倒圓角直梁型柔性球鉸柔度計(jì)算與分析

楊春輝

(華東交通大學(xué)軌道交通學(xué)院，江西南昌330013)

柔性鉸鏈具有體積小、無機(jī)械摩擦、無間隙和高靈敏度的特點(diǎn)，被廣泛地應(yīng)用于微操作機(jī)構(gòu)，如今柔性鉸鏈已經(jīng)廣泛應(yīng)用在航空工業(yè)、自動(dòng)化工業(yè)、生物醫(yī)藥、計(jì)算機(jī)和光導(dǎo)纖維等領(lǐng)域，具體應(yīng)用有光學(xué)調(diào)整裝置、盒式天平、小型力敏元件微加速度計(jì)、顯微鏡支架、MEMS、高精度微位移工作臺(tái)等。

柔性鉸鏈分為單軸柔性鉸鏈和雙軸柔性鉸鏈。常見的單軸柔性鉸鏈有兩種:直梁型柔性鉸鏈和圓弧型柔性鉸鏈。直梁型柔性鉸鏈有較大的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍，但運(yùn)動(dòng)精度較差;而圓弧型柔性鉸鏈的運(yùn)動(dòng)精度較高，但轉(zhuǎn)動(dòng)范圍相對(duì)小［1］。為了兼顧運(yùn)動(dòng)精度和運(yùn)動(dòng)范圍，又衍生出下面幾種轉(zhuǎn)動(dòng)柔性鉸鏈:拋物線型柔性鉸鏈、橢圓型柔性鉸鏈、雙曲線型柔性鉸鏈等［2］。1965年，PAROS等已經(jīng)推導(dǎo)出柔性鉸鏈的簡(jiǎn)化計(jì)算公式［3］，主要對(duì)特定柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)的不同的性能指標(biāo)進(jìn)行研究。吳鷹飛等給出了一般柔性鉸鏈和直圓柔性鉸鏈的計(jì)算公式［4］;LOBONTIU研究了倒角柔性鉸鏈剛度指標(biāo)［5］;SMITH 等［6］和陳貴敏等［7－8］對(duì)橢圓柔性鉸鏈的性能開展了研究;XU等使用有限元方法對(duì)直圓、導(dǎo)角和橢圓這3種型式的柔性鉸鏈的精度做了分析比較［9］。柔性球鉸是一種雙軸柔性鉸鏈。LOBONTIU 等［10］、侯文峰［11］對(duì)多軸柔性鉸鏈進(jìn)行了研究，給出了柔度和回轉(zhuǎn)精度的解析式，并利用有限元軟件和試驗(yàn)對(duì)柔度公式進(jìn)行了驗(yàn)證。董為將通常的球副型柔性鉸鏈拉長(zhǎng)，從而提供普通柔性鉸鏈所不具備的大行程［12］。

作者以直梁柔性球鉸為對(duì)象進(jìn)行研究，以力學(xué)的卡氏第二定理和微積分為理論基礎(chǔ)對(duì)柔性球鉸的柔度計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)，并用有限元方法驗(yàn)證了公式的正確性;在此基礎(chǔ)上，分析各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)柔性鉸鏈柔度的影響，為直梁柔性球鉸的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1 直梁型柔性球鉸的柔度計(jì)算

圖1為直梁型柔性球鉸的結(jié)構(gòu)參數(shù)，柔性球鉸的參數(shù)如下:圓角半徑為r、最小厚度為t、直梁長(zhǎng)度為l。梁的有效長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2r+l。

柔性球鉸相對(duì)于主軸、次軸和縱軸是對(duì)稱的，并定義主軸為z軸方向，次軸為y軸方向，縱軸為x軸方向。該鉸鏈的局部坐標(biāo)系Oxyz的原點(diǎn)建立在鉸鏈的左端中心1處，其原點(diǎn)O與1重合。圖1中的1—2段和4—5段都為角圓形部分，2—4段為直梁部分，3為該鉸鏈的幾何中心即回轉(zhuǎn)中心。該鉸鏈的自由端1 受力 F1x、F1y、F1z和力矩 M1x、M1y、M1z的共同作用。其受力分析如圖2所示。

圖1 直梁柔性球鉸的結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖2 直梁柔性球鉸受力分析

運(yùn)用卡氏定理，可以得到柔性球鉸自由端的變形的數(shù)學(xué)表達(dá)式

式中:

柔性球鉸結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為:

式中:Ua、Ubz、Uby、Ut分別表示軸向拉伸應(yīng)變能、對(duì)z軸的彎曲應(yīng)變能、對(duì)y軸的彎曲應(yīng)變能、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能，分別可以表示為:

式中:E為彈性模量，G為剪切彈性模量，I(x)為慣性矩，Ip為極慣性矩。Fx=F1x，My=M1y+F1zx，Mz=M1z+F1yx，Mx=M1x。

柔性球鉸的厚度t(x)可表示為:

柔性球鉸繞y軸的角變形與繞z軸的角變形，以及沿y軸線形變形與沿z軸線形變形計(jì)算方法相同，因此只推導(dǎo)鉸鏈繞z軸的角變形和沿y軸線形變形。

1.1 繞z、y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)柔度公式

繞z軸的偏轉(zhuǎn)角αz由兩部分組成:由力矩M1z作用產(chǎn)生的角變形和由力F1y作用產(chǎn)生的角變形。1點(diǎn)處產(chǎn)生繞z軸的偏轉(zhuǎn)角αz為:

在彎矩 M1z作用下柔性鉸鏈的柔度 Cαz－Mz為:

式中:

在力F1y作用下柔性鉸鏈的柔度為:

同理可得繞y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)的柔性公式為:

1.2 繞x軸方向的扭轉(zhuǎn)柔度

在轉(zhuǎn)矩M1x作用下，球鉸產(chǎn)生沿x軸的扭轉(zhuǎn)變形。其扭轉(zhuǎn)柔度為

1.3 沿y、z軸的平動(dòng)柔度

在彎矩M1z和外力F1y的作用下，彈性鉸鏈除了繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)外，還會(huì)沿y軸產(chǎn)生變形Δy。沿y軸的線變形Δy為:

力F1y作用產(chǎn)生線變形Δy，其柔度表達(dá)式為:

其中:f2、f3、f4為中間變量，其表達(dá)式為:

力矩M1Z作用產(chǎn)生角變形Δy，根據(jù)互等定理，其柔度表達(dá)式為:

1.4 沿x軸的平動(dòng)柔度

沿x軸的線變形是由力F1x作用產(chǎn)生的，即:

其柔度表達(dá)式為:

2 有限元驗(yàn)證

利用有限元分析軟件ANSYS10.0建立柔性球鉸的模型，如圖3所示。在柔性鉸鏈的左端進(jìn)行全約束，力Fx、Fy、Fz及力矩 Mx、My、Mz分別加載到右端5點(diǎn)處。單元類型為Solid45，有限元的實(shí)驗(yàn)參數(shù)為E=130 GPa、u=0.3、r=1 mm、l=3 mm。

圖3 有限元模型

柔性球鉸的有限元分析和解析計(jì)算部分結(jié)果比較如表1所示，由表中數(shù)據(jù)可知，有限元法和解析計(jì)算結(jié)果的偏差在16%以內(nèi)。

表1 有限元分析與解析計(jì)算部分結(jié)果的比較

3 性能分析

通過分析直梁型柔性球鉸柔度公式可知:所有的柔度參數(shù)都與彈性模量E成反比。柔度非線性決定于半徑r、長(zhǎng)度l及最小厚度t等參數(shù)。圖4—7中的基本參數(shù)是:l=8 mm、r=1 mm、t=1 mm、E=200 GPa。

圖 4 柔度 Cαz－Mz和 Cαx－Mx隨參數(shù) t的變化關(guān)系

圖5 柔度 Cαz－Fy和 Cy－Fy隨參數(shù) t的變化關(guān)系

圖6 柔度隨參數(shù)l的變化關(guān)系

圖 7 柔度 Cαz－Mz和 Cαx－Mx隨參數(shù) r變化關(guān)系

由圖 4—5 可以看出:柔性球鉸的柔度 Cαz－Mz、隨厚度t的增大而減小，當(dāng)t＞1.5 mm時(shí)對(duì)柔度影響較小;分析圖6可知:球鉸的柔度 Cαz－Fy、Cy－Fy隨l的增大而非線性增大，其中Cy－Fy變化最顯著，Cαz－Mz和 Cαx－Mx隨 l的增大而線性增大;從圖7可知:球鉸柔度隨半徑r增大而線性增大，但變化量不大。由分析可知，柔性鉸鏈各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)柔度的影響程度依次為:厚度t影響最大，其次為長(zhǎng)度l，再次是半徑r，最后為材料彈性模量E。

4 結(jié)論

以上根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)推導(dǎo)了直梁型柔性球鉸柔度計(jì)算公式，并利用有限元軟件ANSYS進(jìn)行了鉸鏈柔度校核，結(jié)果表明:有限元和與解析公式結(jié)果偏差在16%以內(nèi)，驗(yàn)證了理論解析公式的有效性。通過分析得知，柔性鉸鏈各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)柔度的影響程度依次為:厚度t影響最大，其次為長(zhǎng)度l，再次是半徑r，最后為材料彈性模量E。為柔性鉸鏈的工程設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

【1】左行勇，劉曉明．三種形狀柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的計(jì)算與分析［J］．儀器儀表學(xué)報(bào)，2006，27(12):1725 －1728．

【2】LOBONTIU N，GARCIA E．Analytical Model of Displacement Amplification and Stiffness Optimization for a Class of Flexure-based Compliant Mechanisms．Computer ＆ Stuctures，2003，81:2797 －2801．

【3】PAROS J M，WEISBORD L．How to Design Flexure Hinges［J］．Machine Design，1965，37(27):151 －156．

【4】吳鷹飛，周兆英．柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)計(jì)算［J］．工程力學(xué)，2002，19(6):136 －140．

【5】LOBONTIU N．Stiffness Characterization of Corner-filleted Flexure Hinges［J］．Review of Scientific Instruments，2004，75(11):4896 －4904．

【6】SMITH T S，BADAMI V G．Elliptical Flexure Hinges［J］．Review of Scientific Instruments，1997，68(3):1473 －1483．

【7】陳貴敏，劉小院．橢圓柔性鉸鏈的柔度計(jì)算［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(5):111 －115．

【8】曹鋒，焦宗夏．雙軸橢圓柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)計(jì)算［J］．工程力學(xué)，2007，24(4):178 －182．

【9】XU W，KING T G．Flexure Hinges for Piezo-actuator Displacement Amplifiers:Flexibility，Accuracy and Stress Considerations［J］．Precision Engineering，2002，19(1):4 －10．

【10】LOBONTIU N，PAINE J S N．Design of Circular Crosssection Corner-filleted Flexure Hinges for Three-dimensional Compliant Mechanisms［J］．Journal of Mechanical Design，2002，124(3):479 －484．

【11】侯文峰．雙軸矩形截面角圓形柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度分析［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010(9):15 －19．

【12】董為．基于大行程柔性鉸鏈的6自由度并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的研究［D］．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007:23－25．