考慮填土側向變形的地震土壓力計算方法①

張建民，宋 飛

（1．清華大學水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室 清華大學土木水利學院，北京 100084；2．長安大學公路學院，陜西 西安 710064）

0 引言

地震土壓力的評價是擋土類結構物抗震設計中的一個基本問題，。日本學者物部和岡部最早基于極限平衡理論和擬靜力概念提出的物部—岡部地震土壓力公式［1，2］因其概念清晰、方法簡便而在工程實踐中得到了十分廣泛的應用，至今仍是評價地震土壓力的主要方法。Morrison和 Ebeling［3］，Kumar［4］，Subba Rao等［5］基于極限平衡理論，用曲面和組合滑動面求解靜力和地震荷載作用下的被動土壓力，其計算結果較庫侖理論和物部—岡部公式更為合理。Kumar和 Chitikela［6］，Cheng［7］根據(jù)滑移線場理論對水計算出地震主動和被動土壓力系數(shù)。Prakash 和 Saran［8］，Prakash 和 Basavanna［9］，Das和Puri［10］在Coulomb土壓力理論和物部—岡部地震土壓力公式的基礎上考慮了填土的粘聚力、墻背和填土之間的粘聚力，以及鉛直方向的慣性力對土壓力 的 影 響。Chen 和 Liu［11］、Soubra 和 Kastner［12］，Soubra［13］基于極限分析的方法給出了靜力條件下和地震作用時的土壓力系數(shù)的圖表。然而，以上方法只能計算主動和被動這兩種極限狀態(tài)下的土 壓 力。 Matsuo［14］，Matsuo 和 Ohara［15］，Ishii等［16］，Ichihara 和 Matsuzawa［17］，Sherif 等［18］，Sherif和Fang［19］，Ishibashi和 Fang［20］的地震土壓力模型試驗結果表明，擋墻的位移量和位移模式對于地震土壓力的大小和分布具有很大影響。在實際工程中，大量存在的城市建筑物地下邊墻、淺埋結構物、橋墩上所作用的土壓力通常是介于主動土壓力和被動土壓力之間的某一值，能夠使得墻后填土達到主動和被動極限狀態(tài)的墻體位移量通常不會發(fā)生。

Seed 和 Whitman［21］，Shakya［22］，Prakash等［23］，Iai［24］，Wu［25］總結了地震作用下?lián)跬两Y構發(fā)生的位移。Psarropoulos等［26］，Maleki和 Mahjoubi［27］采用有限元法計算了擋墻后地震土壓力分布，但其計算結果和精度依賴于計算模型和參數(shù)的合理選取。試驗研究表明，土壓力與擋墻位移之間沒有唯一性的關系，而是隨墻體位移模式和填土的性質等在一個較為寬泛的范圍內變化［28］。土壓力系數(shù)隨擋墻位移量變化關系的曲線形狀也不唯一。當擋墻發(fā)生不同的位移模式時，即使其位移量相等，沿墻高不同深度處的填土的土壓力系數(shù)也是不同的。Terzaghi［29］的模型試驗結果表明，松砂達到主動狀態(tài)的位移量的數(shù)量級約為0．008H（H為擋墻高度），密砂達到主動狀態(tài)的位移量的數(shù)量級約為0．001H；Fang［30－31］的試驗結果表明，松砂達到被動狀態(tài)的位移量的數(shù)量級約為0．17H，密砂達到被動狀態(tài)的位移量的數(shù)量級約為0．015H。因此，當擋墻位移量相同時，不同填土的土壓力系數(shù)相差較大，在一個寬泛的范圍內變化。即使對于一定內摩擦角的正常固結土在擋墻平動位移模式下，也未證實土壓力系數(shù)與擋墻位移量之間具有唯一性關系。

基于作者以往的研究，本文首先擬闡明壓剪耦合效應的不同是土壓力隨應變約束條件變化的原因，采用漸近狀態(tài)應力比概念反映不同應變約束條件下填土沉積或壓密到穩(wěn)定狀態(tài)時的土壓力系數(shù)，指出土壓力系數(shù)與側向應變約束條件之間具有唯一性關系、但與擋墻位移量之間的關系則不具有唯一性。其次，基于作者提出的漸近狀態(tài)準和中間滑楔體概念，給出從主動到被動狀態(tài)的任意中間狀態(tài)下的土壓力計算公式及算法，并采用試驗初步驗證了所提方法的合理性。

1 土壓力系數(shù)與應變增量比之間的唯一性關系

如圖1所示，隨著擋墻位移量的變化，墻后填土的應變約束條件發(fā)生了變化。張建民等［32－33］認為，擋墻位移實質上是導致了墻后填土的應變約束條件發(fā)生了變化，從而引起土壓力系數(shù)的變化?；谶@樣的認識，他們采用土單元體的應變增量比（小主應變增量與大主應變增量的比值，記為Rε＝Δε3／Δε1）來表述土的應變約束條件。Rε越接近于1，側向變形與軸向變形越接近，剪切變形越小。而Rε越小，則側向變形與軸向變形的差異越大，剪切變形越大。

圖1 填土的側向應變約束條件隨擋墻位移量的變化Fig．1 Variation of the lateral strain constraint of backfill with the wall displacement．

張建民等［32－33］針對飽和豐浦砂在控制不同常應變增量比條件下進行了應變路徑試驗（稱之為等應變增量比試驗），通過這些試驗來測定采用不同應變增量比表示的應變約束條件下填土經過沉積或壓密達到穩(wěn)定狀態(tài)時的不同應力比（稱之為漸近狀態(tài)應力比，其與土壓力系數(shù)的物理本質相一致）。圖2給出了在控制應變增量比分別為0．22、－0．10和－0．42時應力比和軸向應力的關系。

圖2 應力比與軸向應力的關系Fig．2 Relation between stress ratio and axial stress．

張建民等給出了定量描述上述漸近狀態(tài)應力比與應變增量比之間關系的數(shù)學表達式，即漸近狀態(tài)準則［28，33］：

圖3 漸近狀態(tài)應力比與應變增量比的關系曲線Fig．3 Asymptotic stress ratio mobilized along different constant strain increment ratios．

式中的φ′是通過排水的常規(guī)三軸壓縮試驗確定的，Rε＝Δε3／Δε1。

式（1）可拓展為平面應變條件下土壓力系數(shù)與應變增量比之間關系的數(shù)學表達式，其在Rε＝0時成為Jaky公式，在Rε＝－1時成為郎肯主動土壓力計算公式，在Rε＝1時其計算得到的應力比值為1，即為各向同性材料在等向壓縮狀態(tài)時的應力比值?；冢?）式以及 Mohr－Coulomb準則可得到土的發(fā)揮的內摩擦角與應變增量比有如下的關系［35］：

Chu等［35］、張建民等［33］、Asaka等［36］的等應變增量比試驗結果均表明，漸近狀態(tài)所對應的應力比僅與應變增量比有關，與土單元體初始的應力狀態(tài)、應力路徑以及應力應變歷史均無關。對于一定φ′值的正常固結土，漸近狀態(tài)應力比（即土壓力系數(shù)）與應變增量比之間的關系具有唯一性，二者之間的關系可用（1）式來表述。圖4給出了（1）式計算結果與未擾動豐浦砂和悉尼砂的等應變增量比試驗結果的對比。通過對比可知，對于內摩擦角一定的各向同性正常固結土，以漸進狀態(tài)應力比表述的土壓力系數(shù)和以應變增量比表述的側向應變約束條件之間的關系均可以用（1）式來唯一表述。對于各向異性砂土，土壓力系數(shù)與應變約束條件之間的關系也具有唯一性，其研究結果詳見文獻［37］。

2 側向應變約束條件對土壓力的影響

張建民等［33，38］指出，導致漸近狀態(tài)應力比隨應變增量比變化而變化的內在原因，是加載過程中壓縮效應與剪切效應的相對影響程度不斷調整的結果，將壓縮效應與剪切效應耦合變化的力學行為及其對土的應力—應變響應的影響定義為壓剪耦合效應（簡稱壓剪效應），它是土壓力形成的物理本質。

圖4 漸近狀態(tài)準則的試驗驗證Fig．4 Verification of asymptotic state criterion by different constant strain path tests for two sands．

圖5 土壓力系數(shù)隨應變增量比及擋墻位移量的變化關系Fig．5 Change of earth pressure coefficient with strain increment Ratio and wall displacement．

基于壓剪耦合效應規(guī)律及漸近狀態(tài)準則，張建民等［28，33］給出了土壓力系數(shù)隨應變增量比以及擋墻位移量的變化關系，如圖5所示。

從圖5可以看出，在平面應變條件下，對于c點，土單元體的Rε，側向變形等于豎向變形，處于等向壓縮狀態(tài)，如果不考慮各向異性的影響，其應力比值也是1，此時土單元體只具有壓縮效應。對于a點和e點，土單元體的Rε，其體應變增量Δεv＝0，此時土單元體分別處于主動和被動極限狀態(tài)，剪—正應力比達到峰值，剪應力增量為零，剪切變形不斷增大，符合臨界狀態(tài)的概念，土單元體僅具有剪切效應。從等向壓縮狀態(tài)到主動與被動狀態(tài)之間，隨著應變增量比的變化，土單元體的壓縮效應與剪切效應相互作用的程度不斷調整，使得土單元體處于不同的漸近狀態(tài)，對應著不同的土壓力系數(shù)與發(fā)揮出的土內摩擦角。

擋墻位移量的變化會造成墻后填土處于不同的應變約束條件下，壓縮效應與剪切效應相互影響的程度不同，起動的剪—正應力比不同，土的強度發(fā)揮不同，作用在擋墻上的土壓力也不同。圖6和7分別給出了主動側和被動側土壓力形成的物理機制示意圖。

圖6 主動側土壓力形成機制Fig．6 Schematic diagram of earth pressure at the active side．

當Rε＝1時，土單元體的側向變形等于軸向變形。對于各向同性體，只具有壓縮效應，其體變只有球應力引起的體縮分量，土壓力系數(shù)為1，應力圓縮小為一點，土單元體發(fā)揮的強度為零；隨著擋墻位移量的增大，填土的側向壓縮量和軸向膨脹量進一步增大，剪切變形逐漸增大，Rε從1逐漸減小到0，最終減小到－1。在這一過程中側向應力在增大到等于軸向應力后繼續(xù)增大，側向應力與軸向應力的差距逐漸增大，剪— 正應力比逐漸增大，應力圓面積逐漸增大，砂土的剪切效應逐漸增強，壓縮效應逐漸減弱。當Δ＝Δp（Δp為達到被動狀態(tài)所需的擋墻位移量）時，Rε＝－1，砂土發(fā)生剪切破壞，起動的剪—正應力比達到極大值，應力圓再次與Mohr－Coulomb強度包線相切，砂土的強度完全發(fā)揮，達到被動極限狀態(tài)。在Rε＞0的階段，壓縮效應占優(yōu)勢，Rε＜0的階段，剪切效應占優(yōu)勢。

3 土壓力計算方法

如圖5～7所示，應變增量比Rε從主動狀態(tài)到被動狀態(tài)不是單調變化的，為了表述方便，張建民等［28］給出應變約束參數(shù)R用以描述填土的側向變形，它與Rε的關系如下：

式中K為土壓力系數(shù)。

圖8 主動、被動及中間土楔示意圖Fig．8 Variation in the dimensions and weight of static intermediate soil wedge with lateral wall displacement．

當擋墻遠離填土或擠壓填土的位移量Δ足夠大，Δ＝Δa或Δp時，墻后填土分別處于主動及被動狀態(tài)時，土的內摩擦角和墻背摩擦角完全發(fā)揮，填土中分別形成主動或被動滑楔體。當擋墻位移量使得墻后填土既沒有達到主動狀態(tài)，也沒有達到被動狀態(tài)，而是介于兩者之間時，填土的強度以及墻背摩擦角沒有充分發(fā)揮，存在一個中間滑楔體，中間滑楔體的尺寸取決于應變約束參數(shù)R，亦即取決于擋墻的位移量。圖8給出了主動土楔、中間土楔和被動土楔的示意圖。地震荷載作用下的土壓力實質上是在靜荷載作用下滑動土楔的平衡力系中增加水平和鉛直慣性力的作用根據(jù)力的平衡求解得到的。

Terzaghi［39］的研究結果表明，主動側滑動面為一平面，而在被動側一側，當墻背摩擦角較大時，填土中的滑動面通常為一曲面。此時，平面滑動面會過高估計被動側土壓力的大小，造成工程設計偏于危險［39］。如圖8所示，主動側滑楔體的滑動面為一通過墻底的平面；被動側滑楔體的滑動面為一組合滑動面，靠近墻底部分滑動面為對數(shù)螺旋曲面，靠近填土表面部分為一平面。

Sherif等［18，40］的土壓力模型試驗結果表明，振動擠密會在填土中引起殘余土壓力，增加土壓力的大小。Sherif等［40］建議，在K0狀態(tài)，由于振動擠密引起的殘余土壓力系數(shù)可由下式確定：

式中γactual為土體振動擠密后的實際重度，γinitial為自重壓實土體的重度。并且他的試驗結果表明，這部分水平殘余土壓力沿墻高線性分布［40］。張建民等［32］基于對 Matsuo［14］、Ishii等［16］、Ichihara等［17］、Sherif等［18－19］的土壓力試驗結果的分析，認為這部分由振動擠密引起的殘余土壓力也隨應變約束條件的變化而變化。在主動及被動一側，殘余土壓力系數(shù)Krh與應變約束參數(shù)h的關系可以由（6）式及（7）式確定：

m1和m2由試驗確定，可近似取為1。

基于以上的土壓力形成機理分析以及中間滑楔體的概念，對滑楔體進行受力分析，可得到中間狀態(tài)的土壓力計算方法：

式（8）～（10）中q為填土面堆載；α為墻背傾角；β為填土面與水平面的夾角；φ′為土的內摩擦角；δmob為墻背摩擦角的發(fā)揮值；R為應變約束參數(shù)；kh和kv分別為水平和鉛直方向的地震加速度系數(shù)。當R＝0時，（9）式成為動荷載作用時中性狀態(tài)下的土壓力計算公式：

式中δ0為R＝0時的墻背摩擦角發(fā)揮值，式（11）當i＝0時進一步退化為靜荷載作用下K0狀態(tài)時的土壓力計算公式：

當α＝β＝δ0＝0，（12）式退化為Jaky公式：K0＝1－sinφ′。

當R＝－1和3時，（9）和（10）式分別成為物部—岡部主動及被動土壓力計算公式：

式（11）當i＝0時進一步退化為庫侖主動及被動土壓力計算公式：

當R＝1時，由（9）式可知K＝1，即當墻后填土處于等向壓縮狀態(tài)時，對于各向同性填料而言，當側向變形等于軸向變形時，其側向應力與軸向應力的比值是1。

如果用起動摩擦角來表示，主動側土壓力系數(shù)的計算公式還可以寫成

式（15）與式（9）是等價的。

如前所述，當墻背摩擦角較大以及擋墻位移量較大時，平面滑動面會高估被動側土壓力的大小，此時計算分析中采用曲面滑動面較為合適?；趯D9所示的曲面中間滑楔體OABC的受力分析，可以給出被動側的土壓力計算方法?；瑒用鍭C上發(fā)揮的土的內摩擦角φ′mob由（4）式確定。如圖9所示，在地震荷載作用下，滑動楔體除受到重力W和填土表面的均布荷載q以外，還受到豎直向上的慣性力kvW和水平向右的慣性力khW，填土表面還受到豎直向上的慣性力kvq和水平向右的慣性力khq。

根據(jù)力矩平衡條件，滑動土楔OABD所受的所有外力對對數(shù)螺旋線的極點E（xR，zR）的力矩為零，可分別求得填土自重和超載產生的土壓力PpγE和PpqE，改變對數(shù)螺旋線的極點（xR，zR）的位置，分別求得PpγE和PpqE的極小值，即所求的土壓力。限于篇幅，具體的數(shù)學公式推導過程在此不詳細給出，可參考文獻［37，41，42］。由土重和填土面堆載引起的土壓力系數(shù)的計算公式分別如下：

圖9 曲面中間滑楔體受力分析圖Fig．9 Mechanical analysis of curved intermediate soil wedge．

圖10給出了被動側土壓力系數(shù)K隨土的內摩擦角φ′、水平地震系數(shù)kh、墻背摩擦角δ和應變約束參數(shù)R的變化，計算中墻背傾角α，填土面傾角β和鉛直地震系數(shù)kv均為零。從圖中可以看出，R＝0時的土壓力即為中性狀態(tài)下的土壓力，中性狀態(tài)下的土壓力系數(shù)隨著水平地震系數(shù)的增大而增大，隨著土的內摩擦角的增大而減??；而被動側土壓力系數(shù)隨著水平地震系數(shù)的增大而減小，隨著土的內摩擦角的增大而增大，隨著墻背摩擦角的增大而增大。

以上計算方法可以被推廣到計算淺埋式地下構筑物上作用的地震土壓力，詳見文獻［43－45］。當墻后填土為超固結土和密砂時，剪切過程中隨著剪切變形的增大填土強度會從峰值強度降低到殘余強度。此時，抗剪強度指標的選取對于土壓力計算至關重要，有關超固結土和密砂的主動和被動土壓力計算方法作者也曾做過研究，相關研究成果詳見文獻［46，47］。當考慮墻后填土各向異性的性質時，作者也曾進行試驗及理論研究，相關研究成果詳見文獻［37，48－51］。轉動模式下的土壓力計算方法詳見文獻［52，53］。當墻后填土位于地下水位以下時，地震荷載作用下的動土壓力和水壓力的計算方法詳見文獻［54－56］。

本文中的應變約束參數(shù)R是表征填土的側向應變約束條件的重要參數(shù)。對大部分建筑物基礎邊墻的情形，數(shù)值分析表明R值大約為±1／8～1／4?；趯?Fang等［57，30－31］土壓力模型試驗結果的計算分析研究，給出應變約束參數(shù) 與擋墻位移量 的關系如下［28，47］：

以上兩式中a和p可由試驗確定，a的取值范圍是0．1～1，一般取為0．5；b取值范圍一般約為0．015～0．03，一般取為0．025，砂土越密，b值越小。Δa、Δp和 Δr的 取 值 可 參 考 Terzaghi［29］、Matsuo 等［58］、Fang等［30－31，57］的土壓力模型試驗。

張建民等［28］基于對土壓力模型試驗結果的分析給出了墻背與填土之間的墻背摩擦角發(fā)揮值δmob隨應變增量比Rε的變化的關系如下［28］：

上式中k1和k2是由試驗確定的常數(shù)，若假定δmob隨R線性變化，則可取k1＝k2＝1，δ為墻背摩擦角。

4 計算方法的試驗驗證

圖11給出了（8）～（10）式的計算結果與Fang等［57］的模型試驗結果［57］的對比。計算中的參數(shù)為模型試驗的實測數(shù)據(jù)：γactual＝15．4kN／m3；γinitial＝15．2kN／m3；φ′＝34°；δ＝17°；Δa＝0．51mm；a＝0．5。擋墻為平動的位移模式。從圖9可以看出計算結果與試驗結果基本吻合，驗證了計算方法的有效性。

圖10 土壓力系數(shù)隨內摩擦角、墻背摩擦角、水平地震系數(shù)和側向應變約束參數(shù)的變化圖表Fig．10 A chart showing the variation of earth pressure coefficient with internal friction angle，wall friction angle，horizontal earthquake coefficient and lateral strain parameter．

圖11 主動側土壓力計算方法的試驗驗證Fig．11 Calidation of the method for computing earth pressure at the active side．

圖12給出了本文的被動側土壓力計算方法的計算結果與Fang［30］的模型試驗結果的對比。計算參數(shù)為Fang給出的試驗參數(shù)：γ＝15．5kN／m3；φ′＝30．9°；δ＝19．2°；Δp＝0．18H。表征應變約束參數(shù)R隨擋墻位移變化的參數(shù)b取為0．025。從圖中可知計算結果與試驗結果基本一致，驗證了計算方法的有效性。

5 結語

簡述了作者提出的考慮填土側向變形的地震土壓力計算方法，有以下幾點主要結論及認識：

圖12 被動側土壓力計算方法的試驗驗證Fig．12 Validation of the method for computing earth pressure at the passive side

（1）闡明壓剪耦合效應的不同是土壓力隨應變約束條件變化的原因。隨著擋墻位移量的變化，墻后填土處于不同的側向應變約束條件下，其壓縮效應和剪切效應相互影響的程度不同，亦決定了土所發(fā)揮出的剪切強度不同，這是土壓力隨擋墻位移量變化的物理本質。

（2）壓剪耦合效應可以通過描述不同應變約束條件下的漸近狀態(tài)來表述。不同的漸近狀態(tài)實質上就是不同應變約束條件下填土經過沉積或壓密達到穩(wěn)定狀態(tài)時的不同應力比，可理解為不同應變約束條件下的土壓力系數(shù)。對內摩擦角一定的正常固結土，其土壓力系數(shù)與應變增量比之間具有唯一性關系。提出的漸近狀態(tài)準則能夠描述填土發(fā)揮的摩擦強度與應變約束條件之間的定量關系。

（4）基于漸近狀態(tài)準則及中間滑楔體概念，給出了可考慮填土側向變形影響、可計算從主動到被動狀態(tài)之間的任意中間狀態(tài)下的地震土壓力公式，建議了針對應變局部化等常見實用條件的計算方法。

（5）通過Fang等的試驗研究成果對本文提出的地震土壓力計算公式及算法進行了驗證分析，初步表明其有效性和合理性。

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