基于附加虛擬支座的結(jié)構(gòu)損傷識別方法

侯吉林，歐進(jìn)萍，2， ?ukasz Jankowski

(1.大連理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，大連 116024;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090;3.波蘭科學(xué)院 基礎(chǔ)技術(shù)研究所智能技術(shù)部，華沙 02-106，波蘭)

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測是土木工程中的研究熱點(diǎn)方向之一，而損傷識別為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的重要理論環(huán)節(jié)，它為結(jié)構(gòu)的健康和安全評定提供可靠的理論指導(dǎo)。然而由于土木工程結(jié)構(gòu)自身的特點(diǎn)，使得對結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確的損傷識別還存在一定困難，比如結(jié)構(gòu)的大型化和復(fù)雜化，傳感器測試信息的誤差性和有限性，以及整體結(jié)構(gòu)動態(tài)信息對局部損傷的不敏感性等。

土木工程中結(jié)構(gòu)損傷一般表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)剛度的變化，當(dāng)結(jié)構(gòu)中某些構(gòu)件發(fā)生損傷時，結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(頻率和振型)也會發(fā)生變化。模態(tài)是結(jié)構(gòu)最基本的動態(tài)信息，而且利用動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)識別方法研究也比較成熟，如隨機(jī)子空間方法［1］和特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)法［2］等，所以基于模態(tài)信息的損傷識別方法是土木結(jié)構(gòu)中最常用的方法之一。Wang等［3］通過模態(tài)靈敏度分析對香港青馬大橋有限元模型進(jìn)行損傷識別。趙建華等［4］通過計(jì)算結(jié)構(gòu)損傷前后頻率和振型的變化，由控制方程確定出結(jié)構(gòu)損傷位置和大小。韓東穎等［5］基于頻率和當(dāng)量損傷系數(shù)識別井架鋼結(jié)構(gòu)損傷。施洲等［6］在考慮邊界條件變異，利用模態(tài)的攝動進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)的損傷識別。然而利用結(jié)構(gòu)模態(tài)識別大型結(jié)構(gòu)損傷一般存在以下三個困難:① 實(shí)際工程中往往只能識別出少數(shù)低階模態(tài)，識別的模態(tài)數(shù)量一般小于遠(yuǎn)遠(yuǎn)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的數(shù)量，這是大型結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確損傷識的主要困難;② 低階模態(tài)參數(shù)往往反映的是整體特征，而對局部損傷更為敏感的高階模態(tài)一般較難識別出來;③ 土木工程結(jié)構(gòu)多為對稱形式，某些構(gòu)件發(fā)生損傷對結(jié)構(gòu)模態(tài)影響是相同的，因此僅根據(jù)模態(tài)的變化很難區(qū)分具體損傷的位置。

由于實(shí)測數(shù)據(jù)的質(zhì)量和模態(tài)識別方法的限制，只利用單個結(jié)構(gòu)的實(shí)測數(shù)據(jù)所識別的模態(tài)數(shù)量往往是有限的。為了增加識別模態(tài)的數(shù)量，可通過不斷改變結(jié)構(gòu)形式的方法來提高測試對象的數(shù)量，如在結(jié)構(gòu)上附加質(zhì)量或者剛度。楊秋偉等［7］通過在原結(jié)構(gòu)的不同位置附加已知的集中質(zhì)量增加結(jié)構(gòu)形式，提高動態(tài)測試的數(shù)據(jù)量。楊智春等［8］通過給原結(jié)構(gòu)添加已知剛度系數(shù)的元件，提高了試驗(yàn)結(jié)構(gòu)的數(shù)量，聯(lián)合新結(jié)構(gòu)和原結(jié)構(gòu)的模態(tài)數(shù)據(jù)識別損傷參數(shù)。然而在實(shí)際土木工程中，有時并不容易將質(zhì)量和剛度元件安裝或連接到實(shí)際結(jié)構(gòu)上，如連接器件的設(shè)計(jì)、操作空間等都是需要考慮的問題。

本文利用約束子結(jié)構(gòu)方法［9］可構(gòu)造虛擬支座的思想，通過在結(jié)構(gòu)上布置虛擬支座增加結(jié)構(gòu)的形式，一定程度上避免了在實(shí)際工程中附加真實(shí)質(zhì)量或剛度的困難。約束子結(jié)構(gòu)方法的基本思想是利用子結(jié)構(gòu)響應(yīng)的卷積組合將子結(jié)構(gòu)邊界的傳感器轉(zhuǎn)化為虛擬支座，從而將子結(jié)構(gòu)從整體分離出整體。本文分別在結(jié)構(gòu)每個構(gòu)件上附加虛擬支座，將每個附加虛擬支座后對應(yīng)的新結(jié)構(gòu)定義為一個虛擬結(jié)構(gòu)，聯(lián)合所有這些虛擬結(jié)構(gòu)和對應(yīng)的模態(tài)，既可以準(zhǔn)確的識別出結(jié)構(gòu)所有構(gòu)件對應(yīng)的損傷因子。針對現(xiàn)有大型結(jié)構(gòu)損傷識別的困難，附加虛擬支座方法有以下三個特點(diǎn):① 在不同位置附加虛擬支座可提高虛擬結(jié)構(gòu)的數(shù)量，增加了識別模態(tài)的數(shù)量;② 合理布置虛擬支座，可提高模態(tài)對損傷的靈敏度;③ 附加虛擬支座改變了結(jié)構(gòu)形式，將對稱結(jié)構(gòu)變?yōu)榉菍ΨQ結(jié)構(gòu)，更有利于結(jié)構(gòu)損傷的準(zhǔn)確定位和識別。

本文首先簡單介紹約束子結(jié)構(gòu)方法，然后基于靈敏度推導(dǎo)聯(lián)合多個虛擬結(jié)構(gòu)的損傷識別方法，最后通過一個空間框架模型驗(yàn)證方法的有效性。

1 約束子結(jié)構(gòu)損傷識別方法

分別在子結(jié)構(gòu)邊界和內(nèi)部布置n個和l個傳感器。將施加在子結(jié)構(gòu)邊界或外部的脈沖激勵定義為‘約束激勵’，該方法需施加n組不同的約束激勵，第i組激勵下對應(yīng)邊界的第j個傳感器的脈沖響應(yīng)為aji、內(nèi)部的第k個傳感器的脈沖響應(yīng)為cki，這些響應(yīng)為‘約束響應(yīng)’。定義施加在子結(jié)構(gòu)內(nèi)部的激勵為‘基本激勵’，在子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部施加m組不同基本激勵，設(shè)第j組激勵為fj，在fj的激勵下子結(jié)構(gòu)邊界上n個傳感器的響應(yīng)和子結(jié)構(gòu)內(nèi)部l個傳感器的響應(yīng)分別為bj、dj，定義它們?yōu)椤卷憫?yīng)’。將上面的矩陣排列為矩陣，Aji=［aji］，A=［Aji］和 Cki=［cki］，C=［Cki］，B=［b1，b2，…，bm］和 D=［d1，d2，…，dm］，A 和 C 為約束響應(yīng)矩陣，B 和 D 為基本響應(yīng)矩陣。將矩陣A、B、C和D代入約束方程式［9］，見式(1)，可以將子結(jié)構(gòu)邊界響應(yīng)限制為零，即相當(dāng)于將邊界傳感器轉(zhuǎn)化為虛擬支座，從而將子結(jié)構(gòu)從整體中分離出來為獨(dú)立的約束子結(jié)構(gòu)模型，那么計(jì)算得到的矩陣Ds為約束子結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，其中第j列響應(yīng)ds，j為等價于約束子結(jié)構(gòu)在基本激勵fj作用下的內(nèi)部第l個傳感器的響應(yīng)。然后根據(jù)激勵fj的特點(diǎn)，通過選擇合適的優(yōu)化識別方法，可利用約束子結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行子結(jié)構(gòu)的損傷識別:當(dāng)fj已知時，可利用激勵和時域響應(yīng)信息進(jìn)行識別［10］;當(dāng)fj為瞬態(tài)激勵時，由瞬態(tài)激勵結(jié)束后結(jié)構(gòu)的自由響應(yīng)識別出模態(tài)(頻率和振型)，然后利用模態(tài)識別結(jié)構(gòu)損傷。本文方法中fj為瞬態(tài)激勵，損傷識別時只利用頻率信息即可，后面再詳細(xì)介紹。

需要注意的是，本方法要求結(jié)構(gòu)為線性結(jié)構(gòu)，另外約束激勵的方向應(yīng)沿著所構(gòu)造虛擬支座對應(yīng)傳感器測量的方向。

2 基于虛擬支座的損傷識別方法

由上節(jié)可知，約束子結(jié)構(gòu)方法可以將傳感器轉(zhuǎn)化為虛擬支座，而且虛擬支座的布置可以根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)更靈活的布置，不局限于布置在子結(jié)構(gòu)的邊界。由模態(tài)靈敏度分析可知(參見式(3))，模態(tài)關(guān)于構(gòu)件的靈敏度與構(gòu)件的剛度有直接關(guān)系，將支座附加到構(gòu)件的中間位置對構(gòu)件剛度改變最大，所以本文將虛擬支座布置到構(gòu)件的中間位置。本文將附加虛擬支座后的結(jié)構(gòu)稱為虛擬結(jié)構(gòu)。一個虛擬支座只能提高一個構(gòu)件的靈敏度，所以將虛擬支座分別附加到結(jié)構(gòu)所有構(gòu)件的中間位置，不但可以提高所能識別模態(tài)的數(shù)量，還能提高其模態(tài)對構(gòu)件損傷的靈敏度，這為結(jié)構(gòu)損傷識別提供了有力的條件。

由于分別在每個構(gòu)件附加了虛擬支座，使每個構(gòu)件都有對應(yīng)靈敏度高的頻率，也就是說頻率的數(shù)目大于等于結(jié)構(gòu)構(gòu)件的數(shù)目，所以只利用頻率信息就足夠?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別，而不需要模態(tài)中的振型信息。由模態(tài)分析可以知道，結(jié)構(gòu)頻率理論上由一個測點(diǎn)的響應(yīng)即可以識別出來，但是振型則需要較多測點(diǎn)才能把結(jié)構(gòu)振動的形狀準(zhǔn)確地描述出來。本文基于虛擬支座的方法只需要頻率信息即可，所以該方法理論上只需要兩個傳感器:一個傳感器用于構(gòu)造虛擬支座，一個傳感器用于識別布置虛擬支座后結(jié)構(gòu)的頻率，然后通過傳感器的移動布置，實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)所有構(gòu)件的測量。利用測量的響應(yīng)由約束子結(jié)構(gòu)方法分別在每個構(gòu)件上布置虛擬支座，使各個對應(yīng)虛擬結(jié)構(gòu)都含有對相應(yīng)構(gòu)件損傷靈敏較高的模態(tài)(頻率)，從而收集并聯(lián)合所有這樣的頻率，利用頻率靈敏度矩陣對損傷進(jìn)行迭代求解。

2.1 理論推導(dǎo)

其中:Δμi= μi- μi，0(i=1，2，…，n)。

式中:

若將所有虛擬結(jié)構(gòu)Gj(j=1，…，n)中挑選出來的頻率都寫成式(5)的形式，然后將所有這些表達(dá)式排列在一起為:

式中:

所以損傷因子的可由式(7)進(jìn)行迭代求出。

2.2 操作步驟

將結(jié)構(gòu)的構(gòu)件進(jìn)行分組，在每組各個構(gòu)件上布置傳感器，每組構(gòu)件的選取和傳感器的布置原則如下:

(1)首先根據(jù)靈敏度分析，確定虛擬支座的位置，一般是布置在構(gòu)件的中間位置;

(2)傳感器的布置要盡量與虛擬支座的位置一致，這樣可以實(shí)現(xiàn)將每個傳感器都可以轉(zhuǎn)化為虛擬支座，可以減少測試的次數(shù)，降低試驗(yàn)成本;

(3)傳感器的優(yōu)化的布置一般要求傳感器盡量分散布置，這樣可以捕捉到更多的結(jié)構(gòu)模態(tài)信息。因?yàn)閭鞲衅鞯牟贾靡M量與虛擬支座的位置一致，所以每組構(gòu)件的選取也分散。

分別對每組構(gòu)件進(jìn)行試驗(yàn)，利用測量的動力響應(yīng)由約束子結(jié)構(gòu)方法分別在構(gòu)件上附加虛擬支座，并由構(gòu)造的響應(yīng)識別出虛擬結(jié)構(gòu)的頻率，最后聯(lián)合所有挑選頻率和對應(yīng)虛擬結(jié)構(gòu)的有限元模型，由靈敏度矩陣采用梯度迭代的方法對損傷進(jìn)行優(yōu)化識別。詳細(xì)流程見圖1。

圖1 流程圖Fig.1 The flow chart

3 數(shù)值模擬

3.1 空間框架模型

三層空間框架有限元模型，如圖2，每個梁和柱都劃分為4個單元，每個板對應(yīng)劃分16個單元。層高3.6 m，橫向兩跨，每跨3.9 m，縱向一跨 4.2 m，柱子截面0.4 m ×0.4 m，板的厚度0.12 m，梁的截面0.4 m ×0.2 m。結(jié)構(gòu)的彈性模量 0.345 GPa，密度 2 600 kg/m3，結(jié)構(gòu)的前兩階阻尼為0.01。

假設(shè)框架結(jié)構(gòu)中只有柱損傷，其中 7個柱發(fā)生損傷，損傷柱的編號為 2、3、6、8、10、11 和15，各柱損傷后剛度為原未損傷時剛度的70%、 80%、50%、 50%、70%、60% 和70%，其具體損傷因子見圖3，損傷前后結(jié)構(gòu)的前10階模態(tài)見表1。假設(shè)損傷的位置和程度均未知，所以所有18個柱的損傷因子都需要識別，當(dāng)識別出的損傷因子為1時表示柱未損傷，當(dāng)損傷因子小于1時柱損傷。下面先對柱進(jìn)行靈敏度分析，然后利用含有5%的響應(yīng)構(gòu)造虛擬結(jié)構(gòu)并由靈敏度矩陣通過梯度迭代的方式識別柱的損傷。

圖2 框架Fig.2 The frame model

圖3 柱的損傷因子Fig.3 Damage extents of pillar

表1 結(jié)構(gòu)的頻率Tab.1 The natural frequencies of structure/Hz

3.2 柱的靈敏度分析

利用未加虛擬支座的原始有限元模型，進(jìn)行前10階頻率的靈敏度分析，其相對靈敏度矩陣見圖4，矩陣中靈敏度的數(shù)值很小而且很接近，可以看出各個柱的損傷對各階頻率影響較小且相互之間相關(guān)性很強(qiáng)，這說明矩陣具有較強(qiáng)奇異性，很難準(zhǔn)確識別損傷。

如圖5在柱12上附加虛擬支座，注意圖5中虛擬支座為虛擬的鉸支座，只限制垂直于構(gòu)件方法的一個方向的位移，對轉(zhuǎn)角并不約束。計(jì)算附加虛擬支座后虛擬結(jié)構(gòu)G12的靈敏度，如圖6，可以看出虛擬結(jié)構(gòu)G12的第三階和第八階頻率關(guān)于柱12的靈敏度大于其他柱的靈敏度很多，那么提取這兩階模態(tài)和對應(yīng)的靈敏度。同理找到虛擬結(jié)構(gòu)G1～G18所有這樣靈敏度高的頻率，把這些頻率收集在一起，一共36個頻率，見表2，利用36個頻率識別18個柱子的損傷，已知的條件數(shù)大于未知數(shù)，理論上是可行的。將所有這些頻率對應(yīng)虛擬結(jié)構(gòu)的靈敏度依次排列在一起成為一個矩陣，其數(shù)值見圖7，圖中的靈敏度矩陣為對角元素占優(yōu)的矩陣，所以可以直接利用最小二乘的方法簡單和快速求解式(6)線性方程組，見式(8)。

圖4 相對靈敏度Fig.4 Relative sensitivity

圖5 在柱12上施加虛擬支座(虛擬結(jié)構(gòu)G12)Fig.5 Adding virtual support on pillar 12(virtual structure(G12)

圖6 虛擬結(jié)構(gòu)G12的相對靈敏度Fig.6 The relative sensitivity of virtual structure G12

3.3 損傷識別

先以在柱12上布置虛擬支座為例，介紹利用結(jié)構(gòu)的響應(yīng)構(gòu)造虛擬結(jié)構(gòu)G12，然后聯(lián)合所有虛擬結(jié)構(gòu)識別所有柱的損傷。實(shí)際工程中，噪聲的影響和模態(tài)識別的誤差是不可避免的，本小節(jié)利用含5%噪聲的整體結(jié)構(gòu)響應(yīng)對方法進(jìn)行驗(yàn)證。

3.3.1 虛擬結(jié)構(gòu)G12的構(gòu)造

分別在柱10、12和17的中間布置加速度傳感器，記為S1、S2和S3，見圖8。用圖9來模擬小錘激勵，分別激勵在S1和S2的位置，所得的含5%噪聲的加速度響應(yīng)為圖10。采樣頻率500 Hz，采樣的總時間為1 s。

圖7 相對靈敏度的矩陣Fig.7 The matrix of selected relative sensitivity

表2 選取的頻率Tab.2 The selected natural frequencies

選取S1激勵所得響應(yīng)為基本響應(yīng)，S2點(diǎn)激勵的響應(yīng)為約束響應(yīng)，將兩者代入約束方程可以構(gòu)造出虛擬結(jié)構(gòu) G12，即把柱12的加速度傳感器S2構(gòu)造為虛擬支座，如圖 11，對應(yīng)構(gòu)造的S1和S3的響應(yīng)見圖12，與直接由損傷虛擬結(jié)構(gòu)G12的有限元模型計(jì)算響應(yīng)一致，驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性。利用圖12構(gòu)造的響應(yīng)，識別虛擬結(jié)構(gòu)G12的8個頻率，見表3。

圖8 傳感器布置與激勵Fig.8 Sensors placement and hammer excitation on pillar 12

表3 識別虛擬結(jié)構(gòu)G12的頻率/HzTab.3 Identified natural frequencies of G12/Hz

由于激勵的形式和作用點(diǎn)的限制，有些低階模態(tài)并不能被激發(fā)出來。為了準(zhǔn)確在表3中挑選出靈敏度較高的頻率，并與結(jié)構(gòu)模態(tài)的階數(shù)相匹配，需要結(jié)合理論結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行分析:① 利用理論虛擬結(jié)構(gòu)G12分析在小錘激勵下可被激勵的模態(tài)和對應(yīng)的階數(shù);② 結(jié)合表2中所列的理論虛擬結(jié)構(gòu)G12模型的頻率與表3識別的頻率進(jìn)行比較，從識別的頻率中進(jìn)行估計(jì)或挑選。根據(jù)上面兩個步驟，并結(jié)合靈敏度分析，可確定表3中虛擬結(jié)構(gòu)G12對柱12靈敏度高的頻率為 5.92 Hz和 19.19 Hz。

圖9 小錘激勵Fig.9 Hammer excitation

圖10 含5%噪聲結(jié)構(gòu)的響應(yīng)Fig.10 The 5%noise polluted response

3.3.2 聯(lián)合虛擬結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別

利用圖8中傳感器相同的布置，如果將在柱17上S3點(diǎn)激勵的響應(yīng)作為約束響應(yīng)，作用在S1和S2的響應(yīng)作為基本響應(yīng)，則可以利用約束方程將S3轉(zhuǎn)化為虛擬支座，構(gòu)造出虛擬結(jié)構(gòu)G17。同理，如果將在柱10上S1點(diǎn)激勵的響應(yīng)作為約束響應(yīng)，則可以構(gòu)造出約束虛擬結(jié)構(gòu)G10。也就是說，如果在框架上布置3個加速傳感器，則可以構(gòu)造出3個虛擬結(jié)構(gòu)，利用這三個傳感器通過6種布置方式，就可以實(shí)現(xiàn)構(gòu)造出所有柱所對應(yīng)的虛擬結(jié)構(gòu)G1～G18，這些所有識別的靈敏度高的頻率集合見表4。

圖11 虛擬結(jié)構(gòu)G12Fig.11 Isolated structure G12

圖12 虛擬結(jié)構(gòu)G12的響應(yīng)Fig.12 The responses of virtual structure G12

表4 挑選出的頻率/HzTab.4 The selected identified natural frequencies/Hz

利用表4的識別的36個頻率，聯(lián)合18個虛擬結(jié)構(gòu)G1～G18進(jìn)行，優(yōu)化迭代5次識別出柱的18個損傷因子，見圖13，由結(jié)果可以看出，第二三層的12根柱子識別的比較準(zhǔn)確，而第一層的六個柱子中有三根誤差比較大。導(dǎo)致底層柱識別誤差的主要原因是由于其一端本身已經(jīng)是固結(jié)，所以附加的虛擬支座對其靈敏度增加的不明顯，由圖7也能看出，相對其他柱，底層柱的相對靈敏度較低。

圖13 識別的損傷因子Fig.13 Identified damage extents

這里借助底層柱已經(jīng)存在一個固定支座的特點(diǎn)，在柱子的另一個邊界附加虛擬支座，如圖14(a)，兩個支座雖然不能將底層柱完全分離出整體，但可以使底層柱具有較強(qiáng)的局部動態(tài)特性，削弱整體結(jié)構(gòu)對底層柱的影響，使其在局部激勵作用下主要以一階局部模態(tài)振動，這階模態(tài)對應(yīng)的頻率為局部主頻率［11］，局部主頻率關(guān)于其構(gòu)件具有很高的靈敏度。如圖14(a)布置兩個加速度傳感器S1和S2，分別沿兩個傳感器方向進(jìn)行激勵。將S1轉(zhuǎn)化為虛擬支座，可構(gòu)造出圖14(b)附加虛擬支座后的響應(yīng)，見圖15。利用構(gòu)造的響應(yīng)識別出對應(yīng)的局部主頻率。分別在底層柱上附加虛擬支座，對應(yīng)的6個柱的局部主頻率見表5。

圖14 虛擬支座Fig.14 Virtual support

圖15 構(gòu)造的響應(yīng)Fig.15 The constructed responses of the structure with virtual support

表5 局部主頻率/HzTab.5 The Identified local primary frequency/Hz

聯(lián)合表4和表5共42個頻率識別柱的損傷，可以很準(zhǔn)確地識別出損傷因子，結(jié)果見圖16，驗(yàn)證了方法的有效性。

圖16 最終識別的損傷因子Fig.16 The final identified damage extents

4 結(jié)論

本文提出基于虛擬支座的損傷識別方法，利用以三層空間框架模型準(zhǔn)確的識別了柱的損傷，并得到以下主要結(jié)論:

(1)在每個構(gòu)件上都布置虛擬支座，不但提高了模態(tài)對局部損傷的靈敏性，而且增加識別模態(tài)的數(shù)據(jù)量，進(jìn)而提高了損傷識別的精度和計(jì)算效率。

(2)通過少數(shù)傳感器的排列組合布置，就可以實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)的損傷識別，降低了試驗(yàn)的成本。

該方法要求整體結(jié)構(gòu)為線性結(jié)構(gòu)，該局限需進(jìn)一步研究。

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