四邊形面積公式的向量表示及應用

安徽省靈璧縣第一中學 朱 勇 （郵編：234200）

高中數學必修5（北師大版）第48頁的例3告訴我們：在ΔABC中，其面積有向量表示式：

那么，對于任意四邊形的面積可否用向量表示呢？

如圖，在四邊形ABCD中，連AC、BD交于點O，設OA＝a、OB＝b、OC＝c、OD＝d，AC與BD夾角為α，則四邊形ABCD的面積為

即任意四邊形的面積等于兩條對角線的長及夾角正弦之積的一半，這表明當四邊形的兩條對角線的長及夾角一定時，雖然相應四邊形的形狀是不確定的，但其面積卻是定值，于是我們有如下結論：

在四邊形ABCD中，

證明 在四邊形ABCD中，構造向量、，設向量與的夾角為θ，則四邊形ABCD的面積為：

例1 （2013福建卷，理7）在四邊形ABCD中＝（1，2）＝（－4，2），則該四邊形的面積為（ ）

解 由上面的四邊形面積公式即得四邊形ABCD的面積為5，故選C.

文［2］借助兩個引理并通過伸縮變換求得結果，而利用上述四邊形面積公式則思路清晰，較易獲解.

解 如圖所示，由橢圓的幾何性質知，其內接平行四邊形ABCD的對角線的交點必為原點，且總有一組對邊所在直線的斜率是存在的（不妨設為AB邊）.

設A（x1，y1）、B（x2，y2），邊AB所在直線的方程為：y＝kx＋t則C（－x1，－y1），D（－x2，－y2），所以＝ （2x1，2y1）＝ （2x2，2y2）

（a2k2＋b2）x2＋2a2ktx2＋a2t2－a2b2＝0，

由根與系數的關系知：

于是由四邊形面積公式得平行四邊形ABCD的面積為：

當且僅當m＝即，亦即a2k2＋b2＝2t2時取等號.

故橢圓內接平行四邊形的最大面積為2ab.

1 編寫組數學5（必修）［M］.普通高中課程標準試驗教科書（北師大版）（48）

2 楊先義.數學問題解答［J］數學通報，2013，2，64