利用虛擬衛(wèi)星法求解火星探測(cè)器近火點(diǎn)制動(dòng)策略

劉 玥，荊武興

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天工程系，150001 哈爾濱)

從上個(gè)世紀(jì)60年代開始，火星逐漸成為了太陽系內(nèi)除月球之外最吸引各國(guó)學(xué)者研究的天體之一.最近的幾年，歐洲和美國(guó)先后發(fā)射了多顆火星探測(cè)器，在全球又掀起了新一輪的火星探測(cè)競(jìng)賽，中國(guó)、印度等國(guó)家也相繼提出了自己的火星探測(cè)計(jì)劃.火星是太陽系內(nèi)與地球最相似的行星之一，但其質(zhì)量較小，引力系數(shù)只有地球的10.7%，因此火星表面逃逸速度也只有不到5 km/s.傳統(tǒng)的火星探測(cè)方式使用Hohmann 過渡的方法將探測(cè)器發(fā)射至火星附近，其雙曲進(jìn)入軌道剩余速度達(dá)到了2.8 km/s 以上，探測(cè)器必須克服這一剩余速度使自身成為火星衛(wèi)星［1－3］.若如此，則需要發(fā)動(dòng)機(jī)長(zhǎng)時(shí)間開機(jī)進(jìn)行制動(dòng)，很大一部分燃料將消耗在制動(dòng)過程中［4－5］.另外，火星探測(cè)任務(wù)需要預(yù)定的工作軌道，制動(dòng)過程應(yīng)盡量將飛行器精確送入預(yù)定工作軌道，否則還將進(jìn)行復(fù)雜的變軌過程，進(jìn)一步消耗燃料.為此，需要優(yōu)化近火點(diǎn)制動(dòng)推力策略，在節(jié)約探測(cè)器燃料的同時(shí)，使探測(cè)器精確進(jìn)入目標(biāo)軌道，提高了探測(cè)器在軌壽命，使后續(xù)任務(wù)得以順利完成［6－7］.

火星探測(cè)器近火點(diǎn)制動(dòng)問題可以歸結(jié)為1 個(gè)兩點(diǎn)邊值最優(yōu)控制問題，對(duì)于此類問題的解決，一般采用極大值原理.極大值原理的實(shí)質(zhì)是求取1 個(gè)控制策略，使系統(tǒng)的Hamilton 函數(shù)達(dá)到極大值，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以精確求取連續(xù)時(shí)間內(nèi)的最優(yōu)控制策略［8－9］.在軌道控制方面，極大值原理被廣泛應(yīng)用于燃料、能量最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移、軌道修正與保持，交會(huì)對(duì)接等軌道控制任務(wù)中［10－12］.但是其極大值原理存在一些問題，就是需要計(jì)算共軛變量，并且共軛變量的初值需要猜測(cè)和迭代計(jì)算.由于其沒有具體的物理意義，共軛變量初值的猜測(cè)往往很困難，容易造成迭代不收斂，降低了極大值原理求解問題的效率.

本文利用虛擬衛(wèi)星方法，以最省燃料為優(yōu)化指標(biāo)，求解火星探測(cè)器近火點(diǎn)制動(dòng)的推力策略，并且在使用極大值原理求解兩點(diǎn)邊值問題時(shí)，將共軛變量轉(zhuǎn)化為有實(shí)際物理意義的變量進(jìn)行猜測(cè)，使得迭代初值的選取變得簡(jiǎn)單［13］.計(jì)算結(jié)果顯示，該策略可以在最省燃料的條件下將探測(cè)器精確送入預(yù)定工作軌道，并且邊界條件非常簡(jiǎn)單，迭代易于收斂.

1 虛擬衛(wèi)星法原理與模型

本文使用虛擬衛(wèi)星法求解最優(yōu)制動(dòng)策略.如圖1 所示，軌道I 為探測(cè)器初始軌道，S 為探測(cè)器，軌道II 為目標(biāo)軌道.假設(shè)軌道II 是1 顆虛擬衛(wèi)星S1運(yùn)動(dòng)形成的1 條軌道，為了使探測(cè)器轉(zhuǎn)移到目標(biāo)軌道，只需要求解控制策略，使S 與S1的相對(duì)位置和速度均為0 即可.此方法稱為虛擬衛(wèi)星法［14-17］.

圖1 虛擬衛(wèi)星法示意

圖1 中，建立交會(huì)坐標(biāo)系S1-xy，以S1為坐標(biāo)原點(diǎn)，S1-y 軸指向火心，S1-x 軸垂直于y 軸并指向前進(jìn)方向，由于變軌時(shí)間只有數(shù)十分鐘，所以可忽略攝動(dòng)力的影響，S 和S1的動(dòng)力學(xué)方程分別為

其中:R、r 分別為S1和S 相對(duì)于火心的位置;μm為火星的萬有引力常數(shù);F 為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;m 為探測(cè)器總質(zhì)量.

假設(shè)S1的真近點(diǎn)角為θ1，與x 軸同向的單位向量為I，與y 軸同向的單位向量為J，S 相對(duì)于S1的位置矢量為ρ，S 在S1-xy 系中的坐標(biāo)為(x，y)，則有如下關(guān)系:

由旋轉(zhuǎn)矢量的微分公式

將R=-RJ 帶入得到分量形式的動(dòng)力學(xué)方程

式中Fx、Fy為推力F 的分量，eI、pI、hI分別是目標(biāo)偏心率、目標(biāo)半正焦弦和目標(biāo)軌道角動(dòng)量.

此模型的優(yōu)越性在于終端條件極其簡(jiǎn)單，因?yàn)樘綔y(cè)器與虛擬衛(wèi)星的終端相對(duì)位置和速度只需為零.

2 探測(cè)器狀態(tài)方程

假設(shè)在［t0，tf］內(nèi)發(fā)動(dòng)機(jī)持續(xù)工作，探測(cè)器質(zhì)量變化即成為已知函數(shù)

探測(cè)器動(dòng)力學(xué)方程可以用狀態(tài)方程的形式表達(dá)如下:

下面推導(dǎo)初始狀態(tài)與真近角的關(guān)系.設(shè)A 點(diǎn)在初始軌道上對(duì)應(yīng)的真近角為Ω，在目標(biāo)軌道上對(duì)應(yīng)的真近點(diǎn)角為ΩI，點(diǎn)火初始時(shí)刻，探測(cè)器的真近角為θ(t0)，虛擬衛(wèi)星的真近角為θI(t0)，令

稱α 為點(diǎn)火角，順軌道測(cè)量為正.不難得到

設(shè)真實(shí)衛(wèi)星和虛擬衛(wèi)星的飛行路徑角分別為γ 和γI，則在S1-xy 坐標(biāo)系上

利用如下關(guān)系:

得到相對(duì)速度的表達(dá)式

其中e，p，h 分別為軌道I 的偏心率、半正焦弦和軌道角動(dòng)量;eI，pI，hI分別為軌道II 的偏心率、半正焦弦和軌道角動(dòng)量;σ=θI-ΩI+Ω，ωI=hI/R2.

以上兩組式子確定了真近角與探測(cè)器的初始狀態(tài)之間的關(guān)系，任意確定一組出事的θ，θI，即可確定唯一與之對(duì)應(yīng)的一組初始狀態(tài)x，y，，.

3 最省燃料推力方向

最省燃料控制問題可表述為:求取合適的X(t0)，V(t0)，θI(t0)和推力方向策略u(píng)(t)，使得系統(tǒng)在t=tf時(shí)，X(tf)=V(tf)=0，θI無約束.且使最優(yōu)指標(biāo)

達(dá)到最大值.由Pontryagin 極大值原理，此指標(biāo)極大與探測(cè)器剩余燃料質(zhì)量極大是等價(jià)的.

當(dāng)X(t0)，V(t0)，θI(t0)均為給定值時(shí)，上述最優(yōu)控制問題即為1 個(gè)兩點(diǎn)邊值問題，但是其初值是由探測(cè)器與虛擬衛(wèi)星的真近點(diǎn)角θ 和θI共同確定的，而事實(shí)上，探測(cè)器初始點(diǎn)火位置的選擇是任意的，即初始真近點(diǎn)角θ 可以取任意值，而虛擬衛(wèi)星初始位置同樣可以任取.所以，最優(yōu)指標(biāo)可以表達(dá)為

θ(t0)，θI(t0)允許在(-π，π)上變動(dòng)，于是求解上述問題將分為兩部分，最優(yōu)控制的求取與參數(shù)優(yōu)化，應(yīng)用極大值原理，可以將其統(tǒng)一為1 個(gè)參數(shù)優(yōu)化問題.

系統(tǒng)的Hamilton 函數(shù)定義為

其中λx，λv，λθI分別為X，V，θI的共軛狀態(tài).

由Pontryagin 極大值原理，求解的推力矢量方向u(t)應(yīng)使Hamilton 函數(shù)H 達(dá)到極大，可得

可見，速度共軛矢量λv的方向可以決定最優(yōu)推力方向.

系統(tǒng)協(xié)狀態(tài)方程如下:

如果已知θ(t0)，θI(t0)，λx(t0)，λv(t0)，λθI(t0)，則最優(yōu)推力矢量方向u(t)就可以唯一確定，因此只需求解參數(shù)優(yōu)化問題即可解決上述最優(yōu)控制問題.

4 橫截條件與迭代變量的選擇

前一節(jié)指出，需要確定5 個(gè)參數(shù)即可求出最優(yōu)推力方向，其中θ(t0)，θI(t0)具有實(shí)際的物理意義，但是另外3 個(gè)參量沒有實(shí)際意義，很難猜測(cè)初始值，這是Pontryagin 極大值原理固有的缺陷，下面將給出在本文背景下解決此缺陷的方法.

由前文可知，只要已知x，θI，另外的初始狀態(tài)就可以確定，因此這些初始狀態(tài)并不是相互獨(dú)立的，還應(yīng)存在3 個(gè)約束條件.由式(2)，Δα 可表示為θI和x 的函數(shù)，從式(1)和(2)可以得出3 個(gè)初始狀態(tài)約束條件:

終端條件為

由上述條件，根據(jù)變分法原理，可以得到共軛協(xié)狀態(tài)的初始和終端條件為

其中k1，k2，k3為待定拉格朗日乘子.則共軛變量初值的猜測(cè)可轉(zhuǎn)化為對(duì)拉格朗日乘子初值的猜測(cè)，但這些變量初值仍然難以猜測(cè)，所以要進(jìn)一步分析.

由式(4)、(7)可以看出，k2，k3與初始推力方向有如下關(guān)系:

如用推力仰角φ 表示U(規(guī)定推力方向與oy軸成銳角時(shí)為負(fù))，則

如果不考慮質(zhì)量變化，由極大值原理，在初始時(shí)刻應(yīng)有‖λv(t0)‖=1，實(shí)驗(yàn)證實(shí)，考慮質(zhì)量變化時(shí)將有較小的變化，一般不超過± 1，所以‖λv(t0)‖和具有物理意義的推力仰角初值φ 可以代替k2，k3作為迭代初值.

由式(5)可得

由于ωI的數(shù)值比較小，代入?yún)f(xié)狀態(tài)的表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，推力方向變化率的初始值主要由k1決定，一般來說，希望推力方向(與λv(t0)有關(guān))變化較平穩(wěn)，所以可取k1≈0 作為初始猜測(cè).

綜上所述，迭代變量的初始猜測(cè)值可選擇為θ(t0)，θI(t0)，φ，‖λv(t0)‖和k1.

在最優(yōu)軌跡末端，哈密頓函數(shù)應(yīng)滿足:H(tf)=0，由式(3)、(6)、(7)可得到‖λv(tf)‖=1.至此可以看出，5 個(gè)迭代變量有3 個(gè)是具有實(shí)際意義的量，另外兩個(gè)可以有較為確定的猜測(cè)值，為迭代算法的收斂性打下了良好的基礎(chǔ).

5 仿真算例分析

考慮火星探測(cè)器初始質(zhì)量為500 kg，攜帶490 N 發(fā)動(dòng)機(jī)一臺(tái)，比沖為290 s.假設(shè)探測(cè)器預(yù)定工作軌道為一共面橢圓軌道，近火點(diǎn)高度為300 km，偏心率為0.5.迭代初值選擇如表1 所示.

表1 迭代初值選擇

圖2 迭代殘差變化

迭代最終結(jié)果顯示，發(fā)動(dòng)機(jī)工作1 253 s，探測(cè)器質(zhì)量m，真近角θ，虛擬衛(wèi)星真近角θI，探測(cè)器軌道偏心率e 和近火點(diǎn)高度Hp的計(jì)算結(jié)果列于表2.

表2 計(jì)算結(jié)果

真實(shí)衛(wèi)星與虛擬衛(wèi)星的終端位置誤差為0.37 m，速度誤差約為10－3m/s.可見，使用本文中的算法可以達(dá)到將探測(cè)器一次精確送入工作軌道的目的.推力仰角隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖3 所示，探測(cè)器與虛擬衛(wèi)星在慣性系下的軌跡如圖4所示.

圖3 推力仰角變化規(guī)律

圖4 探測(cè)器飛行軌跡

由圖3 可以看到，發(fā)動(dòng)機(jī)推力仰角隨時(shí)間的變化近似為線性的，變軌過程中姿態(tài)控制比較容易.由圖4 可以看到，探測(cè)器在最優(yōu)推力的控制下，其軌跡最終與虛擬衛(wèi)星軌跡重合，兩者實(shí)現(xiàn)了軟交會(huì)，即完成了精確入軌過程.

綜上所述，利用虛擬衛(wèi)星法求解火星探測(cè)器近火點(diǎn)制動(dòng)推力策略是可行的.在實(shí)際計(jì)算過程中，如果考慮各種攝動(dòng)因素，如大型天體引力攝動(dòng)，火星非球形攝動(dòng)等，結(jié)果的收斂性也很好，迭代均能在10 次以內(nèi)收斂，說明該方法對(duì)于模型的誤差有一定的魯棒性.但是，此方法仍然有局限性.例如，由于假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)一直開機(jī)，所以一般情況下，該方法只能處理1 次入軌的情況，若要處理多次入軌的情況，則需要設(shè)定一些過渡軌道，多次變軌，其間分別使用虛擬衛(wèi)星方法;另外，虛擬衛(wèi)星方法的收斂性與發(fā)動(dòng)機(jī)推進(jìn)效果相關(guān)，若換裝更小推力的發(fā)動(dòng)機(jī)，或者增加飛行器的初始質(zhì)量，則會(huì)導(dǎo)致制動(dòng)時(shí)間增加、收斂范圍變小.經(jīng)大量仿真驗(yàn)證，對(duì)于本文中所使用的490 N 發(fā)動(dòng)機(jī)，虛擬衛(wèi)星方法可以滿足初始質(zhì)量在1 200 kg 以內(nèi)的飛行器進(jìn)行近火點(diǎn)制動(dòng)，且迭代收斂性較好.

5 結(jié)論

本文利用虛擬衛(wèi)星法設(shè)計(jì)火星探測(cè)器近火點(diǎn)制動(dòng)的最優(yōu)推力方向策略.采用Pontryagin 極大值原理求取燃料最優(yōu)指標(biāo)下的最優(yōu)推力方向，并且給出了協(xié)狀態(tài)的選擇方法以使迭代易于收斂.通過優(yōu)化的制動(dòng)策略使真實(shí)衛(wèi)星與虛擬衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)“軟交會(huì)”，達(dá)到精確制動(dòng)入軌的目的.所選用的虛擬衛(wèi)星方法收斂性好，對(duì)模型具有一定的魯棒性，對(duì)迭代初值不敏感，可以適用于一般的常規(guī)推力近心點(diǎn)制動(dòng)任務(wù).

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