四元數在計算機輔助手術空間配準中的研究*

韋韞韜，周軼冰，周東航，李春潔

(1.佳木斯大學，佳木斯 154007;2.佳木斯市中心醫院，佳木斯 154002)

1 前言

1843年，英國數學家哈密爾頓(W.R.Hamilton 1805－1865)發現了一種數學概念—四元數，它的乘法不符合交換律，是一種非常簡單的超復數，作為對復數的一種擴充，強有力地推動了向量代數的發展。近些年，研究者發現四元數可以用來表示物體的旋轉特性，同時也開始應用于計算機輔助外科手術的空間配準技術上［1］。

2 四元數及其在三維空間的應用

四元數由一個實部和三個虛部組成，表示為:r=r0+r1i+r2j+r3k。其中r02+r12+r22+r32=1，另外，四元數不符合乘法交換律，打破了固有的乘法概念，四元數的乘法規則見表1。

表1 四元數乘法運算表

由于四元數乘法存在上述的特殊性，例如:i*j=－(j*i)，所以正好可以使用四元數來表示三維空間中物體的旋轉和平移，使用以下矩陣形式來表示三維空間中的任意一點。

可以將該矩陣分成兩部分:①對角線上的元素(a11，a22，a33)用于表示不同空間尺度的變換;②除對角線以外的其他元素用于表示兩個空間轉換時的旋轉矩陣。如果只考慮第二部分，即不考慮兩空間的尺度變換，則四元數就完全可以用來表示兩空間點集配準時的旋轉矩陣［2］，借助四元數旋轉矩陣可以表示為:

3 基于點集的空間配準方案

3.1 算法基本原理

假設 P、Q 兩個空間點集，其中 P={pi，i=1，2，…，n}表示在坐標空間(x，y，z)下的圖像空間點集，Q={qi，i=1，2，…，n}表示在坐標空間(u，v，w)下的手術空間點集，兩坐標空間下P和Q中的點一一對應。找出醫學圖像空間和手術空間兩點集的對應關系和轉換規則是基于點集的控件配準算法的主要研究內容。可以使用一個旋轉矩陣和一個平移向量來表示兩空間點集的轉換和配準，即兩點集之間的線性關系如下:

其中，R代表配準過程中所需要的旋轉矩陣，T代表平移向量，ε則是進行兩空間點集配準時所產生的誤差項［3］。如果配準后，ε在可以接受的范圍內，R和T則是要尋找的最優旋轉矩陣和最優平移向量，于是如何控制ε在可接受的范圍內就成為了要解決的重要問題。由于兩空間點集中包含的點很多，令pi和qi為任意一對對應點，對其進行空間配準時一定會產生一個相對應的誤差項εi，利用最小化誤差平方和的原理就可以解決控制誤差的難題，即滿足:

具體采用以下方法:首先進行數據采集，獲取實驗模型的特征點數據，利用三維坐標和四元數來表示這些特征點的信息;然后計算點集的質心和點集的協方差矩陣，構造特征矩陣，經過雅可比變換找到最大特征值和相應的特征向量;最后利用最小化誤差平方和的原理獲取最優旋轉矩陣R和最優平移向量T，以達到醫學圖像空間和手術空間的精確配準［4］，流程如圖1 所示。

3.2 空間配準的矩陣求解

(1)已知兩個空間點集 P={pi，i=1，2，…，n}，Q={qi，i=1，2，…，n}，利用統計學均值表示兩點集質心分別為:

(2)計算兩點集的協方差矩陣為:

圖1 空間配準算法流程圖

(3)假設協方差矩陣為:

(4)構造特征矩陣

選取Σ的元素組成列向量W=［E23E31E12］T，則可得到對稱矩陣:

(5)利用矩陣變換理論，對K進行雅可比變換，得到矩陣K的最大特征值和相應的特征向量為［r0r1r2r3］T作為最優的旋轉向量，通過計算可得r02+r12+r22+r32=1，則為滿足條件的四元數。可以計算最優旋轉矩陣R，再計算最優平移向量T為:

4 選取仿真實驗的特征點

本次仿真模擬實驗中模型特征點的獲取采用了標志點法，這主要是因為:①考慮到仿真實驗中，標志點法的可操作性強，實現比較容易;②標志點法獲取的特征點數據比較精準。但實際操作中也要注意，實驗模型做完CT掃描后，標注點的位置不能改變，否則將會嚴重影響仿真實驗的精準性［5］。

5 仿真實驗結果及分析

本次模擬仿真實驗采用肝臟模型作為實驗對象，實驗前對模型進行CT掃描，采集了4個標志點作為配準仿真實驗的對象。首先記錄實驗前模型空間4個標志點的三維坐標，見表2。

表2 配準前CT圖像空間標志點坐標

同時記錄仿真實驗前模型空間4個標志點的三維坐標，見表3，兩組點集一一對應。

表3 配準前模型空間標志點坐標

由于兩點集所在空間不同，需要進行尺度變換，然后進行空間配準，空間配準的尺度、四元數和平移向量都是滿足最小化誤差平方和的最優解［6］。同時可以獲得坐標變換矩陣，計算出配準后模型空間點集的三維坐標如表4所示。

表4 配準后模型空間點集坐標

由各表中的三維坐標可以看出，本次仿真實驗有效的控制了空間配準的誤差，ε＜0.5mm，在可以接受的范圍內。

6 結 束 語

利用四元數矩陣分解方法詳細地推導了空間配準算法的原理和矩陣求解過程，并利用最小化誤差平方和方法獲取了三維醫學圖像空間和手術空間配準時的最優旋轉矩陣和最優平移向量，成功地解決了計算機輔助肝臟手術中空間配準這一關鍵技術。

［1］Grimson W，Eric L，Kikinis R.Image－guided surgery［J］.Scientific American，1999，24(6):62 －69.

［2］Peters T M.Image－guided surgery and therapy:current status and future directions［A］.Proceedings of SPIE The Inter national Society for Optical Engineering［C］.London:The MUT Press，2001:1 －12.

［3］Gunkel A R，Thunmfart W F，Freysinger W.Computer aided 3 － navigation systems［J］.Survey and location determination，2000，48(3):75 －90.

［4］Hassenpflug，Peter.Superiority of auto － stereoscopic visualization for image－guided navigation in liver surgery［A］.Proceedings of SPI E［C］.London:The MUT Press，2002:24－26.

［5］王勇，馬立元，王忠強.四元數法在計算機圖形學中的應用［J］.軍械工程學院學報，2001，13(2):48 －51.

［6］張鐵，謝存禧.機器人學［M］.廣州:華南理工大學出版社，2001:123－139.