帶調諧液體阻尼器結構的有限元模擬分析①

呂 暉，張煒超，張向紅，呂林濤，溫增平

（1．重慶大學土木工程學院，重慶 400031；2．中國地震局蘭州地震研究所，甘肅 蘭州 730000；3．西安理工大學計算機學院，陜西 西安 710048；4．中國地震局地球物理研究所，北京 1000081）

0 引言

隨著建筑業的發展，土木工程結構向著高聳、輕質、大體、和高強方向發展，致使結構的剛度和阻尼不斷降低，從而按照傳統的抗震設計方法很難滿足強震下的舒適度和安全性要求。為了克服傳統抗震設計方法的不足，所以研究者們提出了結構控制這一新的方法。調諧液體阻尼器（TLD）就是其中一種有效的結構控制方法。

到目前為止，大多數對TLD的研究都集中在如何利用TLD減小風荷載對結構的作用上面，可以說在這方面確實也取得了巨大的進步。然而由于地震的不確定性，并且就荷載本身而言，地震就比風荷載要復雜，再加上地震中結構的強非線性行為，所以相比對風振的控制，研究TLD對結構地震反應控制就顯得要困難得多，正是以上的原因，導致TLD減震方面的相關研究還很不完善，關于TLD減震規律的研究仍是這一技術應用的一項很必要的基礎性工作。本文采用有限元分析的方法，將TLD體系簡化為平面模型，通過對有限元模型的減震效應分析，研究了TLD的減震規律。

1 TLD的減振機理

TLD－結構體系在受到地震或風荷載作用下發生振動，將帶動水箱一起運動，而水箱的運動又會使箱中的液體產生晃動，并引起表面的波浪，這種液體晃動和波浪對箱壁的動壓力差，以及液體隨結構一起運動引起的慣性力，就構成了建筑物的減振力。單自由度結構－TLD體系，其運動方程可以寫為

式中m、c和k分別是結構的質量、阻尼和剛度系數；P（t）是作用于結構的動力荷載；PTLD是TLD中液體晃動和波浪所產生的控制力。通過適當調整水箱中液體和波浪的晃動頻率，即調整控制力PTLD的作用周期和大小，就可使TLD的控制效果最佳。

2 流固耦合有限元分析方法的原理

在流固耦合分析中，流體壓力作用到結構上，同時結構變形引起流體域發生改變。對于大多數耦合問題，ADINA將計算域分為流體域和固體域，流體模型和固體模型通過定義材料屬性和邊界條件等模型參數在各自計算域中得以確定。

2．1 運動與動力條件

一般來說耦合總是沿著兩計算域邊界發生。在ADINA中，應用到流固耦合邊界上的基本條件是運動條件（位移協調條件）和動力條件（應力平衡條件）：

另一方面，根據動力條件，流體的壓應力可沿著耦合邊界積分得到流體壓力，再作用到結構的耦合節點上去。其積分方程如下：

其中hd為結構的虛位移。

2．2 流體和結構的獨立網格劃分

流體模型和結構模型分別采用不同的單元和網格劃分，兩種模型的有效性獨立限制各自單元的選取。因此在耦合邊界兩種模型不可能共用節點，具體見圖1。

圖1 流體和結構的耦合節點Fig．1 Coupling of fluid and solid nodes

由于在流體域和固體域內采用了不同的網格劃分，所以在邊界上的兩種網格存在著不相容的問題，于是在兩個模型中相同的幾何體也存在著不同的離散表示法。然而兩種離散化邊界之間的距離必須在一個很小的距離以內，因此ADINA在邊界之間定義了兩個相對位移：

在這里，df是流體節點到結構離散化邊界的距離；ds是結構節點到流體邊界的距離；Ds和Df分別是結構邊界的長度，分別被限制在0．001到1之間（圖2）。

圖2 流體與結構耦合邊界的距離Fig．2 Measure of the distance between fluid and solid FSI boundaries

2．3 一致時間積分

在流固耦合分析中流體方程與結構方程的時間積分必須保持一致。盡管流體與結構模型中采用了不同的坐標系，但是在流固耦合邊界上卻采用了相同的坐標系，即拉各朗日坐標系，因此時間積分首先發生在耦合邊界，然后再把所得的積分結果應用到整個計算域內。

2．4 耦合系統的有限單元方程

令耦合系統的求解向量為X＝ （Xf，Xs），其中Xf和s分別為定義在流體和結構節點上的流體和結構求解向量。因此，ds＝ds（Xs）和τs＝τs（Xs）。流固耦合系統的有限單元方程可表示為

2．5 耦合系統的求解

2．5．1 耦合系統的迭代收斂標準

對于大多數耦合問題，流體的壓力將會引起結構的變形，同時結構的位移也會改變流體的形狀，這也是為什么要進行流固耦合分析的原因。

盡管結構可以是線性的，但是由于流體方程是非線性，所以耦合方程一定是非線性的，因此，必須用迭代程序求解方程，換句話說，在流固耦合問題中，我們將會得到迭代解：X1，X2，…。在 ADINA中，定義應力和位移作為迭代的收斂標準，其中應力標準和位移標準如下：

εr和εd分別為位移收斂和應力收斂的容差；ε0為預設常數，其目的是控制位移和應力不致太小，否則將無法控制收斂。

2．5．2 迭代法

這種計算方法也稱之為分塊法，在這種求解計算中流體和結構的求解變量可以得到充分的耦合。流體方程和結構方程的計算是交替進行的，并且在求解過程中，兩方程的迭代解也在不停的進行交換，只有當耦合方程的求解達到收斂，迭代才算完成。在這種方法的求解過程中ADINA引用了一個控制參數：松弛因子，這個因子對求解許多復雜問題都很有用。由于流體和固體模型的求解是在不同的矩陣下進行的，所以這個因子的使用有助于迭代計算的收斂。對于這個求解方法，時間步長和求解域都是由流體模型控制的，而在結構模型中定義的所有時間函數必須要覆蓋整個計算域。控制耦合系統收斂的參數也是在流體模型中定義的，其中這些參數是位移容差、應力容差、松弛因子、收斂標準等。相對于直接法，迭代法要求的內存更少，因此，它更適合于穩態分析。

2．5．3 直接法

這種方法也稱為同時求解法。和迭代法一樣，在直接法中的流體和結構變量也可以得到充分耦合。流體方程和結構方程在同一個坐標系下組合和求解，因此它們在一個矩陣系統下線性化。這個矩陣系統可寫為

與迭代法一樣，流體應力和結構位移也可通過應力松弛因子和位移松弛因子得到松弛。對于直接法來說，所有控制參數的設定基本上與迭代法相同，但是直接法的求解速度要比迭代法快，而且非常試用于瞬態分析。

3 帶調諧液體阻尼器結構的有限元建模分析

3．1 有限元模型的建立

建模對象為一個帶屋頂水箱的20層平面框架，其中水箱就起到調諧液體阻尼器的作用。在ADNIA中，處理流固耦合問題必須分別建立流體模型和結構模型，所以在建立有限元模型時此20層模型被分解為如圖3和4所示的結構有限元模型和流體有限元模型。由于考查的是受調諧液體阻尼器影響下結構整體的動力響應，所以結構可采用由梁單元組成的桿系模型，這樣不僅符合實際，而且還節約了求解時間。流體模型則采用ADINA－F提供二維平面流體單元，流體材料屬性選為不可壓縮層流。在建模過程中特別要值得注意的是：ADINA規定二維流體單元必須建立在YOZ平面，所以為保證與流體模型的一致性，結構模型也必須建立在YOZ平面。

圖3 結構有限元模型Fig．3 FE Structure model

圖4 流體有限元模型Fig．4 FE Fluid model

在建立流體模型時，邊界條件的設置顯得尤為重要，為此ADINA－F提供了包括流固耦合邊界在內的十四種特殊邊界，對于本模型來說，考慮到流體要隨結構發生晃動，所以把流體的上表面選為自由表面，而其余的與結構接觸的表面都設為流固耦合表面。

在瞬態分析中，為了考察TLD對結構的減振特性及其流場的變化特性，特選用天津波、El Centro波和Taft波作為此流固耦合模型的動力荷載的輸入。另外在瞬態求解過程中，對固體方程和流體方程分別采用Newmark－β隱式時間積分和α－隱式時間積分方法，可以降低時間步長對計算穩定性的影響。此模型的計算采用ADINA求解非線性流故固耦合動力學方程的Full Newton－Raphson迭代方法，時間步長對收斂性有很大的影響，但是選擇合適的的力松弛因子和位移松弛因子可以提高數值計算收斂的穩定性。

Newton－Raphson迭代法中線性化方程系數矩陣的條件數對其求解的穩定性和效率有很大的影響，過大的條件數會導致計算機產生舍入錯誤而中斷計算。可以通過網格優化、采用合適的單元制和無量綱化，使系數矩陣的中最大和最小的對角元素之比不大于1011，以降低其條件數。這對本模型中采用的將固體模型和流體模型矩陣裝配到一起的直接耦合求解法尤為重要。

3．2 模擬計算結果分析

3．2．1 模型的驗證

為了驗證此流固耦合模型的正確性，對模擬的計算結果與由試驗得到簡化模型的計算結果進行了對比。圖5給出了這兩種模型在El Centro波作用下得到位移時程，可以清楚得看到兩條位移時程曲線吻合較好，其中簡化模型對于結構頂點位移峰值的控制效果為20．9%，流固耦合模型對結構頂點位移峰值控制效果達到了22．4%，可見TLD對結構振動的控制效果也是十分接近的，說明此流固耦合模擬效果是具有相當的可信度的。另外從圖中可見，兩種模型的反應時程存在著一定的相位差，這是由于簡化模型中的彈簧單元和流固耦合模型中的水單元這兩種材料對結構振動的敏感度不同所造成的，但這并不會改變TLD的基本特性。

圖5 簡化模型與流固耦合模型計算結果的比較Fig．5 Comparison of Displacement time history at the top of storey between the simplified model and the fluid－structure interaction model

3．2．2 TLD的流場變化特性

圖6 輸入EI（entro波）不同時刻流體的壓力場Fig．6 The fluid pressure field at different time under E1Centro wave

流體作用在水箱壁上的作用力是通過對耦合面上結構節點附近的液體應力進行積分得到的，壓力場直接決定了水箱壁受到的流體作用力。圖6分別是流固耦合模型在El Centro波作用下不同時刻液體的壓力場，其中圖6（a）為結構剛開始振動時的壓力場，圖6（b）為結構振動過程中某一時刻的壓力場，圖6（c）為振動幅值最大時的壓力場。

從圖中可以看出，結構剛開始振動時，由于振動的幅值較小，所以流體的壓力場也比較均勻；隨著結構振動幅值的增大，壓力場逐漸呈現局部不均勻性，并且這種不均勻性會越來越明顯，最終形成局部壓力集中。產生這種局部不均勻性的原因是由于晃動的流體作用在水箱壁上后，其流動方向發生了改變，形成了“駐點”效應，引起局部壓力增大，即圖8壓力最高區域，而遠離晃動方向的流體呈現低壓力狀態。流場的變化對結構的振動程度是一一對應的，這充分體現了流體與結構之間的耦合作用，也就是說流場變化越強烈，流體晃動對結構的反饋就越顯著，從而實現了水箱對結構振動的控制作用。

3．2．3 TLD對結構的減振特性

由前面的對TLD流場特性的分析知道，流體的晃動對結構的減振在很大程度上起到了有利的作用。同時根據振動理論，當流體的晃動頻率與結構的自振頻率相調諧時，可以增大流體晃動幅度。處于對這方面的考慮，特對水箱的尺寸和水深進行了調整，調整后的水箱晃動頻率與結構的自振頻率比達到了0．96。另外，由于流體對結構耦合作用是通過流體晃動時產生的慣性力形成的，所以取一個合適的質量比也是很重要的，本文取的質量比是4．13%。

表1給出了輸入三種地震波利用調整后TLD進行振動控制時，結構頂層受控前后加速度和位移的結果比較。由表中的結果可得：TLD在這三條波的作用下對結構都起到了不同程度的減振作用，盡管在減振率上確實有所差異，但即便是減震率最低的Taft波，其減震效果也達到了22．4%，還是非常理想的。由此可以得出，頻率比、地震動、質量比這三個因素在不同程度上影響TLD對結構的減振性能，其中影響最為顯著的是頻率比。

通過以上分析，我們可以發現，經過適當設計的TLD可以充分發揮其對結構的減振特性。

表1 結構頂層受控前后加速度和位移的結果對比Table 1 The analysis results of top floor of the structure with TLD

5 結語

本文探討了帶調諧液體阻尼器結構的流固耦合有限元分析方法。這種方法有效的模擬結構與調諧液體阻尼器之間的流固耦合作用，較為準確的預測了調諧液體阻尼器對結構的減振特性及其流場的變化特性。這種方法減小了對實驗測試的依賴性，并對調諧液體阻尼器的工程應用具有一定的指導意義。

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