基于拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋布局降噪方法研究

劉 海，高行山，王佩艷，李 磊

(西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系，西安 710129)

在機(jī)械、車輛、船舶和飛行器的設(shè)計(jì)中，需要在不顯著增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量和成本的前提下降低振動(dòng)噪聲。使用優(yōu)化技術(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼進(jìn)行合理配置是實(shí)現(xiàn)這一設(shè)計(jì)要求的有效手段。隨著拓?fù)鋬?yōu)化方法的逐漸成熟，人們開始嘗試通過拓?fù)鋬?yōu)化方法輔助進(jìn)行低噪聲設(shè)計(jì)以降低給定區(qū)域的聲壓或結(jié)構(gòu)的輻射聲功率。Luo等［1］通過優(yōu)化兩種剛度不同的材料的拓?fù)浞植迹瑢?duì)內(nèi)聲場(chǎng)的聲壓級(jí)進(jìn)行了最小化。杜建鑌［2-4］通過優(yōu)化兩種剛度、密度、阻尼都不同的材料的拓?fù)浞植迹瑢?duì)結(jié)構(gòu)輻射聲功率和聲場(chǎng)中指定區(qū)域的聲壓進(jìn)行了最小化。劉寶山［5］通過優(yōu)化殼體的厚度分布，對(duì)結(jié)構(gòu)輻射聲功率進(jìn)行了最小化。然而，由兩種材料組成的板和變厚度板都不易制造，使得這些設(shè)計(jì)方案在工程實(shí)際中的應(yīng)用有限。

在殼體表面的適當(dāng)位置布置加強(qiáng)筋是降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲的一種經(jīng)濟(jì)而有效的手段，在工程中應(yīng)用廣泛。而加強(qiáng)筋的布局形式對(duì)結(jié)構(gòu)的輻射噪聲水平影響很大，若加強(qiáng)筋布置的位置不合適甚至可能增加結(jié)構(gòu)的振動(dòng)噪聲;因此研究加強(qiáng)筋布局的優(yōu)化方法對(duì)降噪具有重要意義。雖然可以先通過拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)板件的材料分布或厚度進(jìn)行優(yōu)化，再參考最優(yōu)結(jié)構(gòu)的剛度分布來(lái)布置加強(qiáng)筋［6］。但由于加筋后結(jié)構(gòu)的剛度等與拓?fù)渥顑?yōu)結(jié)構(gòu)有較大區(qū)別，使得降噪效果不佳。Katsumi等［7］進(jìn)行了齒輪箱加強(qiáng)筋布局優(yōu)化的研究，使用遺傳算法確定了加強(qiáng)筋的位置;但受遺傳算法計(jì)算效率的影響這種方法只能應(yīng)用于小規(guī)模問題。

本文采用基于SIMP插值模型的變密度法拓?fù)鋬?yōu)化方法［8］，將表面布滿加強(qiáng)筋的箱體作為基結(jié)構(gòu)，通過從基結(jié)構(gòu)中去除一定量的加強(qiáng)筋，得到了最優(yōu)的加強(qiáng)筋布局。其中，優(yōu)化目標(biāo)為結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激振力下的輻射聲功率最小，約束為加強(qiáng)筋質(zhì)量的上限。在輻射聲功率及其靈敏度分析中，對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)使用有限元方法分析;對(duì)聲場(chǎng)使用邊界元方法分析，并忽略了加強(qiáng)筋外形對(duì)聲場(chǎng)的微小影響。

1 結(jié)構(gòu)聲輻射分析

1.1 結(jié)構(gòu)有限元分析

加筋板結(jié)構(gòu)中的板件采用基于Mindlin板理論的平面殼單元模擬;加強(qiáng)筋采用Timoshenko梁?jiǎn)卧M。通過對(duì)梁?jiǎn)卧膭偠染仃囘M(jìn)行轉(zhuǎn)換，將梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)偏置到與殼單元節(jié)點(diǎn)重合的位置。

在不考慮阻尼的情況下，結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的動(dòng)力學(xué)方程為:

其中:M，K分別是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，u，F(xiàn)分別是節(jié)點(diǎn)位移幅值向量和節(jié)點(diǎn)載荷幅值向量，ω為激振力頻率。

1.2 聲學(xué)邊界元分析

作為聲學(xué)邊界元方法的基礎(chǔ)，描述聲場(chǎng)的Helmholtz邊界積分方程為［9］:

其中，P點(diǎn)為任意位置的場(chǎng)點(diǎn)，Q點(diǎn)為聲介質(zhì)邊界S上的源點(diǎn)，p表示聲壓，nQ為Q點(diǎn)處外法向單位矢量，vn(Q)為Q點(diǎn)振動(dòng)法向速度，ρf為聲學(xué)介質(zhì)密度。

G(P，Q)表示自由空間Green函數(shù):

C(P)為空間角系數(shù):

Ω表示場(chǎng)點(diǎn)P對(duì)聲學(xué)介質(zhì)的空間角度。

為了對(duì)Helmholtz積分方程進(jìn)行求解，將聲場(chǎng)邊界離散為若干單元，用插值形式來(lái)表示單元中的變量。在場(chǎng)點(diǎn)位于結(jié)構(gòu)表面的情況下，離散后方程的矩陣形式為:

其中，p和vn分別為聲壓幅值向量和節(jié)點(diǎn)法向速度向量，H和G為影響系數(shù)矩陣。

當(dāng)源點(diǎn)處于當(dāng)前的聲場(chǎng)邊界積分單元時(shí)，積分會(huì)出現(xiàn)奇異性，本文采用將積分變換到極坐標(biāo)系下的方法［9］對(duì)奇異積分進(jìn)行處理。

1.3 結(jié)構(gòu)－聲學(xué)系統(tǒng)分析

式(1)和式(5)構(gòu)成了結(jié)構(gòu)-聲學(xué)系統(tǒng)的耦合方程，一般可采用交錯(cuò)迭代求解技術(shù)對(duì)該方程進(jìn)行求解。但對(duì)于空氣這類密度很小的聲學(xué)介質(zhì)，聲壓載荷對(duì)結(jié)構(gòu)的作用與激振力相比可以忽略。這意味著可以只考慮結(jié)構(gòu)對(duì)聲學(xué)系統(tǒng)的單向耦合。在這種情況下，先對(duì)結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行有限元分析，解出節(jié)點(diǎn)處的振動(dòng)位移響應(yīng);然后通過轉(zhuǎn)換關(guān)系得到聲固耦合界面處的法向速度，將其作為聲學(xué)邊界元分析的邊界條件對(duì)輻射聲場(chǎng)進(jìn)行分析。

當(dāng)耦合界面上有限元網(wǎng)格與邊界元網(wǎng)格重合時(shí)，耦合界面處的法向速度vn與結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)u有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系:

其中:T為結(jié)構(gòu)—聲學(xué)速度耦合矩陣。

1.4 輻射聲功率靈敏度分析

輻射聲功率表征振動(dòng)結(jié)構(gòu)在單位時(shí)間內(nèi)向外輻射出的總聲能量，可表達(dá)為:

Re表示取實(shí)部，*表示取共軛。

對(duì)于離散的結(jié)構(gòu)表面，總的輻射聲功率為各單元的輻射聲功率之和，單元內(nèi)的聲壓和法向速度由插值得到。結(jié)合式(5)給出的聲壓與法向速度的關(guān)系可以得到:

其中H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，B為經(jīng)過上述代換后得到的矩陣。

當(dāng)所涉及的設(shè)計(jì)變量不影響聲場(chǎng)的表面外形、激振力頻率和聲學(xué)介質(zhì)屬性時(shí)，矩陣B與設(shè)計(jì)變量無(wú)關(guān)。在這種情況下，輻射聲功率對(duì)設(shè)計(jì)變量xj的靈敏度為［10］:

由式(1)和式(6)可知，結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度為:

2 優(yōu)化方法

2.1 基于SIMP插值模型的變密度法拓?fù)鋬?yōu)化方法

本文中的拓?fù)鋬?yōu)化問題實(shí)際上是對(duì)離散設(shè)計(jì)變量的0-1組合規(guī)劃問題，即確定基結(jié)構(gòu)中加強(qiáng)筋的有(表示為1)與無(wú)(表示為0)。通過采用基于SIMP插值模型的拓?fù)鋬?yōu)化方法，將梁?jiǎn)卧膫蚊芏葂j這一連續(xù)變量作為設(shè)計(jì)變量，并引入懲罰因子對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行懲罰，使其向0和1兩端聚集。

SIMP插值模型如下:

其中，Ke，Me，xe分別為e號(hào)單元的SIMP插值剛度矩陣、插值質(zhì)量矩陣和單元偽密度;K0和M0分別為給定參考材料下的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣。xe的取值范圍在0到1之間，當(dāng)xe取1時(shí)表示該單元為充滿材料的固體單元，當(dāng)xe取0時(shí)表示該單元為無(wú)材料的空洞單元。p(p≥3)和q(≥1)分別為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的懲罰因子，一般取p=3，q=1。實(shí)際應(yīng)用中為了保證數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性和剛度矩陣的非奇異，通常限定xe≥xmin，xmin為一很小的值，比如 0.001。

SIMP插值模型下，單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)為:

將單元矩陣組裝后即可得總體剛度和質(zhì)量矩陣對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)。

綜上所述，該優(yōu)化問題的模型可以表示如下:

其中，me為e號(hào)單元充滿材料時(shí)的質(zhì)量，m0為所設(shè)定的質(zhì)量上限，nE為設(shè)計(jì)域單元總數(shù)，取xmin=0.001。

在靈敏度分析的基礎(chǔ)上，采用MMA系列算法［11］中的MMA-GCMMA混合算法［12］對(duì)上述優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

2.2 針對(duì)加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化的靈敏度過濾方法

為了增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的可制造性，減少優(yōu)化構(gòu)型中過短的加強(qiáng)筋，可進(jìn)行靈敏度過濾［13］。計(jì)算公式為:

Rd為卷積因子:

其中，dist(e，q)為單元j和q中心點(diǎn)間的距離，r為過濾半徑。由于加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化的特殊性，計(jì)算時(shí)只記入與當(dāng)前單元e在同一直線上的單元，即要求單元e和q在同一直線上。

3 算例及分析

加筋箱體的基結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，由梁?jiǎn)卧M的加強(qiáng)筋覆蓋在基結(jié)構(gòu)表面。箱體的長(zhǎng)寬高均為0.5 m，板厚2 mm;加強(qiáng)筋截面為矩形，高10 mm，寬2 mm。板與加強(qiáng)筋的材料一致，其主要力學(xué)性能為:彈性模量E=2.1 ×1011Pa，泊松比 μ =0.3，密度 ρx=7 800 kg/m3。聲學(xué)介質(zhì)為空氣，密度 ρf=1.225 kg/m3，聲速c0=340 m/s。箱體的底面四角固支，簡(jiǎn)諧激振力垂直作用在箱體頂面中心，幅值為100 N，激振頻率為120 Hz。優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)輻射聲功率，設(shè)計(jì)變量為各個(gè)梁?jiǎn)卧膫蚊芏龋涑跏贾等?m0/nE，(j=1，…，nE)。過濾半徑r取為當(dāng)前單元長(zhǎng)度的1.5倍。

涉及動(dòng)力學(xué)的拓?fù)鋬?yōu)化問題中，常常會(huì)出現(xiàn)拓?fù)渥顑?yōu)結(jié)構(gòu)不對(duì)稱的現(xiàn)象［1，4，12］。為了保 證最優(yōu)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，本文對(duì)設(shè)計(jì)變量施加了對(duì)稱約束。

在約束分別為加強(qiáng)筋質(zhì)量不超過基結(jié)構(gòu)中加強(qiáng)筋質(zhì)量的 10%，12.5%，15%的情況下，優(yōu)化得到加強(qiáng)筋單元的最優(yōu)偽密度如圖2(a)-2(c)所示。

圖1 加筋箱體的基結(jié)構(gòu)Fig.1 Ground structure of stiffened box

其中，白色梁?jiǎn)卧膫蚊芏葹?.001;黑色梁?jiǎn)卧膫蚊芏葹?;灰色梁?jiǎn)卧膫蚊芏仍谏舷孪拗g。可以看出絕大多數(shù)單元的偽密度都在0/1附近。

在剔除低密度加強(qiáng)筋后，得到的最優(yōu)加強(qiáng)筋布局結(jié)構(gòu)如圖3(a)-3(c)所示。

加強(qiáng)筋的最優(yōu)布局是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度優(yōu)化配置的結(jié)果。顯而易見的是，結(jié)構(gòu)在激振點(diǎn)附近的剛度得到了明顯提高，這對(duì)減小結(jié)構(gòu)振動(dòng)是有利的。

可以看出，隨著加強(qiáng)筋質(zhì)量約束上限的提高，加強(qiáng)筋并不是單純的在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行增加，個(gè)別加強(qiáng)筋在約束上限提高后反而被剔除掉了。

以功率級(jí)表示輻射聲功率的大小，取參考聲功率為1 pW。不同質(zhì)量約束下，箱體在以下四種情形下的輻射聲功率如表1所示:① 未加筋時(shí)的箱體，② 偽密度取初始值時(shí)的加筋箱體，③ 偽密度取最優(yōu)值時(shí)的加筋箱體，④ 剔除低密度加強(qiáng)筋后得到的加筋箱體。

圖2 不同質(zhì)量約束下加強(qiáng)筋的最優(yōu)偽密度Fig.2 Optimal artificial density of stiffeners in different mass constraints

圖3 不同質(zhì)量約束下最優(yōu)加強(qiáng)筋布局Fig.3 Optimal stiffeners layout in different mass constraints

表1 箱體在不同情形下的輻射聲功率(dB)Tab.1 Sound radiation power of box in different case(dB)

可見，把加強(qiáng)筋布置在最合適的位置，可以在質(zhì)量約束條件下有效降低箱體的輻射聲功率，且加強(qiáng)筋越多，降噪效果越好。在實(shí)際中需要綜合考慮成本等因素來(lái)確定合理的質(zhì)量約束條件，以取得降噪和成本的平衡。

剔除低密度單元后得到的加強(qiáng)筋布局實(shí)際上是對(duì)最優(yōu)偽密度向兩端取整的結(jié)果，故所得結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布與最優(yōu)解有細(xì)微差別，這導(dǎo)致噪聲水平相對(duì)最優(yōu)解有一定上升。但由于絕大多數(shù)單元的相對(duì)偽密度在懲罰因子的作用下趨近于兩端，故噪聲水平上升不大，取得了良好的降噪效果。

4 結(jié)論

本文提出了用變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法確定加強(qiáng)筋位置布局的策略。通過從基結(jié)構(gòu)中去除一定質(zhì)量的加強(qiáng)筋，得到了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下以質(zhì)量上限為約束條件的聲輻射功率最小的加筋結(jié)構(gòu)。從算例可以看出，該方法對(duì)結(jié)構(gòu)的降噪設(shè)計(jì)是有效可行的。并且布置加強(qiáng)筋的方法便于用于結(jié)構(gòu)的修改，同時(shí)還增加了結(jié)構(gòu)剛度，這些特點(diǎn)使得本文提出的優(yōu)化方法便于應(yīng)用到實(shí)際工程問題。

［1］Luo J H，Gea H C.Optimal stiffener design for interior sound reduction using a topology optimization based approach［J］.Journal ofVibrationandAcoustics， 2003， 125(3):267-273.

［2］Du J B，Olhoff N.Minimization of sound radiation from vibrating bi-material structures using topology optimization［J］.Struct Multidisc Optim，2007(33):305-321.

［3］Du J B，Olhoff N.Topological design of vibrating structures with respect to optimum sound pressure characteristics in a surrounding acoustic medium［J］.Struct Multidisc Optim，2010(42):43-54.

［4］杜建鑌，宋先凱，董立立.基于拓?fù)鋬?yōu)化的聲學(xué)結(jié)構(gòu)材料分布設(shè)計(jì)［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43(2):306-315.

DU Jian-bin， SOMG Xian-kai， DONG Li-li. Design of material distribution of acoustic structure using topology optimization［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2011，43(2):306-315.

［5］劉寶山，趙國(guó)忠，王 劍.基于設(shè)計(jì)靈敏度分析的圓柱殼聲輻射優(yōu)化［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，51(5):313-319.

LIU Bao-shan，ZHAO Gao-zhong，WANG Jian.Acoustic radiation optimization of cylinder shell based on design sensitivity analysis［J］.Journal of Dalian University of Technology，2011，51(5):313-319.

［6］楊德慶，柳擁軍，金咸定.薄板減振降噪的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法［J］.船舶力學(xué)，2003，7(5):91-96.

YANG De-qing，LIU Yong-jun，JIN Xian-ding.Structural topology optimal design to reduce vibration and noise of thin plate［J］.Journal of Ship Mechanics，2003，7(5):91-96.

［7］Katsumi I，Masashi Y，Masahiko K.Optimum stiffener layout for the reduction of vibration and noise of gearbox housin［J］.Journal of Mechanical Design，2002，124(3):518-523.

［8］ Bendsoe M P，Sigmund O.Topology optimization:theory，methods and applications［M］.Berlin:Springer，2003.

［9］Gaul L，Kogl M，Wagner M.Boundary element methods for engineers and scientists:an introductory course with advanced topics［M］.Berlin:Springer，2003.

［10］Ciskowski R D，Brebbia C A.Boundary element methods in acoustics［M］.Southampton:ComputationalMechanics Publications，1991.

［11］ Bruyneel M，Duysinx P，F(xiàn)leury C.A family of MMA approximationsfor structuraloptimization［J］. Struct Multidisc Optim，2002，24(4):263-276.

［12］ Zuo K T，Chen L P，Zhang Y Q，et al.Study of key algorithms in topology optimization［J］.Int J Adv Manuf Technol，2007，32(7-8):787-796.

［13］ Sigmund O.On the design of compliant mechanisms using topology optimization［J］.Mechanics of Structures and Machines，1997，25(4):495-526.