基于齒形法的空間桁架結構抗風優化

黃友欽，王艷萍，傅繼陽，林俊宏，吳玖榮

(廣州大學廣東省結構安全與健康監測工程技術研究開發中心，廣東廣州510006)

0 引言

空間桁架結構中構件可靈活布置成各種空間外形來滿足建筑需要，因此在現代公共建筑中得到了廣泛應用［1］.但此類結構通常具有固有頻率低、柔性大、阻尼小等特點，是典型的風敏感結構，風荷載常成為結構設計的主要控制荷載［2］.因此，有必要研究這類結構的抗風優化設計方法，使桿件間受力更加協調以節省材料和降低造價.

然而，目前結構抗風優化研究基本集中于高層建筑結構，較少涉及大跨屋蓋.Chan等以等效靜力風荷載下高層建筑的樓頂和層間位移響應為約束條件，工程造價作為目標函數，采用最優準則法對高層建筑的構件尺寸進行優化［3］.Spence進一步考慮了場地氣候概率信息，建立了基于可靠度的抗風優化數學模型［4］.

大跨空間結構的優化中通常設計變量眾多，準則法通常被認為是有效方法［5］.筆者首先闡述基于滿應力準則的抗風優化設計理論和程序實現，然后介紹用于本研究的雙層柱面網殼及其風荷載獲得方法，最后基于計算結果討論了截面積下限、滿應力步長等的影響.

1 抗風優化設計理論

空間桁架結構的抗風優化數學模型為:

式中:A={A1，A2，…，An}表示所有n根桿件的截面積;W表示結構重量，ρi和li分別表示桿件i的截面積;σi和［σi］分別表示桿件i的風致應力和容許應力;Amin表示截面積下限值，即幾何約束下界.

滿應力準則法是指通過調整構件的截面尺寸，使各構件的應力盡量達到容許應力，此時認為結構承受荷載的能力被充分發揮，結構達到最優狀態［6］.空間桁架結構的抗風優化可按下面步驟進行.

(1)根據結構的初始設計方案確定截面積初值A，且令k=1(k表示迭代次數).

(2)計算桿件應力比.等效靜力風荷載下計算桿件的應力，通過與容許應力比較來得到應力比，并選擇非零桿進行優化.

(3)走射線步.由于結構最優解位于主約束曲面，所以為了能夠得到最優解，應使迭代點落在主約束曲面上，因此在兩次應力比計算之間增加射線步使所有桿件滿足約束條件［6］.

(4)判斷是否終止迭代.為了判別設計點是否為最優點，可在每次射線步后記錄一次結構重量，當發現經某一射線步后結構重量大于前一次的重量時，就取前一次的設計點為最優點.射線步后通過下式計算結構重量.

(5)走滿應力步.走射線步后若計算未收斂則需要將應力比還原至原本值，即將各桿件的應力同時改變β(k)max倍以得到下次迭代的截面積初值.

當滿應力步的步長太大時，可能會錯過真正的最優解，而使所求解遠離最優解，因此可通過修改應力比來縮短滿應力步長，使相鄰兩射線步的迭代點之間相距更近，從而提高最優解的精度.可通過下式來縮短滿應力步長.式中:λ為修改系數，其值越大表示對滿應力步長的改變越小.

(6)越界處理.當某些桿件的截面積小于幾何約束中的截面積下限值時，可由下式進行截面積修正.

進行越界處理后獲得更新的桿件截面積，再回到步驟(2)進行下一次迭代計算，直至結構重量出現增加而停止迭代.

基于MATLAB數值計算平臺編制優化計算程 序 (Wind ResistantOptimization Program，WROP)，整合了等效靜力風荷載、風致響應和優化計算等三個部分［7］.

2 結構簡介及風荷載

用于分析的空間桁架結構為正放四角錐雙層柱面網殼，高度和跨度分別為為40 m和103 m，長度為140 m，采用縱向邊緣落地支承［8］.結構中桿件的布置如圖1所示，桿件總數為10 080，節點總數為2 592，初始總重量為603.5 t.桿件間的連接視為鉸接，桿件截面積的最大值為1.41e-2 m2，最小值為8.51e-4 m2.桿件的彈性模量和密度分別為206 GPa和7 850 kg/m3.初始設計的桿件截面積分布如圖2所示，將初始截面積作為優化設計的初值A(1)，將其最小值8.51e-4 m2作為幾何約束下界Amin.

風洞試驗是獲得結構上風荷載的有效方法，該雙層柱面網殼的剛性模型測壓風洞試驗在同濟大學TJ-2風洞中完成，每隔10°在90°～180°之間進行7個風向角的測試［8］.基于試驗得到的非定常風荷載進行平穩激勵隨機振動分析可得到結構上的等效靜力風荷載［9］.

考慮到風向角為150°時結構的風效應較為顯著，因此選取150°風向角下的等效靜力風荷載=1.6進行優化計算.圖3給出了計算該風向等效靜力風荷載時得到的應力峰值桿件的應力響應功率譜.

圖3 150°風向下桿件的應力響應功率譜Fig.3 Auto-power spectrum of stress at 150°

3 優化結果與討論

以初始設計截面對應的風致應力最大值作為所有桿件的約束容許應力，采用編制的計算程序對雙層柱面網殼進行抗風優化.以下給出優化計算結果并對關鍵參數進行討論.

3.1 優化計算結果

優化計算76次后迭代停止，圖4給出了結構總重和最大應力比隨迭代次數的變化.可以看出，結構重量約降低48%，最大降幅發生在首次迭代;最大應力比的變化較為平穩，由1.18逐漸穩定至收斂值.因此，通過設置射線步保證了所有桿件的應力均小于容許應力，即不違反強度約束.

3.2 截面積下限的影響

圖5給出了λ=1.0且不設幾何約束下界時第2次迭代中射線步得到的桿件應力比和截面積.由圖可見，最大應力比為6.21，遠大于設定截面積下限時的1.18.同時，由于未設定截面積下限，滿應力步后的最小截面積僅為3.03e-8 m2，小于規范允許值［10］.

迭代4次后結構重量出現增加，因此取第4次迭代中射線步的結果作為優化結果.表1給出了優化過程中桿件的最大應力比、截面積和結構重量的變化，并與設定幾何約束下界的結果進行比較.可以看出，不設截面積下限時，隨著迭代進行，桿件的最小截面積遠小于約束下限值(僅為1.25e-12 m2)，而最大桿件截面積(4.84e-2 m2)卻大于設定截面積下限時的結果(1.12e-2 m2)，從而得到的結構總重反而大于設定截面積下限的結果.因此，在復雜桁架結構的抗風優化中，雖然射線步已將迭代點拉回主約束曲面，但仍有必要設定截面積下限來使各桿件間的受力更加協調，從而充分利用材料性能.

表1 前3次迭代和停止迭代時的部分計算結果Tab.1 Results of the first 3 and final iterations

3.3 滿應力步長的影響

λ=0.5時，第1次迭代中滿應力步后的桿件應力比和截面積如圖6所示.顯然，將滿應力步長折減后應力比的范圍變小，提高了應力比的最小值，從而增大了桿件截面積的最小值.

圖7給出了λ=0.5時結構總重隨迭代次數的變化.對比圖4可見，優化得到的結構重量與未修改滿應力步長的結果接近，這是因為設定截面積下限時桿件的最大應力比本身較小，故優化結果對滿應力步長縮短并不敏感.由于第2次迭代時最大應力比就已十分接近1.0，因此計算收斂所需迭代次數小于未修改滿應力步長的情況.

圖6 第1次迭代中滿應力步后的應力比和截面積Fig.6 Stress ratio and area after the full stress step in 1st iteration

圖7 結構重量隨迭代次數的變化Fig.7 Variation in structural weight with iteration

4 結論

(1)優化設計使網殼總重降低了約48%，所有桿件的應力均小于初始設計下的最大應力值，因此在滿足初始設計要求的前提下使結構總重有效降低;

(2)通過設定設計變量下限避免了優化得到的桿件截面積小于規范容許值，且使桿件間受力更加協調，充分利用材料性能;

(3)對于最大應力比并未明顯超出可行范圍的情況，優化結果對滿應力步長并不敏感，但通過修改滿應力步長可能使迭代次數減少.

［1］LU Chun-ling，LI Qiu-sheng，HUANG Sheng-hong，et al.Large eddy simulation of wind effects on a longspan complex roof structure［J］.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2012，100(1):1-18.

［2］孫文斌，孫芳錦.大跨度屋蓋風振控制的遺傳算法［J］.鄭州大學學報:工學版，2012，33(1):40-42，50.

［3］CHAN C，HUANG Ming-feng，KWOK K.Stiffness optimization for wind-induced dynamic serviceability design of tall buildings［J］.Journal of Structural Engineering-ASCE.2009，135(8):985-997.

［4］SPENCE S，GIOFFRE M.Large scale reliabilitybased design optimization of wind excited tall buildings［J］.Probabilistic Engineering Mechanics， 2012(28):206-215.

［5］錢令希.工程結構優化設計［M］.北京:科學出版社，2011.

［6］朱杰江.建筑結構優化及應用［M］.北京:北京大學出版社，2011.

［7］BATHE K.Finite element procedures［M］.New Jersey:Prentice-Hall Inc.，1996.

［8］顧明.浙江省華能玉環電廠干煤棚風效應研究［R］.上海:同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，2006.

［9］DAVENPORT A.Gust loading factors［J］.ASCEJournal of Structural Division，1967(93):11-34.

［10］中華人民共和國建設部.JGJ 61—2003網殼結構技術規程［S］.北京:中國建筑工業出版社，2003.