基于偽壽命分布的電主軸極小子樣可靠性研究

蔣 喜，劉宏昭，劉麗蘭，訾佼佼

(西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，整個社會對于機械產(chǎn)品的可靠性要求越來越高。電主軸作為當(dāng)今世界高速加工技術(shù)領(lǐng)域較為典型的裝備之一，對其可靠性問題進(jìn)行研究必不可少。由于電主軸屬于高精度、長壽命、高可靠性產(chǎn)品，在短時間內(nèi)對其進(jìn)行可靠性實驗難以獲得失效壽命數(shù)據(jù)。雖然傳統(tǒng)的有故障情形下的可靠性數(shù)據(jù)處理已有一套比較成熟的方法，但這種方法只適合于樣本數(shù)較多，且有部分失效壽命數(shù)據(jù)的場合。因此，針對本課題涉及到的這類無故障情形下的電主軸可靠性評估的問題，可采用基于性能退化數(shù)據(jù)的可靠性分析方法進(jìn)行研究。

Lu等［1］基于疲勞裂紋增長數(shù)據(jù)提出了一種混合效果模型和兩階段非線性參數(shù)分析方法;Zehua等［2］通過估計產(chǎn)品的退化軌跡外推產(chǎn)品的失效壽命，從而為可靠性評估提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ);Crk［3］提出了基于性能退化數(shù)據(jù)的多重多變量回歸模型;陳振珩等［4］研究和論述了線性模型、指數(shù)模型和冪律模型等三種基于性能退化數(shù)據(jù)的常用模型。此外，文獻(xiàn)［5－8］等也對產(chǎn)品的性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行了深入的研究?；谛阅芡嘶瘮?shù)據(jù)的可靠性分析方法是直接把產(chǎn)品的可靠性和物理特性參數(shù)聯(lián)系在一起，記錄了未失效產(chǎn)品在不同時刻的性能特征，包括監(jiān)測時間、退化過程和最后一次測量值與特定失效閾值之間的差距，分析時采用這些信息來估計可靠性［9］。因此，該方法比基于失效壽命數(shù)據(jù)的可靠性評估方法更為精確。此外，由于該方法在受試樣本發(fā)生失效之前就對其可靠性及壽命等方面進(jìn)行評估，因此極大程度地縮短了可靠性實驗時間。

目前，性能退化數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法一般分為基于偽壽命分布、基于性能退化量分布和基于隨機系數(shù)分布三種。本文采用基于偽壽命分布的可靠性分析方法對電主軸可靠性實驗所獲得的性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，以獲得各個樣本的偽壽命數(shù)據(jù)。同時，由于電主軸造價較高，使得實驗成本較高，因此本課題涉及到的電主軸樣本只有兩根。針對這類極小子樣的可靠性研究，為了使電主軸可靠性評估結(jié)果的準(zhǔn)確度更高，本文同時采用虛擬增廣樣本法將實驗樣本的偽壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行虛擬擴(kuò)展。在此基礎(chǔ)上，對偽壽命虛擬增廣樣本進(jìn)行統(tǒng)計分析，以獲得電主軸的一系列可靠性指標(biāo)。

1 電主軸性能退化機理及退化參數(shù)的選取

1.1 電主軸性能退化機理

電主軸的性能退化失效機理是錯綜復(fù)雜的，其可靠性與主軸材料、支承軸承的類型及安裝方式等多種因素相關(guān)。對于實際工況下電主軸的性能退化失效，可針對其主要的性能退化機理進(jìn)行具體分析，從而合理施加適當(dāng)?shù)膽?yīng)力。

本課題的研究對象是磨削電主軸，其在實際工況下承受的作用力主要包括軸端徑向力、扭矩和軸向力，其中最主要的是研究磨削電主軸在軸端徑向載荷作用下的可靠性問題，該載荷引起電主軸的主要性能退化機理為:在軸端徑向載荷的持續(xù)作用下，電主軸連續(xù)長期的高速運轉(zhuǎn)一方面會導(dǎo)致前后支承軸承組的磨損、疲勞破壞等一系列缺陷，另一方面會導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸疲勞、斷裂以及其與轉(zhuǎn)子之間過盈配合的松動等不良狀況，這些缺陷將引起電主軸的軸端徑向跳動加大、振動加劇以及噪聲的增大等現(xiàn)象。隨著電主軸運轉(zhuǎn)時間的不斷延長，這些因素最終將導(dǎo)致其軸端徑向跳動量(回轉(zhuǎn)誤差)和振動量等物理量超出各自允許值，即超出所謂的退化失效閾值，此時則認(rèn)為電主軸發(fā)生性能退化失效。此外，潤滑系統(tǒng)的失效將引起軸承溫升急劇上升，加速軸承的磨損;冷卻系統(tǒng)的失效將引起系統(tǒng)溫升急劇上升，使得電主軸系統(tǒng)工作異常，甚至導(dǎo)致電機燒毀等。

1.2 電主軸性能退化特征量的選取

為了在進(jìn)行電主軸可靠性實驗的過程中及時掌握其退化失效狀況，則需要選取適當(dāng)?shù)男阅苤笜?biāo)作為性能退化特征量，當(dāng)其中某一個或者若干個性能退化特征量超過性能退化失效閾值時，即認(rèn)為電主軸出現(xiàn)性能退化失效，其可靠性實驗也隨之截止。因此，電主軸性能退化特征量的選取必須滿足如下所述的兩個條件［10］:

(1)從電主軸投入實驗開始到實驗終止時刻，其性能退化特征量能夠呈現(xiàn)出一定的變化規(guī)律，能比較客觀地反映出其工作狀態(tài)和退化過程;

(2)電主軸的各個性能退化特征量都應(yīng)該有明確的定義且能夠?qū)崟r測量。

在明確了電主軸性能退化機理的基礎(chǔ)上，結(jié)合本課題所研究設(shè)計的電主軸可靠性實驗平臺所具備的功能，可獲知能夠進(jìn)行實時測量的電主軸性能指標(biāo)包括前后軸承組的溫升值、振動量以及軸端徑向跳動量，且這些指標(biāo)均符合上述兩個條件。本課題所研究的是磨削電主軸，其在磨削加工過程中需要保持一定的加工精度，因此其最為重要的性能指標(biāo)是軸端徑向跳動量，該指標(biāo)同時也是最為直接地反映電主軸回轉(zhuǎn)精度的特征量，因此本文選取電主軸的軸端徑向跳動量作為電主軸性能退化特征量。

2 極小子樣可靠性評估的基本原理及流程

2.1 偽壽命分布法的基本原理

基于偽壽命分布的退化數(shù)據(jù)可靠性評估方法是將產(chǎn)品性能退化量或與之相關(guān)的參數(shù)作為時間的函數(shù)(即所謂的退化模型或者退化軌跡)，利用退化方程描述偽壽命值與應(yīng)力水平的關(guān)系［9］。該評估方法的基本原理和步驟如下:

(1)對所有實驗樣品持續(xù)進(jìn)行性能退化實驗，記錄性能退化數(shù)據(jù)，并根據(jù)使用方的需求及國家相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)確定性能退化失效閾值D。

(2)運用非線性最小二乘法將步驟(1)所獲得的性能退化數(shù)據(jù)與常用的退化軌跡模型進(jìn)行擬合，從中選擇最優(yōu)的退化軌跡模型，并估計模型中的未知參數(shù)。

(3)運用步驟(2)中選取的退化軌跡模型，結(jié)合步驟(1)中確定的性能退化失效閾值D，外推獲得各樣品的偽失效壽命。

2.2 虛擬增廣樣本法的基本原理

虛擬增廣樣本法的立論依據(jù)為:虛擬增廣后的虛擬樣本的均值應(yīng)與原始實驗樣本的均值相等，而且其標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)與類似件的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相等［11－12］。

因此，根據(jù)上節(jié)步驟(3)中獲得的產(chǎn)品偽失效壽命原始實驗數(shù)據(jù)的均值及其以往類似件實驗估計所得到的分布形式和標(biāo)準(zhǔn)差，即可應(yīng)用虛擬增廣樣本法對其進(jìn)行虛擬擴(kuò)展，從而得到偽失效壽命的虛擬增廣樣本數(shù)據(jù)。

2.3 極小子樣可靠性評估流程

在上節(jié)分析的基礎(chǔ)上，利用以往類似件實驗估計所得到的分布函數(shù)及幾種常見的失效壽命分布函數(shù)對偽失效壽命虛擬增廣樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分布假設(shè)檢驗，從中選取最為合適的失效壽命分布函數(shù)，并確定該分布函數(shù)中的未知參數(shù)。最終獲得產(chǎn)品的一系列常用可靠性指標(biāo)。

3 電主軸極小子樣可靠性評估

3.1 電主軸性能退化實驗方案

3.1.1 實驗設(shè)備及原理

本課題所進(jìn)行的電主軸可靠性實驗采用的主要實驗設(shè)備如圖1所示。

圖1 電主軸實驗設(shè)備Fig.1 The electric spindle test equipment

該實驗平臺的主要工作原理是:在接通所有設(shè)備電源之后，先啟動水冷機給電主軸通循環(huán)冷卻水，再通過調(diào)節(jié)變頻器控制電主軸的轉(zhuǎn)速達(dá)到8 000 r/min，接著啟動恒流源給電磁加載裝置供電，以實現(xiàn)對電主軸軸端加載盤施加電磁力，并根據(jù)磨削電主軸的載荷譜控制電磁加載力的大小，由此模擬電主軸在實際磨削加工過程中的磨削力。然后，在電主軸運行穩(wěn)定后，每隔一段時間通過激光位移傳感器和振動速度傳感器分別測量電主軸軸端徑向跳動量和振動速度值，從而獲得一系列電主軸性能退化實驗數(shù)據(jù)。

3.1.2 實驗終止條件

按照國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 899A－2009關(guān)于可靠性鑒定和驗收實驗的規(guī)定，對于定時截尾實驗截尾時間的確定方法如下:

先確定平均故障間隔時間(MTBF)最低可接收值θ1和規(guī)定值θ0，它們分別指的是裝備在設(shè)計定型時所規(guī)定的必須達(dá)到的使用指標(biāo)和期望達(dá)到的使用指標(biāo)。由θ0和 θ1可得到鑒別比 d，根據(jù)鑒別比即可從 GJB 899A－2009中選取合適的定時實驗統(tǒng)計方案，方案確定后即可獲得所有n件受試產(chǎn)品總的實驗時間T。此外，GJB 899A－2009規(guī)定每臺產(chǎn)品的實驗時間至少應(yīng)為所有受試產(chǎn)品平均實驗時間的1/2，由此可知每臺產(chǎn)品的實驗時間t≥T/2n。因此，定時截尾實驗截尾時間應(yīng)不小于T/2n。

按逐次定時截尾實驗原則，結(jié)合使用方的需求、國家相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)以及電主軸實驗規(guī)范，在利用上述方法規(guī)定的截尾時間內(nèi)，如果在連續(xù)若干個測量時刻點所測得的實驗數(shù)據(jù)均出現(xiàn)以下某個或某幾個現(xiàn)象則立即終止實驗:

(1)前后軸承組溫升幅度超過恒定工作溫度的30%，或者前后軸承組溫度超過60℃;

(2)電主軸振動速度值超過1.5 mm/s;

(3)電主軸軸端徑向跳動量超過其初始值的1.6倍。

若到達(dá)規(guī)定的截尾時間時仍未出現(xiàn)上述現(xiàn)象，則按照定時截尾可靠性實驗原則，即刻終止實驗。

3.2 基于偽壽命分布的電主軸可靠性評估

按照上述電主軸性能退化實驗方案對兩根磨削電主軸分別進(jìn)行為期近兩個月的性能退化實驗，獲得一系列相關(guān)的性能退化數(shù)據(jù)，其中部分退化實驗數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 磨削電主軸部分退化實驗數(shù)據(jù)Tab.1 Partial degradation test data of grinding electric spindle

3.2.1 偽壽命分布法確定偽失效壽命

應(yīng)用非線性最小二乘法將2個樣本的性能退化數(shù)據(jù)分別與線性函數(shù)(y=α·t+β)、指數(shù)函數(shù)(y=β·eα·t)、冪函數(shù)(y= β·tα)、對數(shù)函數(shù)(y= α·ln(t)+β)、Lloyd－Lipow(y=α－β/t)五種常見退化軌跡模型進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果的圖像分別如圖2、圖3所示。同時返回2個樣本數(shù)據(jù)與各模型擬合的誤差平方和及相應(yīng)模型中的未知參數(shù)，如表2所示。

圖2 樣本1的性能退化數(shù)據(jù)擬合圖Fig.2 Fitting chart of the first sample’s performance degradation data

圖3 樣本2的性能退化數(shù)據(jù)擬合圖Fig.3 Fitting chart of the second sample’s performance degradation data

本文選用誤差平方和的值作為評價各退化軌跡模型擬合優(yōu)度的指標(biāo)，該值越接近零說明擬合的效果越好。因此通過比較表2中各個實驗樣本的退化數(shù)據(jù)與各個退化模型擬合后返回的誤差平方和的大小，即可確定兩個實驗樣本的最優(yōu)退化軌跡模型均為冪函數(shù)，表達(dá)式分別為:

本文選取相對失效閾值作為電主軸軸端徑向跳動量的退化失效閾值，根據(jù)使用方的需求、國家相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)以及電主軸實驗規(guī)范取該值為1.6，則令各個實驗樣本的最優(yōu)退化軌跡模型中的y值(即式(1)和式(2)中的y值)為初始值的1.6倍，即可推導(dǎo)出各樣本的退化失效壽命(偽失效壽命)分別為2 211 h、2 863 h。

表2 樣本數(shù)據(jù)與各模型擬合的誤差平方和及相應(yīng)模型中的未知參數(shù)表Tab.2 Sum of error squares of sample data fitting with each model and unknown parameters of corresponding model

3.2.2 偽壽命虛擬增廣樣本的確定

由于電主軸的支承軸承的磨損及疲勞剝落等形式的失效對于電主軸的綜合性能影響較大，也較為直接，因此選用軸承作為電主軸的類似件，則確定軸承的失效分布函數(shù)——威布爾分布函數(shù)，作為電主軸的失效分布函數(shù)。

接下來將偽壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行虛擬擴(kuò)展，由相關(guān)文獻(xiàn)可知:為了更好地獲得可靠性實驗評估結(jié)果，虛擬增廣樣本數(shù)應(yīng)不小于10。因此，本文選取虛擬增廣樣本數(shù)為13，即將原始的2個擴(kuò)展為13個。

由兩個偽失效壽命原始實驗數(shù)據(jù)可得其均值T0和標(biāo)準(zhǔn)差σ，根據(jù)威布爾分布的密度函數(shù)形式，易知威布爾分布的密度函數(shù)是偏態(tài)的［14］，因此在進(jìn)行虛擬擴(kuò)展時，考慮在其均值T0的左邊取8個虛擬擴(kuò)展值，右邊取4個虛擬擴(kuò)展值，加上T0共13個虛擬擴(kuò)展值，分別記為T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10、T11、T12、T13，其中T9=T0。則由虛擬增廣樣本法的立論依據(jù)可得如下方程組:

由于式(3)中只有均值T0和標(biāo)準(zhǔn)差σ是已知的，因此其關(guān)于T1～T8、T10～T13的解有無窮多組，根據(jù)威布爾分布密度函數(shù)的偏態(tài)性，可分別取 T1=0.1T0、T2=0.3T0、T3=0.4T0、T4=0.5T0、T5=0.6T0、T6=0.7T0、T7=0.8T0、T8=0.9T0、T10=1.2T0、T11=1.4T0、T12=1.6T0、

3.2.3 電主軸可靠性評估

將所獲得的偽失效壽命虛擬增廣樣本分別用威布爾分布、正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行Kolmogorov－Smirnov檢驗，以檢驗上述三種分布函數(shù)的擬合優(yōu)度，獲得相關(guān)參數(shù)如表3所示。

表3 分布假設(shè)檢驗結(jié)果Tab.3 Results of the distribution hypothesis test

表中，h=0表示接受假設(shè)，h=1表示拒絕假設(shè);p為服從假設(shè)的分布函數(shù)的概率;k為 Kolmogorov－Smirnov檢驗的統(tǒng)計量;c為決定k是否顯著的臨界值，當(dāng)統(tǒng)計量k值不超過c值時，即表示接受假設(shè);否則就表示拒絕假設(shè)。

由檢驗結(jié)果可知:偽失效壽命虛擬增廣樣本均接受威布爾分布、正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)檢驗，但服從威布爾分布的概率最高，因此確定偽失效壽命虛擬增廣樣本的最優(yōu)分布函數(shù)為威布爾分布，同時獲得分布函數(shù)中的形狀參數(shù)m和真尺度參數(shù)η分別為1.745 8、2 493.855 6，則得磨削電主軸失效分布函數(shù)F(t)和失效分布密度函數(shù)f(t)分別為:

由式(6)可得磨削電主軸的失效分布密度函數(shù)曲線，如圖4所示。

圖4 磨削電主軸分布密度函數(shù)曲線Fig.4 Distribution density function curve of grinding electric spindle

在上述分析的基礎(chǔ)上，可分別獲得該型號電主軸常用的可靠性評估指標(biāo)如下:

① 電主軸可靠度函數(shù)為:該可靠度函數(shù)的曲線如圖5所示。

圖5 磨削電主軸可靠度函數(shù)曲線Fig.5 Reliability function curve of grinding electric spindle

由所獲得的磨削電主軸可靠度函數(shù)曲線可知:隨著使用時間的延長，磨削電主軸的可靠度也隨之不斷降低。

② 威布爾分布的失效率函數(shù)，即磨削電主軸的失效率函數(shù)為:

由此可得失效率函數(shù)曲線如圖6所示。

圖6 磨削電主軸失效率函數(shù)曲線圖Fig.6 Failure rate function curve of grinding electric spindle

由圖6可知:磨削電主軸的失效率函數(shù)為遞增型，在運行約8 000 h的時候，其失效率達(dá)到1.7×10－3(個)/h，該值表示每10 000根電主軸工作8 000小時后只有約17根電主軸失效。而在此時間點之前，各個時刻電主軸的失效率均低于1.7×10－3(個)/h。由此可見，該電主軸的可靠性較高。

③ 平均壽命E(t)對于不可修復(fù)產(chǎn)品而言，即為平均故障前時間;而對于可修復(fù)產(chǎn)品而言，即為平均故障間隔時間。而電主軸屬于可修復(fù)產(chǎn)品，因此其平均壽命(平均故障間隔時間)E(t)為:

式中:Γ(1+1/m)為Γ函數(shù)，該值可由文獻(xiàn)［9］中的表2－3中查得。

結(jié)合式(6)可求得電主軸工作到平均壽命時的可靠度 R 為0.441 8。

④ 威布爾分布的可靠壽命，即電主軸的可靠壽命表達(dá)式為:

式中，R為可靠度。

當(dāng)電主軸所要求的可靠度為R時，則可通過式(9)計算獲得其可靠壽命tR。其表示該型號電主軸在文中所處的實際工況下連續(xù)運轉(zhuǎn)時間tR之后，無論其有無發(fā)生失效都應(yīng)更換新的或者進(jìn)行修復(fù)。

因此，電主軸的平均壽命也是當(dāng)其所要求的可靠度為0.441 8時的可靠壽命。同時，由式(10)可計算獲得中位壽命 t0.5和特征壽命 t0.368分別為:即由中位壽命t0.5可知該電主軸產(chǎn)品中約有一半產(chǎn)品的壽命低于2 022 h。

4 結(jié)論

針對采用傳統(tǒng)可靠性分析方法對電主軸極小子樣的可靠性進(jìn)行評估較為困難的問題，提出了基于偽壽命分布的可靠性分析方法，本文主要工作如下:

(1)分析和研究了電主軸性能退化失效機理，選取了合適的性能退化特征量，在此條件下設(shè)計電主軸可靠性實驗方案并進(jìn)行可靠性實驗。

(2)研究了基于偽壽命分布的退化數(shù)據(jù)可靠性評估方法的基本原理，結(jié)合電主軸實驗樣本的實驗數(shù)據(jù)，綜合虛擬增廣樣本法對電主軸進(jìn)行可靠性評估。

(3)獲得失效分布函數(shù)、分布密度函數(shù)及其曲線，以及一系列可靠性指標(biāo)，包括可靠度函數(shù)及其曲線、失效率函數(shù)及其曲線、平均壽命及部分可靠壽命等。

評估結(jié)果表明，該電主軸的可靠度隨時間的變化趨勢基本符合機械產(chǎn)品的性能退化規(guī)律，同時其平均失效壽命基本符合正常工況下的一般范圍。

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