多頻激勵Duffing-van der Pol 系統(tǒng)振動狀態(tài)研究

趙志宏，張 明，楊紹普，邢海軍

(1.石家莊鐵道大學 信息科學與技術(shù)學院，石家莊 050043;2.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043)

非線性系統(tǒng)的分岔與混沌的研究自20世紀80年代就引起了人們的廣泛關(guān)注，已取得大量的研究成果。許多典型的例子具有相同或相似的非線性動力學行為，對這些行為的研究是非線性動力學的主要課題。Duffing方程作為典型的非線性動力學模型，是研究重力擺和端部有集中質(zhì)量的彈性梁的典型例子，而van der Pol系統(tǒng)是自激系統(tǒng)的例子。為了得到更多的動力學行為，人們開始研究在非線性振動系統(tǒng)的模擬中有廣泛應(yīng)用的Duffing和van der Pol方程的組合Duffingvan der Pol方程，在對此系統(tǒng)的研究中，大多數(shù)研究的是單頻激勵下某一參數(shù)變化的振動狀態(tài)［1］，在實際工程中，外部激勵多為多頻激勵，即系統(tǒng)存在兩個或兩個以上的激勵源，或者是機械運動導(dǎo)致路面對系統(tǒng)產(chǎn)生的激勵加上機械本身的動力系統(tǒng)產(chǎn)生的激勵所形成。多頻激勵產(chǎn)生的混沌行為往往會導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩或不規(guī)則運動，甚至會使系統(tǒng)徹底崩潰。因此，有必要研究多頻激勵對系統(tǒng)振動狀態(tài)的影響，這對解決工程實際問題也有很大的幫助。

楊德森等［2］研究了多頻激勵Duffing系統(tǒng)的振動狀態(tài)，本文主要對Duffing-van der Pol系統(tǒng)進行研究，Duffing-van der Pol系統(tǒng)已經(jīng)作為物理學、電子學、機械工程學等許多領(lǐng)域的研究模型。例如，用于模擬流量導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)的振動問題。人們對Duffing-van der Pol系統(tǒng)進行了大量的研究工作［3－6］，Maccari［5］利用漸進攝動法研究了Duffing-van der Pol系統(tǒng)的主共振，給出了產(chǎn)生倍周期運動的充分條件。董建寧等［6］利用數(shù)值方法研究了多頻激勵作用下Duffing-van der Pol的系統(tǒng)參數(shù)對近似解幅頻曲線的影響，并利用奇異性理論得到了系統(tǒng)的全部分岔響應(yīng)曲線。本文對比研究了多頻激勵幅頻曲線與單頻激勵幅頻曲線，利用多尺度法分析Duffing-van der Pol系統(tǒng)在多頻激勵下的主共振幅頻特性，并通過數(shù)值仿真研究了Duffing-van der Pol系統(tǒng)在不同多頻激勵對振動狀態(tài)的影響。

1 多頻激勵Duffing-van der Pol系統(tǒng)的解析分析

Duffing-van der Pol系統(tǒng)在兩個頻率的激勵作用下的運動方程為［7－8］:

其中:ω0為系統(tǒng)的固有頻率，β為非線性阻尼系數(shù)，F(xiàn)1，F(xiàn)2，ω1和ω2分別為兩個外激勵的幅值和頻率，ε為小參數(shù)。如果系統(tǒng)阻尼較小，這時很小的激勵幅值F1也會激發(fā)出強烈的共振，因此研究主共振時要對系統(tǒng)的外激勵幅值和頻率加以限制。本文主要研究主共振時系統(tǒng)的振動狀態(tài)，對方程(1)進行如下變換:

則變換為:

運用多尺度法得到方程(3)的平均方程為:

其中:

當系統(tǒng)作定常運動時，有a=0，φ=0，此時:

方程(5)消去φ，可以得到:

方程組(6)得到的是Duffing-van der Pol系統(tǒng)在多頻激勵條件下，作定常運動時的主共振幅頻和相頻特性。通過對式(6)進行大量的數(shù)值仿真得到，系統(tǒng)主共振的解有多值特性，在一定的頻率范圍內(nèi)，幅頻方程具有不穩(wěn)定解。不穩(wěn)定的解出現(xiàn)在中間解，穩(wěn)定解出現(xiàn)在兩邊較大或較小的解處。通過系統(tǒng)主共振幅頻特性曲線，能夠分析出多頻激勵參數(shù)對系統(tǒng)振動狀態(tài)的影響。

2 多頻激勵Duffing-van der Pol系統(tǒng)主共振狀態(tài)的幅頻特性曲線分析

選取Duffing-van der Pol系統(tǒng)(1)的一組參數(shù)為:α=5，f=1，β =0.3，ω0=1，F(xiàn)2=0，ω2=0。圖 1 給出了不同激勵條件下系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)曲線。對比在不同參數(shù)下的主共振幅頻響應(yīng)曲線，可以得到各參數(shù)對系統(tǒng)振動狀態(tài)響應(yīng)的影響。

首先，考慮多頻激勵幅值參數(shù)的變化對系統(tǒng)主共振幅頻特性的影響。圖1(a)中虛線表示的是Duffingvan der Pol系統(tǒng)受到單頻激勵F1cos(ω1t)作用下的主共振幅頻響應(yīng)曲線;兩條實線表示的是，系統(tǒng)在兩項外部激勵作用下的主共振幅頻響應(yīng)曲線，選取的參數(shù)為F2=2，ω2=2 和F2=3，ω2=2。由圖1(a)可知，與單頻激勵條件下系統(tǒng)的主共振振幅相比較，加入第二項激勵F2cosω2t以后，系統(tǒng)的振動狀態(tài)會改變，并且隨著外激勵的振幅的增大，系統(tǒng)振動狀態(tài)的改變越大。

系統(tǒng)在兩個頻率外激勵作用下主共振曲線和系統(tǒng)的共振域發(fā)生變化，主共振曲線向右發(fā)生移動。隨著第二項外激勵幅值的增加時，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線偏移量變大，系統(tǒng)的幅值相應(yīng)變小。

接著研究多頻激勵頻率參數(shù)對系統(tǒng)振動狀態(tài)的影響。圖1(b)中虛線表示的是單頻激勵條件下，Duffingvan der Pol系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線;兩條實線表示的是，系統(tǒng)在兩個頻率外部激振作用下的主共振幅頻響應(yīng)曲線，選取的參數(shù)為 F2=2，ω2=2和 F2=2，ω2=1.5。從圖中可以得到，當外激勵頻率ω2變大，且與ω1越接近時，幅頻曲線的偏移量越大，系統(tǒng)的共振域改變也相應(yīng)越大，系統(tǒng)的幅值變化越大。相反，當外激勵頻率ω2繼續(xù)變大，且與ω1相差越來越多時，幅頻曲線的偏移量越小，系統(tǒng)的共振域改變也相應(yīng)越小，系統(tǒng)的幅值變化越小。

通過分析可知，與單頻激勵相比，多頻激勵的加入使主共振曲線也相應(yīng)的發(fā)生變化，即影響到系統(tǒng)振動狀態(tài)的變化。而且，當系統(tǒng)加入外激勵以后，系統(tǒng)的振動狀態(tài)會改變，并且隨著外激勵振幅越大，系統(tǒng)振動狀態(tài)的改變越大;當加入多頻激勵的頻率與原頻率接近時，系統(tǒng)可能發(fā)生共振，導(dǎo)致系統(tǒng)的振動狀態(tài)變化明顯。換句話說，加入多頻激勵的頻率與原頻率相差的越大，系統(tǒng)的振動狀態(tài)改變的越小，越接近原來的運動狀態(tài)。

圖1 Duffing-van der Pol系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線Fig.1 Curve of amplitude-frequency response characteristics of Duffing-van der Pol system

3 數(shù)值分析

分岔是當系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時，對于一定的參數(shù)值，系統(tǒng)(方程)的解失去穩(wěn)定性而同時出現(xiàn)兩個或多個解的現(xiàn)象。本文采用最大值法畫出分岔圖，并計算相應(yīng)條件下的Lyapunov指數(shù)譜。分別在單頻激勵和多頻激勵條件下，對Duffing-van der Pol系統(tǒng)的運動狀態(tài)進行分析。非線性系統(tǒng)的振動狀態(tài)具有十分復(fù)雜的動力學特性，可以用最大Lyapunov指數(shù)表示系統(tǒng)振動狀態(tài)空間軌跡的發(fā)散率，如果Lyapunov指數(shù)為正，意味著在系統(tǒng)的相空間中，無論初始兩條軌跡的間距多么小，其差別都會隨著時間的演化而成指數(shù)率的增加以致達到無法預(yù)測，系統(tǒng)運動具有混沌特征［9］;若為負值則系統(tǒng)對初值不敏感，系統(tǒng)運動收斂到平衡點。Duffing-van der Pol系統(tǒng)一階微分方程如下式所示［10］:

利用 F1作為分岔參數(shù)，參數(shù)選取 ω1=1，應(yīng)用MATLAB求解式(7)，采用最大值法畫出分岔圖如圖2、圖3、圖4 所示。

圖2(a)是單頻外激勵條件下ω1=1振動狀態(tài)隨激勵幅值F1變化的分岔圖，圖2(b)是單頻激勵下振動狀態(tài)隨激勵幅值F1變化的Lyapunov指數(shù)曲線，從Lyapunov指數(shù)曲線圖中，可以清楚地看到與分岔圖所揭示的系統(tǒng)狀態(tài)一致的變化規(guī)律。當F1在0到3，4到6，9到12時，系統(tǒng)的振動主要處于混沌狀態(tài)，此參數(shù)區(qū)內(nèi)的Lyapunov指數(shù)多為大于零的值，說明此時系統(tǒng)振動狀態(tài)不穩(wěn)定。3到4，12到15時，系統(tǒng)比較穩(wěn)定，其運動收斂到平衡點。

圖2 單頻激勵Duffing-van der Pol系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)曲線Fig.2 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under single-frequency excitation

圖3 多頻激勵Duffing-van der Pol系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)曲線Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under multi-frequency excitation

圖4 多頻激勵Duffing-van der Pol系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)曲線Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under multi-frequency excitation

圖3(a)是系統(tǒng)多頻激勵條件下振動狀態(tài)隨激勵幅值F1變化的分岔圖，圖3(b)是多頻激勵下振動狀態(tài)隨激勵幅值F1變化的Lyapunov指數(shù)曲線，與單頻激勵ω1=1相比，系統(tǒng)增加了 F2=2，ω2=0.9的外激勵項。可以看出ω2與ω1很接近時，系統(tǒng)在絕大部分區(qū)域呈現(xiàn)出來的混沌狀態(tài)，說明此系統(tǒng)與單頻激勵的系統(tǒng)相比系統(tǒng)穩(wěn)定性大大減弱了。多頻激勵對系統(tǒng)的振動狀態(tài)的影響比較明顯。圖3與圖2的差異性是因為當ω1=1，F(xiàn)2=2，ω2=0.9 時，頻率接近，系統(tǒng)可能發(fā)生共振，振動最強烈，所以系統(tǒng)的振動狀態(tài)改變明顯。

圖4(a)是多頻激勵條件下振動狀態(tài)隨激勵幅值F1變化的分岔圖，圖4(b)是多頻激勵下振動狀態(tài)隨激勵幅值F1變化的的Lyapunov指數(shù)曲線，與單頻激勵ω1=1相比，系統(tǒng)增加了F2=2，ω2=10的外激勵項。從Lyapunov指數(shù)曲線圖中，可以看到與圖2(a)分岔圖所揭示的系統(tǒng)狀態(tài)一致的變化規(guī)律。當F1在0到3，4到6，9到12時，系統(tǒng)的振動主要處于混沌狀態(tài)，此參數(shù)區(qū)內(nèi)的Lyapunov指數(shù)多為大于零的值，說明此時系統(tǒng)振動狀態(tài)不穩(wěn)定。3到4，12到15時，系統(tǒng)比較穩(wěn)定，其運動收斂到平衡點。通過圖4和圖2系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)曲線可知，兩種激勵條件下，在各參數(shù)的區(qū)間上Duffing-van der Pol系統(tǒng)的振動狀態(tài)基本相同，也就是說所加入的外激勵項對系統(tǒng)振動狀態(tài)改變較小。這種情況是在兩個外激勵的頻率相差較大時出現(xiàn)的，與上面的解析分析的結(jié)果相符。圖4與圖2一致性的原因是當ω1=1，F(xiàn)2=2，ω2=10時，頻率相差較大，系統(tǒng)不會發(fā)生共振，所以系統(tǒng)的振動狀態(tài)改變不明顯。

4 結(jié)論與展望

本文通過分析多頻激勵對Duffing-van der Pol系統(tǒng)的振動狀態(tài)的影響可知，幅頻特性曲線、分岔圖、Lyapunov指數(shù)曲線可以表示系統(tǒng)的振動狀態(tài)。并且隨著兩個激勵項的振幅和頻率的改變，系統(tǒng)的振動狀態(tài)呈現(xiàn)出一定規(guī)律的改變。與楊德森等人提出的多頻激勵Duffing系統(tǒng)相比，Duffing-van der Pol在加入多頻激勵時幅頻特性曲線更復(fù)雜，除了發(fā)生平移，幅值還發(fā)生了一定規(guī)律的減小，即減小幅值的一種方法。Duffing-van der Pol系統(tǒng)在加入的多頻激勵的幅值較大和加入的多頻激勵的頻率與單頻激勵的頻率相差較小時，系統(tǒng)的振動狀態(tài)改變的越大。通過數(shù)值仿真可知，以上兩種情況與解析得出的結(jié)論比較一致。

本文利用 MATLAB對Duffing-van der Pol系統(tǒng)的主共振的幅頻響應(yīng)特性進行了研究，Duffing-van der Pol系統(tǒng)的次共振情況還有待進一步研究。

［1］張 莉，俞建寧，李 陽，等.Van Der Pol-Duffing振子的混沌及控制［J］.溫州大學學報·自然科學版，2007，28(2):11－14.ZHANG Li，YU Jian-ning，LI Yang，et al.Chaos control for the periodically excited Van Der Pol– Duffing［J］.Journal of Wenzhou University· Natural Sciences，2007，28(2):11－14.

［2］楊德森，董 雷，時 潔，等.多頻激勵Duffing系統(tǒng)振動狀態(tài)研究［J］.振動與沖擊，2011，30(12):19 －21.YANG De-sen，DONG Lei，SHI Jie，et al.Duffing system vibration behavior under multi-frequency excitation［J］.Journal of Vibration And Shock，2011，30(12):19 －21.

［3］許 磊，陸明萬，曹慶杰.Van der Pol-Duffing方程的非線性動力學分叉特性研究［J］.應(yīng)用力學學報，2002，19(4):130－133.XU Lei，LU Wan-ming，CAO Qing-jie.Nonlinear dynamical bifurcation of Van der Pol-Duffing equation［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，2002 ，19(4):130 －133.

［4］Ji J C，Hansen C H.Stability and dynamics of a controlled Van der Pol-Duffing oscillator［J］.Chaos，solutions＆Fractal，2006，28(2):555 －570.

［5］Maccari A.Approxinate solution of a class of nonlinear oscillators in resonance with a periodic excitation［J］.Nonlinear Dynamics，1998，15(4):329 －343.

［6］董建寧，申永軍，楊紹普.多頻激勵作用下Duffing-van der Pol系統(tǒng)的分岔分析［J］.石家莊鐵道學院學報，2006，19(1):62－66.DONG Jian-ning，SHEN Yong-jun，YANG Shao-pu.Main Resonance of Duffing-Van der Pol system to multi-frequency excitations［J］.Journal of Shi Jia Zhuang Railway Institute，2006，19(1):62 －66.

［7］畢勤勝，陳予恕，吳志強.多頻激勵Duffing系統(tǒng)的分岔和混沌［J］.應(yīng)用數(shù)學和力學，1998，19(2):113 －120.BI Qin-sheng，CHEN Yu-shu，WU Zhi-qiang.Bifurcation in nonlinearDuffing system with multi-frequency external periodic forces［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1998，19(2):113 －120.

［8］秦朝紅，陳予恕.多頻激勵下Duffing-van der Pol系統(tǒng)的兩參數(shù)分岔分析［J］.應(yīng)用數(shù)學和力學，2010，31(8):971－978.QIN Zhao-hong，CHEN Yu-shu.Singularity analysisof Duffing-Van der Pol system with two bifurcation parameters under multi－ frequency excitations［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2010，31(8):971 －978.

［9］羅利軍，李銀山，李 彤，等.李雅普諾夫指數(shù)譜的研究與仿真［J］.計算機仿真，2005，22(12):285 －288.LUO Li-jun，LI Yin-shan，LI Tong，et al .Research and simulation oflyapunov’s exponents［J］. Computer Simulation，2005，22(12):285 －288.

［10］崔春霞，吳鋒民.控制周期激勵Van der Pol-Duffing振子的混沌［J］.浙江工業(yè)大學學報，2004，32(3):266 －268.CUIChun-xia，WU Feng-min.The controlover the periodically excited Van der Pol-Duffing［J］.Journal of Zhe Jiang University of Technology，2004，32(3):266 －268.