：高等教育出版社，2007.

［2] 劉自華，湯光華，隆 平，賀新元，何志杰.電磁感應浮力演示裝置實驗分析［J] .實驗科學與技術，2009，（7）：26－29.