具有時滯和階段結構的捕食系統的分析

崔 信

（晉中職業技術學院，山西 晉中030600）

自從Aiello和Freedman建立了具有階段結構的種群模型［1］之后，具有階段結構的生物模型受到眾多學者的重視［2－3］。文獻［4］討論了文獻［3］對應的自治系統的一致持久性及具有無限時滯的階段結構模型的持久性；文獻［5－6］討論了食餌和捕食者都具有階段結構的周期捕食系統的一致持久性和正周期解的存在性；文獻［7］研究了食餌具有階段結構和捕食者具有消化時滯τ的階段結構捕食模型的全局穩定性和永久持續生存。上述文獻中考慮的出生率都是關于種群密度的線性函數，而考慮非線性出生率的種群模型研究較少［8］。本文在文獻［8］基礎上，考慮食餌種群具有階段結構及非線性出生率，而捕食者種群僅捕食幼年食餌。我們建立模型如下：

其中：x1（t），x2（t）分別是食餌種群的幼年種群和成年種群的密度函數，y（t）是捕食者種群的密度函數。模型（1）的建立基于下列基本假設：

（H1）食餌種群：幼年食餌種群具有非線性出生率p／（q＋x1），幼年體食餌的死亡率為d1，幼體向成體的轉化率為δ，成體食餌的死亡率d2．

（H2）捕食者種群：假定這里捕食者只捕食幼年食餌，捕食者的生存依賴于幼年種群的生存狀況。捕食者的死亡率為d3，消耗率為β，捕食者種群并不及時繁殖，而是經過一段消化時間τ之后才繁殖。參數p，q，d1，d2，d3，δ，β都是正常數。

系統（1）的初始條件為：

其中，φi（t）（i＝1，2，3）是［－τ，0］上的非負連續函數。

1 預備知識

易知系統（1）滿足初始條件（2）的解具有正性。我們首先討論解的有界性。

定理1 當存在常數M1＞0，M2＞0，使得系統（1）－（2）的任一解 （x1（t），x2（t），x3（t）），當t充分大時，滿足x1（t）＜M1，x2（t）＜M1，y（t）＜M2。

證明 首先考察系統（1）缺少捕食者種群的子系統

這里系統滿足初始條件x1（0）＞0，x2（0）＞0．

記V（t）＝x1＋x2．把方程（3）兩邊同時相加可得：

從（4）式易知，存在M1＞0，對所有的t＞0有0＜V（t）＜M1．由解的正性可知0＜x1（t），x2（t）＜M1．

下面考慮函數W（t）＝x1（t－τ）＋y（t）．計算W沿系統（1）的解的導數，得到

從（5）式知，存在正數M2，當t充分大時，有0＜W（t）＜M2，從而有y（t）＜M2．定理得證。

2 局部穩定性與周期解

系統（1）總存在平衡點E0（0，0，0）．

0不穩定；

0近穩定。

31界平衡點是不穩定的；ii．當d3＜βxˉ1時，平衡點E1是局部漸近穩定的。

證明 1）系統（1）在平衡點E0（0，0，0）處的特征方程為

易見，當pδ＞qd2（d1＋δ）時，E0（0，0，0）是一鞍點；當pδ＜qd2（d1＋δ）時，平衡點E0（0，0，0）局部漸近穩定。

存在兩個根λ2＜0，λ3＜0，另一個特征根λ1由λ＋d3－exp（－λτ）＝0的解給出。

i．當d3＞時，注意到y＝λ和y＝的圖形必須相交于λ的一個正值，因此平衡點E1是不穩定的。

ii．當d3＜時，方程0的解λ1＜0．因此平衡點E1是局部漸近穩定的。證畢。

證明 系統（1）在平衡點E2（x＊1，x＊2，y＊）處的特征方程為

由Routh－Hurwitz準則知方程（7）的所有根均具有負實部當且僅當

從而當τ＝0或τ很小時，正平衡點E2局部漸近穩定。

證明 首先要證明在平衡點E2處的特征方程（6）有一對純虛根±iω．

如果λ＝±iω是方程（6）的一對純虛根，將λ＝±iω代入（6）并分離實部和虛部得：

上式兩邊同時平方并相加得：

其中，A1＝p21－2p2－q21＝A2＋d22＋2Bδ＞0，

令Ω＝ω2，則式（9）化為

故相應于ω0的τn由下式給出：

因為τ＝0時，E2局部穩定，從而由Butler引理［9］知，在定理的條件下，平衡點E2對所有的τ≤τ0（τ0＝τ＊0，n＝0）仍是局部漸近穩定的。由于（11）有唯一正根，根據Cooke［10］的結論，下列橫截條件成立：

事實上，對（6）兩邊同時求導得：

3 全局穩定性

類似文獻［11］中定理3．2的證明，得到下列定理。

定理5 當pδ＜qd2（d1＋δ）時，平衡點E0（0，0，0）全局漸近穩定。

定理6 若pδ＞qd2（d1＋δ）和d3＜滿足，并且βM1＜b3，則系統（1）的邊界平衡點E1是全局漸近穩定的。這里M1如定理1中所述。

證明 由于滿足pδ＞qd2（d1＋δ）和d3＜，系統（1）的邊界平衡點E1是局部漸近穩定的，我們只需

首先考慮系統（1）的第三個方程。可得：

作時間參數變換。設dt＝（q＋x1）dτ，則系統（12）變為

作量綱一變換：

則系統（13）變為

當pδ＞qd2（d1＋δ），即a1＞a2系統（14）有2個非負平衡點），且（0，0）總是一鞍點是局部漸近穩定的。其中

證畢。

［1］ Aiello W G，Freedman H I．A time－delay model of single－species growth with stage structure［J］．Math Biosci，1990，101：139－153．

［2］ Chen Fengde．Permanence of periodic holling type predator－prey system with stage structure for prey［J］．Applied Mathematics and Computation，2006，182：1849－1860．

［3］ Wei Fengying，Wang Ke．Permanence of variable coefficients predator－prey system with stage structure［J］．Applied Mathematics and Computation，2006，180：594－598．

［4］ Wei Fengying，Wang Ke．Permanence of some stage structured ecosystems with finite and infinite delay［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，189：902－909．

［5］ Xu Rui，Chaplain M A J，Davidson F A．Permanence and periodicity of a delayed ratio－dependent predator－prey model with stage structure［J］．Math Anal Appl，2005，303：602－621．

［6］ Xu Rui，Wang Zhiqiang．Periodic solutions of a nonautonomous predator－prey system with stag structure and time delay［J］．Journal of Computation and Applied Mathematics，2006，196：70－86．

［7］ 師向云，郭振．一類具有時滯和階段結構的捕食系統的全局分析［J］．信陽師范學院學報：自然科學版，2008，21（1）：32－35．

［8］ 黃旭玲，文玉嬋．非線性生育率的階段結構系統的定性分析［J］．玉林師范學院學報：自然科學版，2004，25（5）：1－3．

［9］ Freedman H I，Sree H R V．The Trade－off between mutual interference and time lags in predator－prey systems［J］．Bull Mathe Biol，1983，45：9912－1003．

［10］ Cooke K L，Van D D，Riessche P．On zeros of some transcendental functions［J］．Funkcial Evac，1986，29：77－90．

［11］ Xiao Yanni，Chen Lansun．A ratio－dependent predator－prey model with disease in the prey［J］．Appl Math Comput，2002，131：397－414．