一道高考函數題的解法及其推廣

江西省贛州市第一中學 彭小明 （郵編：341000）

2013年高考重慶卷文科數字第9題如下：

已知函數f（x）＝ax3＋bsinx＋4（a，b∈R），f（lg（log210））＝5，則f［lg（lg2）］＝ （ ）

A.－5 B.－1 C.3 D.4

解 因為lg［log210］＋lg（lg2）＝lg（log210×lg2）＝lg1＝0，且f（x）＋f（－x）＝8，

f（x）－4＝ax3＋bsinx為奇函數，所以f（lg［log210）］＋f［lg（lg2）］＝8，故選C.

評注 本題考查了形如g（x）＝f（x）－C（C為非零常數）為奇函數，求f（t）＋f（－t）的值，或已知f（t）的值求f（－t）的值的函數題型.關鍵求出f（t）＋f（－t）的值.

定理 若函數f（x）在定義域D（D關于原點對稱）內是奇函數，則在定義域D內任意的x都滿足f（－x）＋f（x）＝0，函數f（x）的圖象關于原點O（0，0）中心對稱，當函數f（x）的最值存在時，最大值與最小值的和為0.

推廣 若函數f（x）在定義域D（D關于原點對稱）內滿足f（x）－C是奇函數（C為非零常數），則在定義域D內任意的x都滿足f（－x）＋f（x）＝2C，函數f（x）的圖像關于點（0，C）中心對稱，當函數f（x）的最值存在時最大值與最小值的和為2C.

應用一 當函數f（x）－C是奇函數時，求f（t）＋f（－t）的值.

A.－1 B.0 C.1 D.2

解析 由f（x）＋f（－x）＝2，lg＝－lg2，得f（lg2）＋f（lg）＝2，答案：D.2 （2012年江西卷文數）已知f（x）＝sin2（x＋）若a＝f（lg5），b＝f（lg），則（ ）

A.a＋b＝0 B.a－b＝0

C.a＋b＝1 D.a－b＝1

解析 由f（x）＝sin2（x＋）＝，得f（x）＋f（－x）＝1，又lg＝－lg5，

所以a＋b＝f（lg5）＋f（lg）＝1故選C.

應用二 當函數f（x）－C是奇函數時，已知f（t）的值求f（－t）的值.

3 （2012年上海卷文數）已知y＝f（x）是奇函數，若g（x）＝f（x）＋2且g（1）＝1，則g（－1）＝________.

解析f（x）是奇函數，則g（x）＋g（－x）＝4，由g（1）＝1得g（－1）＝3，故填3.

4 （2012年上海卷理數）已知y＝f（x）＋x2是奇函數，且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，則g（－1）＝______.

解析 由y＝f（x）＋x2為奇函數且f（1）＝1，得f（1）＋12＋f（－1）＋（－1）2＝0，所以f（－1）＝－3，又g（x）＝f（x）＋2，得g（－1）＝f（－1）＋2＝－1，故填－1.

5 （2011年福建卷理數）對于函數f（x）＝asinx＋bx＋c（其中，a，b∈R，c∈Z），選取a、b、c的一組值計算f（1）和f（－1），所得出的正確結果一定不可能是（ ）

A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2

解析 因f（x）－c＝asinx＋bx為奇函數，所以f（x）＋f（－x）＝2c，又c∈Z，得f（1）＋f（－1）＝2c為偶數.故選D.

6 （2008年福建卷理數）函數f（x）＝x3＋sinx＋1（x∈R），若f（a）＝2，則f（－a）的值為（ ）

A.3 B.0 C.－1 D.－2

解析 由f（x）＋f（－x）＝2，f（a）＝2，得f（－a）＝0，故選B.

7 （2008年重慶卷理數）若定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x1，x2∈R有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，則下列說法一定正確的是（ ）

A.f（x）為奇函數

B.f（x）為偶函數

C.f（x）＋1為奇函數

D.f（x）＋1為偶函數

解析 令x1＝x2＝0得f（0）＝f（0）＋f（0）＋1，即f（0）＝－1；

令x1＝x，x2＝－x，則f（0）＝f（x）＋f（－x）＋1，所以f（x）＋f（－x）＝－2.故選C.

8 （2011年湖南卷文數）已知f（x）為奇函數，g（x）＝f（x）＋9，g（－2）＝ 3，則f（2）＝________.

解析 由g（x）＋g（－x）＝18，g（－2）＝3，得g（2）＝15＝f（2）＋9，f（2）＝6.故填6.

9 （2011年廣東卷文數）設函數f（x）＝x3cosx＋1若f（a）＝11，則f（－a）＝________.

解析 由f（x）＋f（－x）＝2，f（a）＝11，得f（－a）＝－9，故填－9.

應用三 當函數f（x）－C是奇函數且存在最值時，求最大值與最小值的和.

A.0 B.1 C.2 D.4

解析 由f（x）＋f（－x）＝4，得n＋m＝4，故選D.

解析 由f（x）＋f（－x）＝6，得M＋m＝6.

解析 由f（x）＋f（－x）＝4024，得M＋m＝4024.

15.若定義［－2012，2012］上的函數f（x）滿足：對于任意x1，x2∈ ［－2012，2012］有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）－2011，且當x＞0時有f（x）＞2011，f（x）的最大值、最小值分別為M、N，則M＋N的值為（ ）

A.2011 B.2012 C.4022 D.4024

解析 令x1＝x2＝0，f（0）＝2f（0）－2011，得f（0）＝2011.

令x1＝x，x2＝－x，f（0）＝f（x）＋f（－x）－2011，得f（x）＋f（－x）＝4022，故選C.

解析 由f（x）＋f（－x）＝4，函數f（x）在（－∞，0）上有最小值－5，則f（x）在（0，＋∞）上的最大值為9.