雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性研究

于 濤，孫 偉，韓清凱

(1.煙臺(tái)大學(xué) 機(jī)電汽車工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005;2.山東省高校先進(jìn)制造與控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 煙臺(tái) 264005;3.大連理工大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，遼寧大連 116024)

轉(zhuǎn)子軸系是大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備如汽輪機(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)等的重要部件，通常工作在高溫、高壓和高速運(yùn)轉(zhuǎn)的環(huán)境中會(huì)產(chǎn)生疲勞裂紋。這些疲勞裂紋如不及時(shí)發(fā)現(xiàn)，就會(huì)在交變載荷的作用下擴(kuò)展、突變以至引起災(zāi)難性的斷裂事故。雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一種特殊情況，其在實(shí)際工程中的危害是顯而易見的。文獻(xiàn)［1］對(duì)具有兩條橫向裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行仿真分析，研究了不同裂紋夾角的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為，得到轉(zhuǎn)動(dòng)過程中兩條裂紋開閉的關(guān)系。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了模擬的有效性。文獻(xiàn)［2］采用較為簡單的余弦型裂紋呼吸模型，利用有限元方法，分析了含兩條裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)［3］采用有限元方法建立了雙盤雙呼吸型裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，研究了雙裂紋轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的特點(diǎn)，以及在一個(gè)穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)裂紋軸剛度時(shí)變規(guī)律，分析了不同裂紋深度和裂紋夾角對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)［4］通過實(shí)驗(yàn)方法研究具有兩條裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性。Chasalevris［5］建立了轉(zhuǎn)子裂紋的柔度矩陣，利用小波分析的方法，研究了彎矩作用下雙直裂紋梁上裂紋深度、位置及角度的檢測方法。文獻(xiàn)［6］采用集中質(zhì)量法建立轉(zhuǎn)子模型，研究了含雙呼吸型裂紋轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性。以上研究對(duì)雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)及其故障診斷提供了重要參考。

但是，在裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析及故障診斷中，通常采用簡化的Jeffcott轉(zhuǎn)子模型作為研究對(duì)象，而在裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程建模過程中，往往將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡化為具有少量自由度的集中質(zhì)量模型，多將裂紋置于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中心位置，即轉(zhuǎn)盤附近。這種分析方法具有建模過程簡單，分析快速等優(yōu)點(diǎn)，為進(jìn)行裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究提供了極大的方便，得到了一系列有價(jià)值的研究結(jié)果［7－19］。但這種方法也具有不足和缺陷，即無法最大限度的模擬實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性。因?yàn)椋捎眉匈|(zhì)量的簡化模型雖然適用于理論分析，但在進(jìn)行實(shí)際旋轉(zhuǎn)機(jī)械建模過程中往往容易丟失軸系的關(guān)鍵信息，如變截面軸的簡化，多級(jí)葉輪的簡化等;再者，將裂紋置于中心位置，認(rèn)定裂紋的存在對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度產(chǎn)生影響也并不合理，根據(jù)Saint－Venant原理可知，裂紋只對(duì)其周圍局部區(qū)域的應(yīng)力場產(chǎn)生影響，故可認(rèn)為，在一定的局部尺寸下，裂紋只對(duì)其附近的軸段剛度產(chǎn)生影響，而其它轉(zhuǎn)子系統(tǒng)其它部位剛度不變。在裂紋轉(zhuǎn)子故障研究的過程中，學(xué)者們提出了多種模擬實(shí)際轉(zhuǎn)子裂紋的方法，著名的有Papadopoulos與Dimarogonas提出的局部柔度計(jì)算法［14］等。

本文在考慮裂紋界面剪力引起的彎矩情況下，從斷裂力學(xué)理論和局部柔度理論出發(fā)，研究了轉(zhuǎn)子裂紋位置及裂紋方向角等因素的變化對(duì)雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有特性造成的影響。得到了豐富的雙裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為。

1 雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

基于虛功原理及局部柔度理論建立裂紋單元的柔度矩陣，然后組集無裂紋單元?jiǎng)偠取①|(zhì)量、阻尼矩陣，以及軸承、外激勵(lì)等得到關(guān)于裂紋轉(zhuǎn)子軸系的整體有限元?jiǎng)恿W(xué)方程［20］。如圖1所示為含單裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型。

圖1 裂紋轉(zhuǎn)子有限元模型Fig.1 Finite element model of single-crack rotor system

1.1 無裂紋轉(zhuǎn)軸有限單元模型

圖2 轉(zhuǎn)子軸段單元有限元模型Fig.2 Finite element model of rotor shaft

如圖2為無裂紋軸單元，單元的廣義坐標(biāo)為兩端節(jié)點(diǎn)的位移，僅考慮彎截面橫向位移和偏轉(zhuǎn)角，忽略扭轉(zhuǎn)變形和軸向變形，則兩端點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為:

采用三次多項(xiàng)式插值函數(shù)的形函數(shù)矩陣，得到相應(yīng)的移動(dòng)慣性單元矩陣MeT、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性單元矩陣MeR、陀螺力矩矩陣Ge、剛度單元矩陣Ke。

1.2 含橫向裂紋軸段的有限單元模型

圖3 裂紋單元有限元模型Fig.3 Finite element model with transverse crack

如圖3所示為含橫向裂紋軸段有限單元模型，單元兩端面分別受到剪力 Pix、Piy、Pjx和 Pjy，彎矩 Piθx、Piθy、Pjθx和 Pjθy，軸向力 Piz和 Pjz，以及扭矩 Piθz和 Pjθz的作用。

根據(jù)Castingliano定理和柔度理論得結(jié)果為:

令 P1=Pix，P2=Piy，P3=Piz，P4=Piθx，P5=Piθy，P6=Piθz，則裂紋單元總?cè)岫瓤杀硎緸?

其中:ui為由于廣義力Pi在i方向產(chǎn)生的柔度，u0i為無裂紋單元柔度，可直接根據(jù)有限元法得出;uci為裂紋引起的附加柔度。則裂紋單元總?cè)岫葹?

需要指出的是，關(guān)于附加柔度矩陣的建立，Prabhakar等使用了如下的無裂紋柔度矩陣CUC、裂紋附加柔度陣COP和剛度轉(zhuǎn)換矩陣KUC，它考慮了裂紋截面兩個(gè)方向的彎矩和剪力:

其中:

為由平衡關(guān)系得到的轉(zhuǎn)換矩陣。

基于如上柔度矩陣得到的剛度陣，所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)自由度順序(不考慮軸向位移和扭轉(zhuǎn)位移)為{xiyiθixθiyxjyjθjxθjy}［4］。本文在裂紋開口方向與質(zhì)量偏心同側(cè)假設(shè)下，只考慮與裂紋開口方向ξ一致的截面彎矩P4引起的Ⅰ型裂紋和剪力P2引起的Ⅱ型裂紋混合情況，則無裂紋時(shí)應(yīng)變能W0為:

無裂紋時(shí)單元柔度系數(shù)為:

圖4 轉(zhuǎn)子裂紋橫斷面示意圖Fig.4 The cross section of rotor crack

對(duì)于轉(zhuǎn)子軸系發(fā)生的表面弓形裂紋，如圖4所示，圖中各變量所代表意義如下，R為轉(zhuǎn)軸半徑，a為裂紋深度，2b為裂紋寬度，h為裂紋條高度在由裂紋截面六個(gè)廣義力引起的附加柔度的計(jì)算公式中［14］，關(guān)于彎矩引起的裂紋強(qiáng)度因子沒有考慮剪力在裂紋截面處的影響，從而忽略了裂紋在所劃分的單元內(nèi)部的位置因素，這種影響雖然在實(shí)際工程中對(duì)裂紋的發(fā)生、以及程度的診斷不會(huì)引起太大的誤差，但在理論研究中，應(yīng)當(dāng)將這種因素考慮在內(nèi)。

對(duì)應(yīng)彎矩P4和剪力P2的應(yīng)力強(qiáng)度因子K14和KⅡ2分別如式(12)和式(13)所示:

其中:

根據(jù)上式得到深度為z，寬度為dw的矩形裂紋條引起的附加應(yīng)變能為:

那么，對(duì)于深度為a，寬度為2b的圓形截面裂紋，其應(yīng)變能為:

由(2.18)式，可得由彎矩P4和剪力P2引起的局部附加柔度c44和c22為:

則裂紋附加柔度陣cc為:

若給定轉(zhuǎn)子半徑R=5 mm，則附加柔度隨裂紋深度的變化如圖5所示。

從圖5(a)中可以看出，隨著裂紋深度的擴(kuò)展，不考慮剪力在裂紋截面引起彎矩的附加柔度明顯小于考慮了剪力在裂紋截面引起彎矩的情況，這種差別將在裂紋較深時(shí)對(duì)裂紋單元的剛度矩陣產(chǎn)生較大的誤差。

得到裂紋單元總?cè)岫汝嚍?

T為平衡關(guān)系得到的變換矩陣:

圖5 附加柔度隨裂紋深度擴(kuò)展的變化Fig.5 Additional flexibility with the propagation of a crack

1.3 呼吸裂紋模型

考慮圖6給出的裂紋截面在固定坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)動(dòng)情況。在幾何分析和實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，目前被廣泛采用的的模型有方波模型、余弦模型、及綜合模型等。本文采用圖7給出的裂紋余弦開閉模型。

圖6 裂紋截面轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖Fig.6 The rotating crack section

圖7 裂紋余弦開閉規(guī)律示意圖Fig.7 The cosine open-close law of crack

設(shè)全開裂紋柔度矩陣為c0，半開裂紋柔度矩陣為ch。顯然，全開裂紋時(shí)有c0=c。

故有:

由于裂紋具有呼吸開閉特性，裂紋轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中，剛度隨時(shí)間或轉(zhuǎn)角變化，用四階余弦展開表達(dá):

且有:

于是求得:

1.4 雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體有限元模型

將圖2.1所示的裂紋轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)劃分為具有n個(gè)梁單元，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的有限元模型。轉(zhuǎn)盤質(zhì)量和軸承質(zhì)量集中在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。組集各單元質(zhì)量、剛度、阻尼、及陀螺力矩構(gòu)成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如下:

其中:M為質(zhì)量矩陣，D包括轉(zhuǎn)子軸承阻尼和陀螺力矩，K為剛度矩陣，Q為由不平衡量、油膜力等外力引起的激振力。

2 雙呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界共振特性

雙呼吸裂紋，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩裂紋在轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)過程中隨著轉(zhuǎn)角變化均做規(guī)律性的開閉運(yùn)動(dòng)，本節(jié)重點(diǎn)研究了雙呼吸裂紋不同位置和不同裂紋方向角情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界共振特性。按照圖1所示的有限元模型，雙裂紋在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上的分布情況共有31種，考慮到情況較多，故選取若干具有代表性的位置加以研究。以轉(zhuǎn)盤為界，按裂紋所處位置將諸多情況劃分為同側(cè)與異側(cè)裂紋，同側(cè)裂紋包括:1－2、1－4、1－6、2－3、2－6、3－4、3－6、4－5、4－6、5－6，計(jì)10種。異側(cè)裂紋包括:1 －7、1 －9、1 －10，1 －12、2 －7、2 －9、2 －12、3 －7、3 －9、4 －7、4 －9、5 －7、6 －7，計(jì)15 種。

2.1 同側(cè)裂紋情況

圖8 雙呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界共振特性(同側(cè)裂紋情況)Fig.8 Subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(cracks in same side)

圖8給出了轉(zhuǎn)速為1/3(為雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速)條件下，同側(cè)、同裂紋方向角(與偏心方向夾角為0)雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸心軌跡和頻譜圖(對(duì)應(yīng)情況詳見表1)。從圖8(a)至圖8(d)可以看出，當(dāng)兩裂紋中一條裂紋位于近轉(zhuǎn)子系統(tǒng)端部，即支撐位置時(shí)，另一條裂紋隨著向轉(zhuǎn)子中心位置移動(dòng)的過程中，其軸心軌跡變化如箭頭方向所示，當(dāng)?shù)诙l裂紋與第一條裂紋較為接近時(shí)，其頻譜圖中以工頻和3倍工頻成分為主;當(dāng)?shù)诙l裂紋移動(dòng)至支撐與轉(zhuǎn)子中心之間中點(diǎn)單元位置時(shí)，頻譜圖中工頻成分迅速減小，2倍、3倍工頻成分變大，其中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界穩(wěn)態(tài)運(yùn)轉(zhuǎn)所引起的3倍工頻成分最大，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)超諧波共振;第二條裂紋繼續(xù)向中心位置移動(dòng)的過程中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)頻譜圖中高次諧波成分仍然以工頻、2倍、3倍頻成分為主，且工頻與3倍頻成分占優(yōu)。因此，可以得出結(jié)論，對(duì)于同側(cè)雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，若其中一條裂紋近支撐端，另一條裂紋在向轉(zhuǎn)子中心位置移動(dòng)的過程中，工頻成分先較小后增大，2倍、3倍頻成分單調(diào)增大，且當(dāng)?shù)诙l裂紋位于支撐端與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中心之間中點(diǎn)位置附近時(shí)，3倍頻成分占主導(dǎo)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)超諧波共振。考察其它同側(cè)雙裂紋情況，當(dāng)雙裂紋分別位于2－6、3－6、4－6、5－6時(shí)，其軸心軌跡與頻譜圖與雙裂紋位于1－6時(shí)類似，這種現(xiàn)象說明:對(duì)于雙裂紋情況，當(dāng)其中一條裂紋位于轉(zhuǎn)子中心附近時(shí)，另一條裂紋位置的改變對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)頻響應(yīng)的改變影響較小，且這種影響隨著兩裂紋之間的距離縮小而更趨變小。另外，從圖中可以看出，當(dāng)雙裂紋互相接近且位于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支撐端與中心之間位置時(shí)，如2－3和3－4時(shí)，系統(tǒng)也出現(xiàn)超諧波共振現(xiàn)象，因此對(duì)于同側(cè)雙裂紋情況，轉(zhuǎn)子中心附近和支撐端與中心之間中點(diǎn)附近的裂紋應(yīng)引起足夠的重視。

表1 軸心軌跡和頻譜圖說明(同側(cè)裂紋情況)Tab.1 Illustration of obit and spectrum(cracks in same side)

2.2 異側(cè)裂紋情況

圖9給出了轉(zhuǎn)速為1/3Ω(Ω為雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速)條件下，異側(cè)、同裂紋方向角(與偏心方向夾角為0)雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸心軌跡和頻譜圖(對(duì)應(yīng)情況詳見表2)。

表2 軸心軌跡和頻譜圖說明(裂紋不同側(cè)情況)Tab.2 Illustration of obit and spectrum(cracks in different side)

從圖中可以看出當(dāng)兩裂紋中一條裂紋位于轉(zhuǎn)子中心兩側(cè)3、4、9或10單元，即轉(zhuǎn)子中心至支撐端中間部位時(shí)，另一裂紋位于近支撐端時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界轉(zhuǎn)速下出現(xiàn)超諧波共振現(xiàn)象，說明:由于近支撐端的約束作用，使近支撐的裂紋對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響降低。當(dāng)兩裂紋均位于接近兩支撐端位置時(shí)，如圖9(g)，(h)所示，由于約束的局部剛度加強(qiáng)作用，降低了裂紋對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，使得系統(tǒng)響應(yīng)頻率成分中出現(xiàn)以工頻和3倍頻為主的現(xiàn)象，這一點(diǎn)從其軸心軌跡圖中也可看出缺少高次諧波成分，而使軸心軌跡形式相對(duì)簡單。

2.3 裂紋角影響

裂紋角作為裂紋模型中的一個(gè)重要參數(shù)，對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有著重要影響。迄今為止，關(guān)于裂紋角對(duì)單一裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的研究較多，而其對(duì)雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響卻較少見諸文獻(xiàn)。考慮到雙裂紋在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上的分布情況復(fù)雜，此處僅以異側(cè)雙裂紋為例進(jìn)行討論。

取裂紋位置為3－9，由圖10可見當(dāng)兩裂紋方向角均與偏心方向成0°夾角時(shí)的軸心軌跡和頻譜圖(對(duì)應(yīng)情況詳見表3)。當(dāng)保持裂紋3(位于單元3處的裂紋)方向角不變，即 0°時(shí)，裂紋 9方向角按 0、π/6、π/3、π/2、2π/3、5π/6、π 依次變化，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界轉(zhuǎn)速下穩(wěn)態(tài)軸心軌跡和時(shí)頻響應(yīng)如圖2.49至圖2.55所示。從圖中可以清楚地看出，隨著兩裂紋方向角交錯(cuò)角度的增大，軸心軌跡表現(xiàn)出明顯的高次諧波成分減小的趨勢，裂紋角相差至π時(shí)，軸心軌跡形式達(dá)到最簡。另從頻譜圖中可以看出，當(dāng)兩裂紋差角較小(小于π/6)時(shí)，系統(tǒng)亞臨界轉(zhuǎn)速下激起超諧波共振，隨著裂紋差角的擴(kuò)大，工頻成分逐漸變大占主導(dǎo)，3倍頻成分逐漸減小，值得注意的是，當(dāng)兩裂紋角反向，即裂紋角相差π時(shí)，系統(tǒng)頻譜成分中高次諧波成分較工頻成分相差很大，工頻占絕對(duì)主導(dǎo)地位。綜合以上分析，可以得出這樣的結(jié)論，當(dāng)雙裂紋差角相差較小時(shí)，在雙裂紋的共同作用下，相當(dāng)于加強(qiáng)了裂紋的非線性影響，其軸心軌跡和頻譜圖中，出現(xiàn)了豐富的高次諧波成分，隨著裂紋差角的擴(kuò)大，工頻成分持續(xù)增大，2倍以上高次諧波成分相對(duì)減小，至裂紋差角反向時(shí)，高次諧波成分達(dá)到最小，說明反向裂紋在一定程度上起到了互相抵消影響的作用。

表3 軸心軌跡和頻譜圖說明(不同裂紋方向角情況)Tab.3 Illustration of obit and spectrum(different crack angles)

圖9 雙呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界共振特性(裂紋不同側(cè)情況)Fig.9 Subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(cracks in different side)

圖10 裂紋方向角對(duì)雙呼吸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界共振特性的影響(不同裂紋方向角情況)Fig.10 The influence of crack orientation angle on subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(different crack angles)

3 結(jié)論

本文從斷裂力學(xué)理論出發(fā)，考慮了裂紋強(qiáng)度因子中剪力因素在裂紋截面處的影響，通過建立的裂紋轉(zhuǎn)子精細(xì)有限元?jiǎng)恿W(xué)模型，分析了不同裂紋位置對(duì)雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞臨界、主共振區(qū)，及超臨界轉(zhuǎn)速下的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，以及雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同裂紋方向角對(duì)雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，得到以下結(jié)論:

(1)對(duì)于同側(cè)雙裂紋情況，轉(zhuǎn)子中心附近和支撐端與中心之間中點(diǎn)附近的裂紋應(yīng)引起足夠的重視。

(2)由于近支撐端的約束作用，使近支撐的裂紋對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響降低。當(dāng)兩裂紋均位于接近兩支撐端位置時(shí)，由于約束的局部剛度加強(qiáng)作用，降低了裂紋對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，使得系統(tǒng)響應(yīng)頻率成分中出現(xiàn)以工頻和3倍頻為主的現(xiàn)象。

(3)當(dāng)雙裂紋差角相差較小時(shí)，在雙裂紋的共同作用下，相當(dāng)于加強(qiáng)了裂紋的非線性影響，其軸心軌跡和頻譜圖中，出現(xiàn)了豐富的高次諧波成分，隨著裂紋差角的擴(kuò)大，工頻成分持續(xù)增大，2倍以上高次諧波成分相對(duì)減小，至裂紋差角反向時(shí)，高次諧波成分達(dá)到最小，說明反向裂紋在一定程度上起到了互相抵消影響的作用。

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