基于能量分配提高糾錯碼誤比特率性能的研究

張衛黨，李 萍

(鄭州大學信息工程學院，河南鄭州450001)

0 引言

隨著數字通信系統的飛速發展，每天都在不斷涌現出新的通信業務和信息業務，同時用戶對通信質量和數據傳輸速率的要求也在不斷提高，這就促使我們盡可能地解決數字通信中始終存在的可靠性和有效性的矛盾.糾錯碼是為通信系統中可靠性提供保障的一種手段，所以如何研究并利用好糾錯碼技術已成為一項重要任務，而衡量一種糾錯碼技術好壞的主要標準是誤比特率性能.因此，針對如何提高各種糾錯碼的誤比特率性能一直是糾錯碼的研究熱點.為了達到這個目的已經有很多方案被提出，且這些方案被證實在一定程度上對碼字的誤比特率性能有所提高.一種方法是通過改變編譯碼的結構和算法來改進當前性能較好的糾錯碼，已經有大量的文獻采用這些方法［1-3］.還有一種方法是通過能量分配來提高碼字的誤比特率性能，這種方法基本上不會影響到碼字的編譯碼結構和算法，所以使用時方便簡單，已有一些文獻在這一方面做了研究.例如Mohammadi等［4］提出了一種不等能量分配方案，該方案針對傳統能量分配方案中信息位和校驗位被分配同等的能量不能使Turbo碼的性能得到改善的問題，通過對信息位和校驗位分配不同的能量來提高碼字的性能，其中兩分量碼輸出的校驗信息分配的能量是相同的.而文獻［5］作者針對非對稱Turbo碼對上述能量分配方案進行改進，為兩分量碼輸出的校驗位也分配不等的能量，在文獻［6］中作者通過對Turbo碼低重量碼字分配較多的能量來降低其“錯誤平層”.基于以上研究，筆者提出一種新的能量分配方案，該方案仍然是基于低重量碼字分布，但它考慮到了所有的低重量碼字得到了與碼字序列中每一位比特相連的最輕碼字和它們數目，然后利用文獻［7］推導出的估計信息位誤比特率分布的計算公式，對碼字進行按位能量分配，通過仿真結果得出該方案不僅不會增加系統的復雜度，它還可以改善多種糾錯碼的誤比特率性能，具有實現簡單、應用范圍廣等優點.

1 一致界和誤比特率分布公式

文獻［7］中給出了在AWGN信道下，誤比特率由下式給出上限:

式中:wi，di分別為第i個碼字的信息部分的重量和總重量;k為輸入序列的長度;Rc為編碼速率;Eb為碼字中每比特信息的能量;N0為噪聲的功率譜密度.而且在文獻［7］中作者根據公式(1)推導出了一個估計誤比特率分布的理論公式，該公式只考慮與碼字中每個比特位相連的重量最輕的碼字，由下式給出:

式中:dmin(j)為與第j位信息位相連的最輕碼字的重量;nmin(j)為這個重量的碼字的數目，j=1，2，…，N-1，其中N為碼字的長度.

一般情況下，對碼字中的每一比特位Eb都是一個常數，這種傳統能量分配方案不能使碼字的性能得到改善.為了降低碼字的平均誤比特率，筆者將根據公式(2)推導出一種不等能量分配方案，對碼字中每一比特位進行重新分配.

2 優化能量分配方案

由于碼字本身所具有的不等差錯保護能力，碼字中每一比特位上的誤比特率不可能是一個常數，特別是在高信噪比時，碼字的平均誤比特率主要是由誤比特率較高的位置所決定的，在碼字的總能量保持不變的前提下，由公式(2)可以看出當為誤比特率較高的位置分配較多的能量以降低這些位置的誤比特率時，另外一些位置的誤比特率就會增加.從公式(2)可以看出，如果信息的某個比特位與較輕重量的碼字相連，這個比特位的糾錯能力就較弱，誤比特率就會較高，為這些位置分配較多的能量，不斷重復這個過程，直到Pb(j)對于j=1，2，…，N-1(N為碼字的長度)為一個常數.將該能量分配方案應用于公式(2)中得到下式:

由式(3)可以得出:

在碼字的總能量不變的前提下如式:

由式(4)和式(5)可以得到:

從以上式子中可以看出，如果可以找出與每比特位相連的最輕碼字的重量dmin(j)和這個重量的碼字數目nmin(j)，就可以通過公式(6)得到所要求的，再由式(4)即可計算出分配給每比特位的能量Eb(j)，然后將該能量分配方案應用于不同類型的糾錯碼中檢驗其效果.

3 仿真結果與分析

為了清楚地顯示該方案的有效性和解釋運用該方案使平均誤比特率降低的原因，下面首先將其運用到一個簡單的(15，4)線性分組碼，該碼字的生成矩陣為

可以很容易地找出該碼字中每一比特位的碼重分布，從而得到每比特位相連的最輕碼字的重量dmin(j) 分別為 7，5，7，5，4，8，5，4，5，4，7，8，7，5，4，這些重量的碼字數目 nmin(j) 分別為 2，1，2，1，1，4，1，1，1，1，2，4，2，1，1.從式(2) 可以看出第 4，7，9 和14位比其它比特位更容易受到噪聲的影響從而產生誤碼，所以為了得到較低的平均誤比特率，為這些位置分配較多的能量.由式(4)和(6)，表1給出了一些信噪比下每比特位的能量分配Eb(j).

表1 不同信噪比下的優化能量分配Eb(j)Tab.1 The optimized energy allocations Eb(j)at different SNR

從表1可以清楚地看出在低信噪比(如0 dB)和高信噪比(如12 dB)時，Eb(j)的分布有很大的不同，在高信噪比時，每比特位的能量Eb(j)的分布與該位相連的最輕碼字的重量dmin(j)有緊密的聯系，dmin(j)越小，Eb(j)越大，而在低信噪比時，這種關系不明顯.這是因為在低信噪比時不只是取決于dmin(j)和nmin(j)，它還和其他碼重分布有關，而在高信噪比時，平均誤比特率基本由dmin(j)和nmin(j)決定，且dmin(j)在公式中是指數的形式，對影響較大，故Eb(j)的分布主要由dmin(j)決定，如在第4，7，9和14位，dmin(j) 都為4，是碼字中dmin(j)最小的一些位置，比較容易產生誤碼，所以在高信噪比時，這些位置分配的Eb(j)是最多的，例如在SNR=12 dB時都為1.32，由式(6)也可知在不同的信噪比下，Eb(j)也是不同的.

圖1中給出了4條曲線，它們應用上文中給出的dmin(j)和nmin(j)，分別由式(2)、式(6)和仿真結果產生.圖2給出了在信噪比SNR=5 dB時由仿真得到的兩條位誤比特率的曲線.

圖1 (15，4)線性分組碼優化能量分配前后平均誤比特率理論和仿真曲線Fig.1 The theoretic BER curves and simulation BER curves before and after optimizing for a(15，4)linear code

由圖1可以看出能量分配后的所有平均誤比特率曲線都要低于能量分配之前的曲線，特別是在高信噪比時，這種現象更加明顯.例如在SNR=8 dB時，能量分配后的理論和仿真曲線分別比能量分配前的理論和仿真曲線改善了約一個數量級，在SNR=12 dB時，能量分配后的理論值比能量分配前的理論值低了多于一個數量級.而圖2顯示出碼字在能量分配之后其位誤比特率曲線比能量分配前的曲線平滑，原本位誤比特率較高的位置能量分配后誤比特率得到了降低，而原本位誤比特率較低的位置，相應的位誤比特率增加了，整個曲線得到了較能量分配前平均的結果.這兩個圖都表明該能量分配方案對線性分組碼是有效的，特別是在高信噪比時，其作用更明顯.

為了驗證改方案不只是適用于一種特定類型的糾錯碼，下面將該能量分配方案應用于另外一種糾錯碼-卷積碼并給出其仿真結果.圖3和圖4都給出了四條曲線，其產生方法與圖1相同，所用的卷積碼為(2，1)卷積碼，其生成矩陣 g=(171，133)，輸入碼字長度為32，但圖3所用的卷積碼為不結尾卷積碼，而圖4所用卷積碼為結尾卷積碼.

圖3給出了與圖1相似的結果，例如在SNR=6 dB時，能量分配后的仿真曲線分別比能量分配前的仿真曲線改善了約兩個數量級，在SNR=10 dB時，能量分配后的理論值比能量分配前的理論值低了多于七個數量級.但是值得注意的是，在低信噪比時，能量分配后的系統誤比特率性能還沒有能量分配前的好，這是因為公式(2)給出的誤比特率估算公式在低信噪比時估算不精確，從而導致該能量分配方案達不到預期的效果，而在高信噪比時該公式和方案都有很好的效果.從圖1和圖3可以得出該方案不只是使用于一種特定類型的糾錯碼.

圖4 (2，1)結尾卷積碼優化能量分配前后平均誤比特率理論和仿真曲線Fig.4 The theoretic BER curves and simulation BER curves before and after optimizing for a(2，1)convolutional code with tail bits

從圖4可以看出能量分配前后系統性能改善不明顯，這是因為該結尾卷積碼碼字每一位的dmin(j)都相同，而且與之對應的nmin(j)也大致相同，從式(4)可以看出碼字中每一比特能量的分配主要由dmin(j)和nmin(j)決定，當二者大致都是常數時，Eb(j)也大致為一個常數，即為傳統的能量分配，故達不到明顯的改善效果.

從以上各圖的分析可知:在高信噪比時，本文所提出的能量分配方案適合于多種糾錯碼，而且當碼字中的每一比特位的dmin(j)和nmin(j)相差越大時，該方案起到的效果越好，在低信噪比時，若想得到明顯的改善效果，公式(2)需要得到改進，這將也是以后筆者要努力研究的方向.

4 結論

基于一個由一致界推導出的誤比特率分布的估算公式，筆者提出了一種新的優化能量分配方案，通過理論推導，該方案為每比特位分配定量的能量，而不是只在系統碼和校驗碼之間分配不同的能量.通過仿真比較顯示，該方案適合于不同類型的糾錯碼，在改善系統誤比特率性能方面有很好的效果，而且它不會改變系統的編譯碼結構，使用時方便簡單，容易實現.

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