注重過程和方法 落實課程目標——一道2013年連云港數學中考試題的教學啟發

江蘇省金湖縣實驗中學 高 峰 （郵編：211600）

數學在培養人的思維能力和創新能力上具有不可替代的作用.這種育人價值具體體現在：學習用數學的觀點審視客觀世界，用數學思想方法自然合理地思考問題，我們稱之為數學的思維方式.具體的知識容易遺忘，但是這些認知能力的形成，影響著人的一生，從這種意義上說，相比具體的知識和技能等基礎性目標，學會用數學的思維方式自然地思考問題具有更高的教育價值，這也是數學教學應該追求的高階目標.那么如何讓學生學會數學的思維方式呢？中考對教師教學方式和學生學習方式具有引領作用.研究中考題有利于教師的教學觀念的更新，對教學實踐具有良好的借鑒和導向作用.下面就通過一道中考試題來管窺一下這個問題.

1 試題呈現

題目 （2013江蘇連云港中考卷）小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：

問題情景 如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為DC邊的中點，連結AE并延長交BC的延長線于點F.求證：S四邊形ABCD＝S△ABF.（S表示面積）

問題遷移 如圖2，在已知銳角∠AOB內有一定點P.過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N.小明將直線MN繞點P旋轉的過程中發現，△MON的面積存在最小值.請問當直線MN在什么位置時，△MON的面積最小，并說明理由.

實際應用 如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發生疫情，防疫部門計劃以公路OA、OB和經過防疫站P的一條直線MN為隔離線，建立一個面積最小的三角形隔離區△MON.若測得∠AOB＝60°，∠POB＝30°，OP＝4km，試求 △MON的面積.（結果精確到0.1km2）（參考數據：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，≈1.73）.

2 試題分析

1 試題結構

“問題情境”涉及的圖形是蘇科版八、九年級教材中研究梯形中位線的一個“基本圖形”，即如何將梯形轉化為三角形.這是一個教材中被挖掘最多的素材，其中研究與面積有關的問題也是常見的問題.“問題遷移”與“問題情境”相比，表象發生了很大的變化，似乎兩者沒有什么聯系，但是本質不變，大膽類比、猜想，不難發現結論，但要說明道理，就要對新的問題情景認真分析、觸類旁通、靈活轉化，才能找到解題的切入點，考查了學生轉換和歸納推理的能力，有一定的難度.“實際應用”實際就是以“問題情境”的結論為載體，直接應用，思維并不復雜.“拓展延伸”實際是要求應用從“問題情境”到“問題遷移”獲得經驗并進行應用，這需要去充分消化、吸收這些經驗去尋找解決問題的突破口，考查了學生學習和用新知識的能力.

2 思路分析

“問題情境”是一個熟悉的問題，通過對它的解決，一是激發化歸經驗，二是要自覺地把它作為一個“模型”.

“問題遷移”可先從特殊情形入手，這時最易想到的應該是OP與MN垂直和P是MN的中點，但思考證明是難點，即證明其它的情形得到面積都比它小，是一個不常見的證明方法，這里涉及合情推理和演繹推理.在證明時需要思考如何將“問題遷移”的圖形轉化為“問題情境”的圖形（如圖5），利用“問題情境”的模型解決問題，其中的關鍵是挖掘一個隱含條件——P是MN的中點.

“實際應用”的圖形與“問題遷移”圖形一致，直接類比應用，但是在求面積時要求高和底，需要通過作垂線，將一般三角形轉化為直角三角形和相似三角形等來解決問題（如圖6），其中融合了三角形中位線、三角函數、相似三角形等知識.

“拓展延伸”要學會自覺地運用前面的解題經驗，首先通過操作可以發現，直線l的位置有兩種.這時涉及的兩個圖形都是四邊形，而前面“問題情境”的圖形是四邊形，要求的面積是最大值，而“問題遷移”的涉及是三角形的面積是最小值，這時只需要把四邊形轉化為三角形，“最大問題”轉化為“最小問題”.由于原四邊形面積一定，所以要其中一個最大，只需另一個最小即可（如圖7和圖8）.

3 教學啟示

本題以學生熟悉的問題為背景，以操作探究的形式將問題遞進，進而達成知識的應用，實現知識和信息的遷移和發展，凸現了對學習自主探究、歸納推理和應用能力的考查.問題解決的過程中，能有效地促進思維方式的形成.

3.1 注重“思維套路”

數學教育在學校育人的過程中具有獨特的作用，其主要體現在開發學生的智力，鍛煉學生的邏輯思維，使學生學會認識問題和解決問題的基本方法，并在這個過程中提高推理能力，培育理性精神和創造力.而要實現這個目標的基本途徑就是使學生在認識數學的基本方法的同時，學會數學地思考和解決問題.而要達到這一點，必須把握數學地認識和解決問題的“基本套路”.本題充分體現了數學地認識和解決幾何問題的一個“基本套路”，即思維方式.

追尋本題的命題思路：“問題情境”給出了一個“基本圖形”并要求探究它的性質，這與平時探究三角形、四邊形等“基本圖形”的性質是一致的.“問題遷移”只需在新問題的圖形中去尋找或構造出“問題情境”的“基本圖形”，然后利用這個“基本圖形”的性質即可解決問題，這與平時運用三角形、四邊形等圖形解決問題的思路一致.“實際應用”和“拓展延伸”只需利用在解決“問題遷移”中所獲得的經驗來解決問題，即構造出“問題遷移”的“基本圖形”即可解決問題.

解決幾何問題的一個“基本套路”就是：首先要認真分析條件，而分析條件就是將條件與相關“基本圖形”結合起來，利用這個“基本圖形”的性質，獲得相應的結論.有時圖形中不一定有與條件匹配的“基本圖形”，這時還需聯想相關知識作輔助線構造出相關的“基本圖形”，再利用這個“基本圖形”的性質，獲得相應的結論，從而達到解決問題的目的.本題綜合考查學生對“數學整體認識及研究數學問題的方法”和“形成解決問題的一些基本策略”的能力，這是“數學”的方法，體現繼續學習的潛能.

這個“基本套路”還體現了提煉模型，應用模型的過程，這個過程有利于學會遷移知識和方法，形成應用意識.數學模型實質是一個數學問題在剔除無關信息后的本質特征，識別、提煉基本模型，以模解題，能有效地溝通相關問題情境，有效地促進解題過程中知識、方法的正向遷移，打破思維定勢，化陌生為熟悉，化非常規為常規，有助于體驗數學基本經驗在解決實際問題中的價值和作用，強化應用意識.

3.2 把握問題設計

《義務教育數學課程標準（2011版）》提出“四基”，其中“基本活動經驗”作為一項新目標，學生從事數學與綜合實踐活動的過程也漸趨走進命題者視野，頗受命題者的青睞.往往通過設計一個“做數學”和“玩數學”的活動，讓學生通過觀察、操作、實驗、歸納、類比等系列活動獲得數學猜想，尋求解釋猜想的合理性并運用提煉的結論解決現實問題，它是學生形成數學思維方式的有效過程.

基于此，我們在設計問題時，要多角度、全方位挖掘已選素材的潛力，實現各個問題的承載功能，因此問題的創設要具有得體性和關聯性，便于學生在解決過程中，汲取多層面的外在顯性知識（如學會某種運算、能畫出某種圖形、獲得某種數量關系、獲得某種數學思想……）和潛滋暗長的多元生命感悟以及起著統領全局作用的內隱知識（數學思想）.同時得體性和關聯性還指問題設置要由淺入深，呈梯度推進，便于學生思維夠得著、可實驗，前面的問題為后繼思維提供必備的基礎，待猜想問題一旦得到驗證，即可解釋前面問題操作的合理性.

本題的第（1）問源自課本，解決方法立足通法——三角形全等，對后繼問題的解決起著心理、知識和方法的鋪墊作用.第（2）問前面部分進行合理猜想獲取結論，后面說理部分，命題者暗示了借助第（1）問的結論引申探究，提醒關注知識的生長點和延伸點，處理好局部和整體的關系，弄清楚其中所蘊涵的數學本質，為第（2）、（3）的有效解決提供知識儲備.本題陳述簡明，圖形簡約，構造巧妙，問題前后設計逐層遞進，思維引導拾級而上.

3.3 注意體現過程

數學課程目標包括結果目標和過程目標，而所有這些目標的達成都源于問題，而問題的解決則在于對“過程”的思考.就價值引領而言，過程比結果更重要，因為結果僅是產物，而過程卻是數學創造的源泉.本題的過程性主要體現在對△MON的面積何時最小的獲得和應用過程，其中伴隨著問題解決的全過程（發現和提出問題、分析和解決問題）.事實上，輔助線的添加過程就是問題解決過程，由于學生添加輔助線的能力較弱，因此不能準確切入，造成思維的斷層和問題的擱淺.

“問題遷移”環節，在直觀幾何的幫助下，以直線MN旋轉到普通位置為中介，過點M做射線OB的平行線即可獲得△MON的面積最小的直觀理解和理性解釋.“實際應用”環節，過點M、P分別作射線OB的垂線，構造直角三角形，在“問題遷移”結論的幫助下，借助直角三角形獲取待求結論.“拓展延伸”環節，在分類思想的統領下，借助已經積累的實踐經驗，在比較法的參與下，間接獲取截得四邊形面積的最大值為10.

3.4 問題要關注核心

本題并非是解題方法和技巧的機械運用，而是巧妙考查了學生的化歸思想、建模思想、分類思想、方程與函數思想等，強化了對數學理性思維能力要求，展現了數學的學科價值和人文價值.

“基本思想方法、基本活動經驗”是《義務教育數學課程標準（2011版）》新增的課程目標，將原來的“雙基”發展為“四基”.本題的考查都是從數學思想方法的視角進行考查，要使得問題得到解決，可歸結于學生的基本經驗.在解決問題的過程中也充分體現了課標中提到的10個核心詞.

在求證S四邊形ABCD＝S△ABF的結論時，實際上是將四邊形的面積轉化為三角形面積.在解題教學的過程中，我們常常要將四邊形問題轉化為三角形問題、將一般問題轉化為特殊問題、將復雜問題轉化為簡單問題，借助已經獲得的經驗才能解決問題.

“問題情境”到“問題遷移”通過P是MN的中點這一線索，把“問題遷移”進行轉化利用“問題情境”的結論和方法進行求解.而“實際應用”和“拓展延伸”都是直接利用或間接利用“問題遷移”的結論進求解.解決問題的過程中，是把四個問題看作一個整體，通過尋找它們之間的聯系，進行類比、轉化、遷移，充分體現了“數學整體認識及研究數學問題的方法”和“形成解決問題的一些基本策略”的課標理念，這是“數學”的方法，是重要的思維方式，體現繼續學習的潛能.