泡沫鋁爆炸沖擊特性的數值研究＊

倪小軍，馬宏昊，沈兆武，李 磊

（中國科學技術大學近代力學系，安徽 合肥 230026）

泡沫鋁材料具有優良的減震、吸能、抗沖擊等性能，被廣泛應用于各類結構物的抗爆耐沖擊防護工程。隨著數值計算技術的發展和不斷完善，它已成為泡沫鋁材料研究的一個重要手段。目前，已有一些描述泡沫鋁在高速沖擊和爆炸荷載下沖擊特性的模型［1］。其中，使用比較廣泛的是Crushable－Foam模型。S.Pattofatto等［2］基于該模型模擬了泡沫鋁的沖擊特性。而對基于流體彈塑性模型的材料和結構的動態響應問題，尤其是高速沖擊和爆炸載荷問題，已有了大量的工作［3－5］。由于泡沫鋁材料在爆炸沖擊防護設計中的重要作用，進一步研究泡沫鋁材料的沖擊特性就顯得尤為重要。

本文中，采用流體彈塑性模型表征泡沫材料的沖擊特性，并基于有限差分法，編寫多介質（泡沫鋁、炸藥、水和空氣）計算程序。通過將所編計算程序的計算結果與實驗、理論計算結果進行比較，驗證計算程序的可靠性，初步研究泡沫鋁密度、環境介質對泡沫鋁材料沖擊特性的影響。

1 計算模型和參數

1.1 流體彈塑性模型

1.1.1 基本控制方程

一維柱對稱流體彈塑性Lagrange格式的動量、質量和能量方程如下［6－7］：

式中：u、m、v、r、p、e分別為速度、質量、比容、Lagrange坐標、壓力、內能；s1、s2為偏應力；ε1、ε2為應變；q為人工黏性。

1.1.2 人工黏性

人工黏性的計算公式［7］為

式中：C1＝2，C2＝0.8。

1.1.3 炸藥爆轟產物狀態方程

采用燃燒函數F聯結凝固炸藥和爆炸產物的狀態方程［8］，炸藥及其爆炸產物狀態方程為

1.1.4 材料狀態方程

泡沫鋁的狀態方程［9］為：

式中：c0、λ0為 Hugoniot參數；γ0是Grüneisen系數；cV是定容比熱；β是線膨脹系數。

水的狀態方程［10］為

式中：μ＝ρ／ρ0－1，為水的體積壓縮比，β1＝2.56GPa，β2＝5.53GPa，β3＝5.55GPa。

空氣的狀體方程［8］采用理想氣體方程，其中空氣的絕熱指數γ＝1.4。

1.1.5 偏應力

泡沫鋁的屈服準則采用Von－Mises屈服準則，泡沫鋁的偏應力增量可按彈性區和塑性區分別計算。在彈性區，有

1.2 孔隙材料沖擊絕熱參數

基于孔穴塌縮能量理論，孔隙材料沖擊絕熱線的計算方程［11］如下：

式中：pH＝ρsusup，ρs、us和up分別為密實材料的密度、沖擊波速度和粒子速度；ρ00、uD和u 分別為孔隙材料的初始密度、沖擊波速度和粒子速度。其中，密實材料的us和up關系式為

式中：cs0、λs0為密實材料的Hugoniot參數。

材料的Grüneisen系數γ與材料的Hugoniot參數λ有近似關系［11］

1.3 材料參數

炸藥采用PETN，ρ＝0.88g／cm3，D＝5.17km／s，pH＝6.2GPa，γ＝2.5。L.J.Gibson等［12］認為泡沫材料的熱膨脹系數β和定容比熱cV與制備它們所用的固體材料近似相等，則各密度泡沫鋁β≈23.1×10－6K－1，cV≈850mJ／（g·K）［13］。純鋁的沖擊波絕熱參數分別為c0＝5.328km／s，λ0＝1.34，γ0＝2.18［13］。若給定沖擊波壓力pH，則可以根據式（11）～（13）計算各密度泡沫鋁的沖擊波速度uD和粒子速度u。通過線性擬合uD和u，可得出泡沫鋁的 Hugoniot參數c0、λ。若λ已知，則可根據式（14）計算 Grüneisen系數γ，計算結果見表1。不同密度泡沫的剪切模量G和屈服應力Y通過MTS材料試驗機測試獲得，測試結果見表1。

表1 泡沫鋁材料參數Table1 Material parameters for Al foam

2 數值計算程序的驗證

為求解本文中一維柱對稱流體彈塑性模型方程組，編制數值計算程序對上述方程組進行數值求解。其中，計算格式采用具有二階精度的交叉格式中心差分法，網格使用均勻Lagrange網格。為了驗證程序的可靠性，對以下2個算例進行計算。

2.1 接觸爆炸界面的壓力與速度

以PETN分別與水和泡沫鋁的接觸爆炸為例，用所編寫的程序計算其界面的壓力和速度。不同界面的壓力和速度峰值的計算結果見表2。

炸藥和接觸介質中沖擊波壓力p與質點速度u［14］分別為：

式中：D、pH、γ分別為爆轟波的爆速、CJ壓力和多方指數；ρ、c0、λ分別為與炸藥接觸介質的密度、零壓聲速和常數。考慮到炸藥和接觸介質界面的速度和壓力具有連續性，聯立式（15）～（16）可計算PETN－水界面、PETN－泡沫鋁界面的速度和壓力，理論解結果見表2。

由表2可知，界面的壓力和速度的數值計算結果與理論解良好符合。

表2 界面的沖擊波速度和壓力Table2 Velocities and pressures of shock wave at the interface

2.2 PETN藥柱在泡沫鋁包裹下水下爆炸的壓力場

以包裹不同壁厚泡沫鋁的PETN藥柱水中爆炸為例，具體參數和實驗工況見文獻［15］。其中，PETN的密度為0.88g／cm3，裝藥半徑為0.35cm，泡沫鋁密度為0.48g／cm3，壁厚分別為1.15和2.15cm。距離藥柱50cm處的壓力實測值見表3。

表3 距離藥柱50cm處的壓力Table3 Pressures at 50cm from the grain

用所編寫的程序計算沿炸藥徑向水中爆炸的壓力分布，見圖1。其中距離藥柱50cm處的壓力計算結果見表3。

由表3可知，距離藥柱50cm處壓力的數值計算結果與實驗測量結果良好吻合。

圖1 經泡沫鋁后水中不同位置的壓力Fig.1 Pressures through the Al foams

由以上2個例子可見，數值計算結果與理論解、實驗結果均良好符合。這驗證了程序的可靠性、基于流體彈塑性模型對泡沫鋁材料沖擊特性表征的可行性。

3 數值計算與討論

3.1 泡沫鋁密度對其沖擊特性的影響

圖2 藥柱和泡沫鋁結構示意圖Fig.2 Structure scheme on grain and Al foam

藥柱和泡沫鋁的結構如圖2所示，泡沫鋁密度分別為0.27、0.35和0.48g／cm3，泡沫鋁圓柱殼內徑0.7cm，外徑24cm。用所編的程序進行數值求解，PETN與泡沫鋁界面的壓力如圖3所示。對界面的壓力時程曲線積分，可獲得沖量時程曲線（見圖4），沖量的計算結果見表4。泡沫鋁徑向峰值壓力分布的計算結果如圖5所示。

表4 沖擊波參數的計算結果Table4 The calculation results of shock wave parameters

圖3 界面的壓力Fig.3 The pressures at the interfaces

圖4 界面處的沖量Fig.4 The impulses at the interfaces

圖5 峰值壓力隨距離的變化Fig.5 The peak pressures versus distances

由圖3～4和表4可以看出，在同等裝藥條件下，隨著泡沫鋁密度的增加，炸藥爆炸傳遞給泡沫鋁的壓力峰值和沖量也增加，而作用時間減少。這是因為，3種密度的泡沫鋁材料中，密度0.48g／cm3泡沫鋁的波阻抗與炸藥波阻抗最接近，0.35g／cm3的次之，0.27g／cm3的差距最大，則炸藥透射各密度泡沫鋁中的沖擊波壓力，由大到小對應的泡沫鋁密度為0.48、0.35和0.27g／cm3。所以，對于高密度的泡沫鋁，炸藥能量能更快地傳遞給泡沫鋁，炸藥能量衰減得更快，即在同樣裝藥條件下，高密度泡沫鋁與低密度泡沫鋁相比，爆炸加載有效作用時間較短。

3.2 環境介質對泡沫鋁沖擊特性的影響

藥柱、泡沫鋁和環境介質的結構如圖6所示。炸藥和泡沫鋁的密度分別為0.88和0.48g／cm3，外徑分別為0.35和3.50cm，水和空氣層的厚度均為4.5cm。圖7給出了泡沫鋁及其鄰近介質中的壓力峰值分布的計算結果。由圖7可以看出，在相同的爆炸加載條件下，泡沫鋁與空氣界面的壓力明顯比泡沫鋁與水界面的壓力小，而內側壓力則基本一致。其中，鄰近空氣界面的泡沫鋁，其峰值壓力隨距離的增加而遞減；而鄰近水界面的泡沫鋁，其峰值壓力隨距離的增加而變化趨緩，甚至出現峰值壓力升高的現象。由于空氣的波阻抗小于泡沫鋁，則沖擊波在空氣界面反射回泡沫鋁中的波為稀疏波，進一步削弱沖擊波壓力；而水的波阻抗大于泡沫鋁，則經水界面反射回泡沫鋁的波為沖擊波，增強了沖擊波壓力。由此可知，泡沫鋁柱殼鄰近介質對殼體外側壓力分布影響很大，而對殼體內側壓力分布影響很小。

圖6 水或空氣中藥柱和泡沫鋁的結構示意圖Fig.6 Structure scheme on grain and Al foam in water or air

圖7 水或空氣中泡沫鋁峰值壓力分布Fig.7 Pressures of Al foams in water or air

4 結 論

采用Lagrange方法描述一維流體彈塑性動力學方程，建立了一維柱對稱數值模型。泡沫鋁材料采用流體彈塑性本構模型。編寫程序進行數值計算，重點討論了泡沫鋁沖擊特性表征的正確性和程序的可靠性，以及泡沫鋁密度、環境介質對泡沫鋁沖擊特性的影響。通過對數值計算結果的分析，表明：

（1）數值計算結果與理論解、實驗結果均良好吻合，驗證了流體彈塑性模型表征泡沫鋁材料沖擊特性的正確性及程序的可靠性。

（2）在同等裝藥條件下，隨著泡沫鋁密度的增加，炸藥爆炸傳遞給泡沫鋁的初始壓力和沖量增加，持續作用時間減少。從壓力衰減的角度來看，低密度泡沫鋁的衰減效果優于高密度泡沫鋁。

（3）在爆炸載荷作用下，泡沫鋁柱殼外側鄰近介質對殼體外側附近區域內的壓力分布影響很大，而對殼體內側壓力分布影響很小。

［1］Hanseen A G，Hopperstad O S，Langseth M，et al.Validation of constitutive models applicable to aluminum foams［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2002，44：359－406.

［2］Pattofatto S，Elnasri I，Zhao H，et al.Shock enhancement of cellular structures under impact loading：PartⅡ.A－nalysis［J］.Journal of the Mechanies and Physics of Solids，2007，55：2672－2686.

［3］Wilkins M L.Computer simulation of dynamic phenomena［M］.Berlin：Spring－Verlag，1999.

［4］Hallquist J O.Ls－dyna theory manual［M］.Livermore：Livermore Software Technology Corporation，2006.

［5］Wang Jing－tao，Liu Kai－xin，Zhang De－liang.An improved CE／SE scheme for multi－material elastic－plastic flows and its applications［J］.Computers ＆ Fluids，2009，38：544－551.

［6］Wilkins M L.Calculation of elastic－plastic flow［R］.LA－7322，1969.

［7］Wilkins M L.Use of artificial viscosity in multidimensional fluid dynamic calculations［J］.Journal of Computational Physics，1980，36（3）：281－303.

［8］李德元.二維非定常流體力學數值方法［M］.北京：科學技術出版社，1987：95－98.

［9］Kinslow R.High－velocity impact phenomena［M］.New York：Academic Press，1970.

［10］周鐘，王肖鈞，趙凱，等.水飽和巖石中爆炸應力波傳播的數值模擬［J］.爆炸與沖擊，2005，25（4）：296－302.Zhou Zhong，Wang Xiao－jun，Zhao Kai，et al.Numerical simulation for blast wave in water saturated rock［J］.Explosion and Shock Waves，2005，25（4）：296－302.

［11］譚華.實驗沖擊波物理導引［M］.北京：國防工業出版社，2007：15－34.

［12］Gibson L J，Ashby M F.多孔固體結構性能［M］.北京：清華大學出版社，2003.

［13］湯文輝，張若棋.物態方程理論及計算概論［M］.2版.北京：高等教育出版社，2008.

［14］北京工業學院八系編寫組.爆炸及其作用［M］.北京：國防工業出版社，1979.

［15］倪小軍，沈兆武，楊昌德.泡沫鋁殼對水下爆炸沖擊波衰減的影響［J］.含能材料，2011，19（3）：315－320.Ni Xiao－jun，Shen Zhao－wu，Yang Chang－de.Influence of aluminum foams shell on shock attenuation underwater explosions［J］.Chinese Journal of Energetic Materials，2011，19（3）：315－320.