NA序列部分和之和的完全收斂性探討

蘭沖鋒，吳群英

(1.阜陽師范學院 數學與計算科學學院，安徽 阜陽 236041；2.桂林理工大學 理學院，廣西 桂林 541004）

NA序列部分和之和的完全收斂性探討

蘭沖鋒1，吳群英2

(1.阜陽師范學院 數學與計算科學學院，安徽 阜陽 236041；2.桂林理工大學 理學院，廣西 桂林 541004）

文章運用截尾等方法，研究同分布NA隨機變量序列部分和之和的完全收斂性，獲得了與i.i.d.隨機變量序列類似的Baum和Katz型完全收斂性定理，補充了部分和之和的極限定理。

NA序列；部分和之和；完全收斂性

0 引言

本文將在文獻[5]的基礎上，通過引入慢變化函數將i.i.d.隨機變量序列部分和之和Tn的完全收斂性推廣到NA列，以期對NA序列部分和之和的極限定理作一個補充。

對隨機變量列{Xn；n≥1}，記：

本文一律以“?”表示通常的大“O”，以C記與n無關的正常數，在不同之處可以取不同的值。

1 定義及引理

定義稱隨機變量X1，X2，…Xn是NA的，如果對于集合{1，2，…n}的任何兩個非空不交子集A1和 A2都有cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2))≤0，其中 fi,i=1,2是使上式有意義且對各變元不降的函數。

稱隨機變量序列{Xn;n≥1}是NA序列，如果對于任何n≥2，X1，X2，… Xn是NA的。

引 理 1[9]：設 {Xn;n≥1}是 NA 的, ?m≥2,A1,A2,…,Am是集合{1，2，…n}的兩兩不交的非空子集.如果fi,i=1,2,…,m是對每個變元都非降(或都非升)的函數,則 f1(Xj,j∈A1),…,fm(Xj,j∈Am)仍是NA的。

對于慢變化函數，有性質：如果l(x)＞0為x→+∞時的慢變化函數，則

2 主要結果及證明

定理：設{Xn} 是同分布 NA序列，αp＞1,p＜2,l(x)＞0為當x→+∞的單調不減慢變化函數，那么下列三式等價：

其中，b=0,若0＜p＜1；b=EX1，若1≤p＜2.因此本文的結果推廣和加強了文獻[5]的結論。

⑶在推論1中，若{Xn;n≥1}為零均值i.i.d.r.v.序列，令Tn?中的Xi前面的權數為常數1，則該推論就是Katz和Baum型完全收斂性定理，因此本文的結果也推廣和加強了著名的Katz和Baum定理。

[1]Resnick S L.Limit laws for Record Values[J].Stochastic Processes and their Applications,1973,1(1).

[2]Arnold B C,Villasenor J A.The Asymptotic Distributions of Sums of Records[J].Extremes，1998,1(3).

[3]江濤,蘇淳,唐啟鶴.I.I.D隨機變量部分和之隨機和的極限定理[J].中國科技大學學報,2001,31(4).

[4]江濤,林日其.I.I.D隨機變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業學院學報,2002,22(2).

[5]蘭沖鋒，吳群英.I.I.D.隨機變量部分和之和的完全收斂性[J].吉林大學學報（理學版），2012,50(3).

[6]宇世航.同分布NA序列部分和之和的強大數定律[J].山東大學學報:理學版，2008，43（4）.

[7]宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數定律[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2004，20（4）.

[8]宇世航,張銳梅.NA序列部分和之和的中心極限定理[J].高師理科學刊，2007，27（3）.

[9]Joag-Dev K,Proschan F.Negative Association of Random Variable with Aplications[J].Ann Statist,1983,11.

[10]蘇淳，趙林成，王岳寶.NA序列的矩不等式與弱收斂[J].中國科學，1996,26（12）.

[11]白志東，蘇淳.關于獨立和的完全收斂性[J].中國科學(A輯)，1985,(5).

O211.4

A

1002-6487（2013）14-0009-03

國家自然科學基金資助項目(11061012)；數學天元基金項目（11226200）；安徽省自然科學基金項目（KJ2013Z265；KJ2013B203）；國家特色專業項目（TS11496）

蘭沖鋒(1981-)，男，安徽人，博士，講師，研究方向：概率極限理論。

（責任編輯/亦 民）