近地震波的小波相對能量分布特征分析①

許康生，李 英，李秋紅

（中國地震局蘭州地震研究所，甘肅 蘭州 730000 ）

0 引言

地震波攜帶著豐富的震源信息和路徑介質信息，人們希望通過對地震信號的分析獲取所關注的信息。對地震信號處理最經典的方法是傅里葉變換，但傅里葉變換是純頻域的分析方法，處理時丟失了時間信息。又因為傅里葉變換嚴格要求系統的線性、信號的平穩性，對于非平穩信號表現出很大局限性。后來發展的短時傅里葉變換（STFT），受窗函數的制約，不能在時間域和頻率域同事得到很好的分辨率。小波變換由于具有多分辨率的特征，其時間窗和頻率窗隨信號的具體形態可以動態調整，在時域和頻域表征局部信息的能力得到加強。本文期望通過對地震信號的多分辨率分解，展現地震波在頻域和時域的動態特征和規律。對近地震的相對能量分布特征的分析就是其中的問題之一。

1 地震信號各子帶相對能量分布的數學表達

信號的小波多分辨率分解可表達為

式中S（t）為信號；Cj（k）為小波系數；ψj，k（t）是小波母函數。由于小波簇｛ψj，k（t）｝對L2（R）是 正交的，小波系數由Cj（k）＝＜S，ψj，k＞ 給出，每層的能量就是細節信號的能量：

總能量有下式給出：

我們定義一個歸一化參數ρj表示相對小波能量：

這個時間窗口的總能量為

相對能量分布為

2 各子帶相對能量分布的理論測試

2．1 信號構建

構建信號的采樣率為100sps．構建的正弦信號分為3段：第一段頻率為0．5Hz，第二段頻率為5 Hz，第三段頻率為15Hz。

2．2 小波基的選擇

在信號分析時小波基的選擇也很重要。我們在此選擇了Daubechies小波。其特點是有較好的緊支撐性、光滑性和近似對稱性。小波系數按正整數N分為不同序列（dbN），考慮到地震儀記錄地震波的頻帶范圍，在此我們選用db8。

2．3 理論信號的小波分解及結果檢驗

在Matlab2009a環境下，自編程序實現信號的小波多分辨率分解。圖1展示了原始理論信號和信號重構的對比，可見信號沒有因分解和重構的處理而發生失真。通過對原始信號和重構信號的偏差統計分析，得到二者的方差（SSE）為1．554 2e－019，均方根差為（RMSE）為7．351 2e－012。可以滿足計算分析的要求。

2．4 理論信號的相對能量分布

根據前述信號的相對能量分布的數學表征，對構建信號進行了小波相對能量分布的計算。采用db8小波基將信號分解為8個子帶，每個子帶對應的頻段如表1所示。

結果表明，信號的能量集中在子帶2、4、7，對應信號的15Hz、5Hz和0．5Hz，與信號頻率一致。從理論信號的處理及測試結果表明，這種方法是有效的、可靠的。

3 實際地震波的計算處理

我們選取了9例2010年甘肅地震臺網記錄ML3．3～4．2，震源深度5．9～9．2km的地震，進行小波多分辨率的分解及相對小波能量分布計算。所選地震的有關參數來自中國地震臺網（表2）。

表1 子帶與頻段對應表Table 1 Corresponding table for frequency band and sub－band

表2 選取的地震參數Table 2 Seismic parameters of selected earthquake

3．1 實際地震信號的小波分解和結果檢驗

對選取的9例地震記錄進行了小波多分辨率分解（db8），并進行信號重建。對重建信號和原始信號的統計檢驗結果表明，方差（SSE）量級達到10－19，均方根差（RMSE）的量級達到10－12，與理論信號的誤差量級一致。圖2展示了2010年3月3日武都地震，甘肅文縣臺垂直向記錄的小波多分辨率分解的各層細節和信號重建的波形，可見分解后的細節更清晰的表達了信號的頻率特征和在時序上的變化過程，重建信號與原始信號之間偏差極小。

圖2 文縣臺垂直向地震記錄的小波多分辨率分解和信號重建（2010－03－03武都地震）Fig．2 Multiresolution decomposition and signal rebuild of Wudu earthquake in 2010recorded by Wenxian seismic station）．

表3 地震波峰值子帶Table 3 The sub－band of seismic wave peak

3．2 實際地震波的相對能量分布

采用同樣的計算方法，計算了這9例地震一些近臺記錄垂直向的相對能量分布（表3）。

從表3可見近地震的能量主要集中在3，4，5這3個頻率子帶，估算的頻率范圍在1～15Hz，其中，子帶4能量峰值最為集中，頻率范圍為在3～6Hz，同一地震不同臺站記錄的相對能量分布存在差異。

對不同震中距段內，能量峰值子帶的出現概率作了初步統計，結果如表4?？梢钥闯鲭S震中距增大，峰值能量的頻率由低向高的走勢，這種現象的解釋或許是一個需要進一步探求的問題。

表4 地震峰值能量頻帶的概率統計Table 4 The probability on sub－band of seismic wave peak

圖3 文縣臺垂直向記錄的相對能量分布（2010．03．03武都地震）Fig．3 Distribution of relative energy of Wudu earthquake in 2010recorded by Wenxian seismic sation．

圖3給出了2010年3月3日武都地震甘肅文縣臺垂直向記錄的相對能量分布。

4 結果與討論

（1）基于小波多分辨率分解的后的重建信號與原始信號之間的偏差很?。ㄔ?0e－12量級上），可以滿足信號分析的要求；

（2）將地震信號分解在不同頻率的子帶上，仍然保留了信號的時間信息，并在一定程度壓制了其它雜噪干擾信號，更利于研究地震波在不同頻段的時程變化規律，更利于研究震源過程、能量輻射規律和路徑介質的各向異性；

（3）近地震的峰值能量頻率集中在3～6Hz之間；

（4）地震波相對能量的計算方法可以很好的揭示近地震能量分布在頻率域的特征；

（5）由于小波窗長的影響，計算過程會有一些能量泄露，在計算處理時要給予注意和考慮。

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