超混沌Lorenz系統與超混沌Rossler系統的異結構同步

□蔣 楠

(山西廣播電視大學，山西 太原 030027)

引言

最近幾年，人們掀起了超混沌系統異結構同步研究的熱潮，其中4維不同超混沌系統之間的同步問題已經成為研究者關注的一個重要研究方向。在保密通訊應用中，由于高維非線性動力系統中通常會產生超混沌現象，即同時存在2個或2個以上的正的Lyapunov指數，故其保密性和抗破譯性有了很大的改觀，因此研究超混沌系統的異結構同步具有很重要的價值。

Rssler給出了超混沌的概念，并提出了超混沌Rossler系統。經典Lorenz系統通過設計非線性狀態反饋控制器使之產生了超混沌行為。文獻［5］通過引入坐標變換分析了投影同步的產生機理，實現了單向耦合超混沌Lorenz系統的投影同步，文獻［6］采用自適應同步方法，實現了4個不確定參數的超混沌Lorenz系統的同步。以上文獻集中討論了兩系統的參數和動力學方程相同條件下，超混沌系統的同步。而在實際應用中，受噪聲和系統硬件等方面的影響，幾乎不存在兩個參數完全相同的系統。文獻［7］實現了參數全部未知的情況下，Lorenz系統與Rossler系統的主動與自適應同步。文獻［8］研究了超混沌Rossler系統和超混沌Lorenz系統的全狀態混合投影同步。以上工作均沒有實現在參數不確定的情況下，超混沌系統的異結構同步問題。本文基于Lyapunov穩定性理論，實現了在參數全部未知情況下，超混沌Lorenz系統和超混沌Rossler系統的主動與自適應同步，并用Matlab6．5軟件進行數值模擬，仿真結果表明該方法的有效性。

一、超混沌Lorenz系統與超混沌Rossler系統的主動同步

為了實現超混沌Lorenz系統與超混沌Rossler系統的主動同步，選取超混沌Rossler系統為驅動系統:

以超混沌Lorenz系統為響應系統:

式(2)中 u1，u2，u3，u4為控制函數，以實現驅動系統系統(1)與響應系統(2)的同步，由(2)減(1)得到誤差系統

由此將超混沌系統的主動同步轉化為誤差系統(3)在零點的穩定性問題。式中ei=yi-xi，定義非線性反饋控制函數如下:

將(4)代入(3)中，得到誤差系統

誤差系統(5)是一個線性系統，V1，V2，V3，V4為誤差狀態e1，e2，e3，e4的控制輸入函數，能起到鎮定系統的作用，當t→∞時，e1，e2，e3，e4收斂于 0，這就說明驅動系統與響應系統達到了主動同步。對于 V1，V2，V3，V4有多種選擇，若

式中:A為4×4常數矩陣，為了使閉環系統穩定，若選擇矩陣A為以下形式:

則反饋系統(5)的特征值為-1，-1，-1，-1，這種情況下，當 t→∞時，誤差狀態 e1，e2，e3，e4收斂到 0，這就意味著超混沌Lorenz系統與超混沌Rossler系統達到主動同步。

二、超混沌Lorenz系統與超混沌Rossler系統的自適應同步

自適應同步方法是在參數未知或者系統不確定，或受外界噪音、隨機擾動影響下，設計合理的自適應控制函數。在系統運行過程中，發現問題并且提取相關信息，使系統模型逐步優化完善，從而達到所預期的控制目標。因此自適應同步方法具有廣泛適用性。

如果超混沌Lorenz系統與超混沌Rossler系統之間的誤差ei(i=1，2，3，4)隨時間的變化逐漸趨于零，則兩系統達到同步。假設系統參數 a1，b1，c1，d1，r1，a，c，d 全部未知，由響應系統(2)減去驅動系統(1)得到誤差動力系統(3)。

定理1:任意初始條件下，若選擇參數自適應率β=ke4(k為常數)和反饋控制函數u(x)為:

則驅動系統(1)和響應系統(2)達到全局漸進同步。

證明:將反饋控制函數(6)代入誤差動力系統(3)中，則誤差系統為:

構造Lyapunov函數

則此函數沿著誤差系統的全導數為:

如果a1＞0，c1＜0，d＞0，k＜0，則全導數˙v≤0。根據Lyapunov穩定性理論，誤差動力系統一致漸進趨于原點。因此在參數自適應率與非線性反饋控制函數的調控下，超混沌Lorenz系統與超混沌Rossler系統達到自適應同步。

三、運用Matlab6．5進行數值模擬

運用Matlab6．5編程，采用步長為0．001的四階Runge-Kutta法進行仿真。當參數值 a=0．25，b=3，c=0．5，d=0．05，a1=35，b1=7，c1=12，d1=3，r1=5 時，兩系統同時達到混沌。當時間 t=10s，取初值 x1(0)=3，x2(0)=-4，x3(0)=2，y1(0)=-3，y2(0)=4，y3(0)=-2，y4(0)=-2，e(0)=［-5，4，-7，2］，得到誤差 e1，e2，e3，e4隨時間變化迅速趨于零的圖像，表明超混沌Lorenz系統和超混沌Rossler系統達到主動同步。

圖1 參數全部未知的主動同步誤差圖

圖2 采用自適應方法(一)的同步誤差圖

從方程(7)出發，選取初值 e(0)=［-8，4，1，2］時，超混沌Lorenz系統和超混沌Rossler系統的異結構自適應同步的數值仿真見圖2。

結論

本文研究了超混沌Lorenz系統與超混沌Rossler系統的主動同步與自適應同步問題。首先從理論上構造了超混沌誤差系統，通過設計合適的控制函數與參數自適應率，使得驅動系統與響應系統達到同步，采用Lyapunov函數理論來判據同步誤差系統的穩定性，同時利用Matlab6．5軟件對其進行了數值模擬仿真，從而判定了在參數全部未知的情況下，兩個超混純系統的異結構同步，其保密性和抗破譯性更強。因此超混純系統的異結構混純同步可望在保密通訊應用中大顯身手。兩個超混沌系統達到同步。

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［7］蔣楠，魏毅強．Lorenz系統與Rossler系統的異結構同步［J］．動力學與控制學報，2011，(2):131-134．

［8］張群嬌．超混沌Rssler系統和超混沌Lorenz系統的全狀態混合投影同步［J］．動力學與控制學報，2009，(2):148-152．