汽車發動機懸置系統的多目標穩健優化設計*

謝 展，于德介，李 蓉

(湖南大學，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

前言

發動機懸置系統作為發動機與車架(車身)的連接部件，對整車振動噪聲的控制有重要影響。文獻［1］中應用SQP(sequential quadratic programming)優化算法，對懸置剛度進行優化，使懸置系統的隔振性能顯著提高。文獻［2］中以城市公交車為研究對象，應用3種解耦技術對懸置系統進行解耦設計，降低了動力傳動系統的低頻振動向車身的傳遞。

針對發動機懸置系統的多目標優化設計，國內外已做了大量研究工作。文獻［3］中以整車人機系統為背景，提出了以人體垂向振動加速度均方根的加權值最小和發動機懸置系統能量解耦為綜合目標函數的優化模型;文獻［4］中開發了用于動力總成懸置系統性能分析和優化設計的軟件——SMMOUNT，并利用該軟件進行優化設計，使懸置系統的隔振性能得到改善;文獻［5］中應用一種新的種群多樣性保留機制的遺傳算法，對5自由度的汽車振動模型進行多目標優化計算，顯示出多目標優化設計的優越性。但在現有的發動機懸置系統多目標優化設計中，沒有考慮懸置參數的不確定性。

多目標穩健優化方法［6-7］考慮了設計參數的不確定性對目標函數的影響，使設計結果既優化又穩健。文獻［8］中提出一種與負載相關的控制器設計方法，對汽車主動懸架系統進行多目標穩健優化設計。文獻［9］中通過加權方法將多目標優化問題轉化成單目標優化問題，應用蒙特卡洛方法進行分析，提高了懸置系統的穩健性，但并沒有同時實現6個方向上的完全解耦。采用加權方法處理多目標優化問題有其固有劣勢:不能很好地同時滿足各目標函數，特別是在各目標函數之間相互矛盾時。

本文中將多目標穩健優化設計方法應用到汽車發動機懸置系統的設計中，首先建立了發動機懸置系統的6自由度動力學模型，并由此計算懸置系統各個方向上的解耦率和怠速工況下的動反力。以懸置剛度為優化變量且考慮其不確定性，假設懸置剛度服從正態分布，方差為均值(最佳值)的15%。以6個方向上的解耦率、懸置系統的動反力和動反力的穩健性函數等8個參數構成Pareto多目標優化的目標函數向量，從而兼顧到解耦率、動反力的優化和動反力的穩健性。動反力的穩健性函數通過拉丁超立方抽樣得到。應用遺傳算法對優化模型進行全局尋優，找到所有Pareto最優解，最終得到既優化又穩健的解。整個計算過程均在Matlab環境中編寫相關計算程序完成。以某型轎車為例，對其發動機懸置系統進行多目標穩健優化設計，優化結果驗證了多目標穩健優化設計的有效性。

1 懸置系統的解耦率與動反力

1.1 懸置系統的動力學模型

動力總成懸置系統的固有頻率一般在30Hz以下，遠低于動力總成的彈性模態頻率(一般在60Hz以上)。因此，在處理工程實際問題時，可將發動機和車架視為剛體，建立一個6自由度懸置系統動力學模型，如圖1 所示［1］。

在懸置系統6自由度動力學模型中，定義定坐標系G0—XYZ:原點G0為動力總成的質心;X軸與汽車前進的方向相反;Y軸與曲軸中心線重合并指向發動機前端;Z軸垂直向上。發動機的6個自由度分別為:質心沿X、Y、Z 軸3個方向的平動 x、y、z和繞 X、Y、Z 軸的轉動 θx、θy、θz，其廣義坐標為{X}=(x y z θxθyθz)。

根據拉格朗日方程，可推導出懸置系統的自由振動微分方程為

式中:{X}為廣義坐標;［M］為質量矩陣;［K］為剛度矩陣;［C］為阻尼矩陣。

橡膠懸置元件的阻尼很小，對固有頻率影響較小，因而可忽略阻尼。式(1)可改寫為

根據上述動力學模型，在測得發動機的質量、質心坐標、轉動慣量與慣性積以及各懸置的剛度、安裝位置與角度后，便可求得汽車發動機懸置系統的6階固有頻率和振型等動力學參數。

1.2 懸置系統的解耦率

懸置系統的質量矩陣和剛度矩陣一般為非對角陣，表明系統同時存在慣性耦合和彈性耦合。耦合將對懸置系統的隔振性能產生不利影響，為此須進行解耦設計。但是，6個自由度方向上的解耦重要性并非完全等同，其中以繞曲軸(Y軸)方向和垂直(Z 軸)方向的影響最大［3］。

根據懸置系統的質量矩陣和剛度矩陣，可求出系統在各階主振動下的能量分布，其矩陣形式定義為能量分布矩陣E。當系統以第i階固有頻率振動時，E中第k行l列元素為

式中:Mkl為質量矩陣的第k行l列元素;φi為系統的第i階主振型;(φi)k為系統第i階主振型的第k個元素;(φi)l為系統第i階主振型的第 l個元素;ωi為系統的第i階固有頻率。

懸置系統在第i階模態下，第k個廣義坐標的振動能量占系統總能量的百分比為

式中:Iki為系統第k個廣義坐標在第i階模態下的解耦率，表征了系統在第k個廣義坐標上的解耦程度。Iki數值越大，代表著系統在第k個廣義坐標方向上的解耦程度越高，反之則耦合程度越高。一般認為，當某個方向上的能量解耦率超過85%時，該方向已實現近乎完全解耦。

1.3 懸置系統的動反力

在怠速工況且不考慮阻尼的情況下，發動機懸置系統的振動微分方程為

式中{Fe}為怠速工況下系統所受的簡諧激勵力矢量。

系統受迫振動時的穩態解為

第i個懸置傳遞給車身的動反力［1］為

式中:［ki］為第i個懸置在全局坐標系中的剛度矩陣;［ri］為第i個懸置位置坐標的反對稱陣。

怠速工況下懸置系統傳遞給車身的動反力為

式中:fxi、fyi、fzi分別為第i個懸置在怠速工況下動反力的3個分量。

發動機作為汽車兩大振動源之一，其振動傳遞到車身的動反力大小，直接影響汽車的NVH性能，其值越低，則懸置系統隔振性能越好。

2 懸置系統多目標穩健優化設計

在多目標優化設計中，目標函數向量包含有多個目標函數。這些目標函數通常都是相互沖突的，一個目標性能的改善常伴隨著另一個目標性能的下降。因此，不存在一個優化解同時使所有目標函數達到最優，但存在能同時較好地滿足各個目標函數的解，即 Pareto最優解［5］(也稱有效解)。

Pareto多目標優化設計主要有兩個分析步驟:(1)找出所有的Pareto最優解，其Pareto最優解集的完整性決定了設計工作的成敗，而具有平行性的優化算法能夠很好地解決這個問題;(2)在所有的Pareto最優解中找到最符合設計要求的一組Pareto最優解，其解決方法很多，如排序法、列表法和加權法等。因此，隨著優化算法的不斷發展，對多目標優化問題的處理從最初的加權多目標優化設計發展到Pareto多目標優化設計，其確定性優化設計模型為

式中:f1(X)～fn(X)為須進行優化的n個目標函數;(f1(X)，f2(X)，…，fn(X))為優化目標函數向量;S為優化設計空間;X為優化設計變量。

然而，上述模型未考慮設計變量的不確定性，使設計結果不能很好地滿足實際工程要求。發動機懸置系統在汽車行駛過程中會受到各種不確定性因素的影響，并且懸置元件在生產制造過程中同樣要受到各種不確定性因素的影響，導致懸置系統的參數并不能達到最優設計目標值。同時，機械零部件的制造精度受到制造設備和現有技術條件的制約，僅著眼于提高零部件精度對控制生產成本非常不利，且不符合現代設計理念。因此，懸置系統的穩健設計逐漸為設計人員所重視，其設計思路是:承認設計參數的波動，通過調整其公稱值并控制其公差范圍來控制零部件的性能，達到降低零部件的生產制造安裝和使用成本的目的。

在機械制造和安裝過程中，參數一般服從正態分布，而目標函數的分布由設計變量的分布決定，因此可通過對設計變量的控制來實現對目標函數的控制。本文中假設設計變量(懸置剛度)服從正態分布，且方差為均值的15%，同時將目標函數的穩健性函數引入到目標函數向量中，以找到既滿足各目標函數要求又滿足穩健性要求的解。所建立的多目標穩健優化模型為

式中:K為設計變量，即懸置剛度，共9個;Kmax與Kmin分別為懸置剛度取值的上下限;f1(K)～f6(K)為懸置系統在6個自由度方向上的解耦率，由式(4)計算得到;f7(K)為懸置系統在怠速工況下動反力的倒數，由式(9)計算得到;fr7(K)為動反力的穩健性函數［10］，其表達式為

式中:μf7與σf7分別為動反力的均值和方差，其比值反映出懸置剛度的不確定性對動反力不確定性的影響，通過拉丁超立方抽樣［11］得到其值。

在建立懸置系統多目標穩健優化模型后，找到一組既優化又穩健的設計解主要包含兩個步驟:(1)在不考慮穩健性函數的多目標模型中應用遺傳算法找到所有的Pareto最優解，這些解都能滿足解耦率和動反力的要求;(2)對每一組Pareto最優解進行拉丁超立方抽樣，以評價每一組Pareto最優解動反力的穩健性，并在所有的Pareto最優解中找到穩健性好的設計解，最終得到既優化又穩健的解。拉丁超立方抽樣一般有以下3個步驟:第1步是對每一維(即每個隨機參數)依據其概率分布函數進行等概率分層，共分成互不重疊的m個區間;第2步是在每一維的每一個區間里隨機抽取一個數;第3步是從每一維中隨機抽取一個數組成隨機參數向量。將拉丁超立方抽樣得到的隨機參數向量代入動反力函數，進而計算出動反力的均值和方差，二者的比值即為動反力穩健性函數。

懸置系統多目標穩健優化設計流程見圖2。

3 優化設計實例

以某型轎車的發動機懸置系統為對象進行多目標穩健優化設計，以驗證該方法的有效性。懸置系統采用三點支撐，在低速和怠速工況下其靜剛度值［12］如表1 所示。

表1 優化前各懸置的靜剛度值 N/mm

優化前該車懸置系統動反力F=673.17N，各階固有頻率和能量分布百分比如表2所示。

從表2可看出，汽車發動機懸置系統的最低頻率為5.10Hz，最高為25.78Hz，固有頻率的區間范圍偏大，會增加共振現象發生的概率。懸置系統各自由度的能量分布也不理想，雖然有3個方向上的能量分布百分比超過了90%，但是兩個最重要的方向——繞曲軸(Y軸)方向和垂直(Z軸)方向上的能量分布百分比均未超過85%，沒有實現完全解耦，振動耦合現象比較嚴重。

表2 優化前懸置系統固有頻率和能量分布百分比

考慮懸置剛度的不確定性，應用蒙特卡洛法對動反力進行隨機模擬計算，并分析懸置剛度不確定性對動反力不確定性的影響。假設懸置剛度服從正態分布，方差為均值(最佳值)的15%，可得動反力均值為μF=680.39N，方差為σF=71.83，由此可知動反力的穩健性函數值為9.47。

對于上述懸置系統采用多目標穩健優化設計方法進行優化，以汽車發動機懸置系統的剛度參數為優化對象，建立如式(10)所示的懸置系統多目標穩健優化模型，并按圖2的優化設計流程進行求解。懸置剛度過大雖然能減小發動機和懸置系統的位移，但會使懸置系統的動反力增加，從而導致振動傳遞力的上升;懸置剛度過小則會導致發動機和懸置系統的位移增大，造成發動機與其它零部件間的運動干涉［12］。在優化計算過程中，懸置剛度的上下限分別取為305N/mm和50N/mm。應用遺傳優化算法，并在Matlab環境中編寫相關計算程序求解懸置系統多目標穩健優化模型，得到優化后的剛度參數如表3所示。優化后得到的系統固有頻率和能量分布百分比如表4所示。

表3 優化后各懸置的靜剛度值 N/mm

由表3和表4可看出，對懸置剛度進行調整，提高了懸置系統的隔振性能。優化后懸置系統的最低頻率為6.82Hz，最高頻率為25.17Hz，減小了固有頻率的區間范圍。雖然在X方向和Y方向上的能量分布百分比稍有降低，但其它方向的能量分布百分比提高了，特別是繞Y軸和繞Z軸方向。系統實現了6個自由度方向的近乎完全解耦，減小了系統的振動耦合現象，提高了隔振性能。

表4 優化后懸置系統固有頻率和能量百分比

優化后的動反力F=24.89N，其值大幅降低。經拉丁超立方抽樣，動反力均值為μF=26.10N，方差為σF=1.41，動反力的穩健性函數值為18.51，相比優化前穩健性得到了較大提高。

4 結論

(1)將多目標優化與穩健優化設計相結合，對發動機懸置系統進行多目標穩健優化設計。該方法考慮了懸置剛度的不確定性，并將動反力的穩健性函數加入到多目標優化模型的目標函數向量中，從而兼顧了多個目標函數的優化及其穩健性。本文方法先通過遺傳算法求得多目標優化模型的Pareto最優解集，再通過拉丁超立方抽樣從Pareto最優解集中找到穩健性好的優化設計解，使汽車發動機懸置系統的設計結果既優化又穩健。

(2)對某轎車發動機懸置系統進行多目標穩健優化設計，縮小了懸置系統固有頻率的區間范圍，降低了共振現象發生的概率;懸置系統在6個自由度方向上的解耦率均超過85%;動反力明顯減小，其穩健性也明顯提高，滿足工程實際要求。

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