雙路功率分流傳動系統的靜態均載特性分析

董 皓，方宗德，杜進輔

(1.西北機電工程研究所，712099陜西咸陽;2.西北工業大學機電學院，西安710072)

雙路功率分流傳動系統采用功率分支技術，結構緊湊，能在很小的體積質量下滿足高速重載的工況要求，在航空、航天領域具有廣闊的應用前景.功率分流傳動系統的核心問題是研究系統的均載特性，解決各分支載荷平均分配，國內外在這方面做了很多研究，Kish［1-2］提出一種應用于Comanche直升機中的雙路功率分流齒輪傳動減速器.Krantz等［3-4］對雙路功率分流減速器的均載問題進行了靜力學研究，得出了滿足當時制造、安裝條件下的均載系數.White［5-6］設計了雙路功率分流傳動系統中各發動機軸相隔較遠且平行布置的方案，得出了該系統重量輕、功率損失小和集成性高的結論.日高照晃等［7］運用靜力學方法研究了行星輪系中各個構件的誤差對載荷分配系數的影響.方宗德等［8］就三路分流星型減速系統在各級聯接剛度和星輪偏心誤差影響下的動載荷與均載系數進行了分析.還有一些學者對功率分流做了相關的研究［9-11］，但是，以往研究中大多采用等效平均嚙合剛度，并不能完全準確反映真實的齒面嚙合過程，本文基于輪齒幾何接觸分析和承載接觸分析將整個嚙合過程離散為有限的嚙合點，對每個嚙合位置進行力學特性分析，可以提高計算的準確性，并且，以往的研究大多僅考慮構件之間的力學平衡關系，而忽略了功率流動閉環的這一特點所構成的變形協調條件，該條件中構件的各類誤差會相互疊加或者抵消，所以考慮變形協調條件能夠更好地反映整個系統的均載特性.

文中推導出變形協調條件，結合力矩平衡和彈性支承條件，得到系統均載系數，分析了基于花鍵間隙浮動和徑向限位環輔助均載對系統均載特性的影響.

1 系統靜力學模型建立

本文針對文獻［4］中研究的雙路功率分流系統做了理論分析.圖1為該系統的結構示意圖，該系統應用于某航空直升機動力傳輸裝置.

圖1 雙路功率分流傳動系統簡圖

系統在第Ⅰ級小齒輪采用功率兩分支，兩級之間通過均載扭力軸傳遞扭矩，第Ⅱ級兩個小齒輪同時與輸出大齒輪嚙合，各齒輪處靠滾動軸承支承，該系統可進一步提高傳動裝置功率密度比，有效解決傳動裝置大扭矩、大速比的要求.力學結構模型和各齒輪轉角對應關系如圖2所示.

圖2 力學結構模型和各齒輪轉角對應關系示意圖

由圖2可知，系統轉速為n1，輸入扭矩為T1，Kij為時變嚙合剛度，Δφi和Δφj為齒輪i、j的扭轉角，Δφij(Tij(k))表示齒輪i在扭矩Tij(k)作用下相對于齒輪j的扭轉角變形，pu和gv(u=1，4，5;v=2，3，6)表示各齒輪的代號.扭矩相互作用力可表示為Tij=-iijTji(i=1，2，…，6;j=1，2，…，6)，其中iij=rbj/rbi，rbi和rbj為齒輪i，j的基圓半徑，得到系統的力矩平衡條件如下:

式中:Tij(k)表示齒輪j對齒輪i在一個嚙合周期中第k個嚙合位置(k=1，2，…，5)的扭矩.

2 系統扭轉角變形協調條件

由圖2所示的模型，根據系統本身功率流動閉環的特點，功率流動可以分為2個通道，通道1包含齒輪p1、g2、軸24、齒輪p4、g6，通道2包含齒輪p1、g3、軸35、齒輪p5、g6.由于各齒輪副嚙合轉角滿足Δφij(Tij(k))=Δφi-iijΔφj，得到變形協調條件為

其中，扭力軸的轉角關系為

式中:N24和N35為扭轉剛度.

誤差體現在嚙合線上的位移變化ΔLij為

式中:xi、yi和xj、yj分別為齒輪i、j沿x、y向的軸心變形量;ΔAxi、ΔAxj分別為齒輪i、j的x向誤差幅值，ΔAyi、ΔAyj分別為齒輪i、j的y向誤差幅值;χij為齒輪副嚙合線與x軸正向夾角.

嚙合作用力可表達為

得到誤差影響下的各齒輪副嚙合轉角為

考慮彈性支承條件，可表示為

式中:Kxi和Kyi為齒輪i的x、y向的支承剛度.

將式(6)代入式(2)中，得到誤差影響下的變形協調條件，聯立彈性支承條件和力矩平衡條件，建立系統的彎——扭耦合關系，可求得各齒輪副傳遞的扭矩Tij，并最終計算得到系統的均載系數，該均載系數的大小表征著系統的均載特性的好壞，均載系數越大，系統的均載特性越差.

3 基于LTCA的時變嚙合剛度

輪齒在外載荷作用下嚙合時，角變形主要由幾何傳動誤差、彎曲變形和接觸變形導致的［11］，這3組引起的扭轉角變形和扭矩Tij(k)的函數式描述為

式中:a，b，c為常數項.

忽略輪齒齒面摩擦，假設兩對齒(I和II)同時接觸.在載荷P作用下，力矩平衡和輪齒接觸變形后位移協調條件由下式描述［12］，具體計算可參考文獻［12-13］，此處不再贅述.

式中:k=Ⅰ，ⅠⅠ，［pj］k=［p1，p2，…，pn］T，［dj］k=［d1，d2，…，dn］T，［Z］=Z［1，1，…，1］T(若pjk＞0，則djk=0;若pjk=0，則djk＞0).pj(j=1，2，…，n)是齒對k的瞬時接觸橢圓長軸離散點j處的法向載荷，dj(j=1，2，…，n)是齒對k的瞬時接觸橢圓長軸離散點j處變形后的齒面間隙，Z為輪齒的法向位移，［F］k是齒對k的法向柔度矩陣，［w］k為齒面初始間隙，［w］k=［δ］k+［bj］k，bj(j=1，2，…，n)為齒對k的齒面法向間隙，［δ］k=δ［1，1，…，1］T.

對一個嚙合周期中所有嚙合位置上順序進行LTCA計算，得到Z、［P］和［d］，Z為當前接觸位置載荷P作用下的齒輪變形后的法向線位移傳動誤差，將其變換為角位移誤差Δφij［12-13］.

通過計算某一嚙合位置k下不同載荷作用下對應的多組承載傳動誤差，將其分別帶入式(9)，即可確定系數a，b，c，同時，可以推導出承載傳動誤差與名義載荷的函數關系式，再擬合出一個嚙合周期中各嚙合位置下承載傳動誤差隨扭矩Tij(k)變化的函數關系式，最后得到各對齒輪副時變嚙合剛度，可表示為

該剛度能夠更加直接的反映出齒輪在各嚙合位置的嚙合特性.

4 花鍵間隙浮動條件

第Ⅰ級小齒輪做成浮動結構，與高速輸入軸和輸出件用可活動的短花鍵聯接，由花鍵傳遞扭矩.浮動輪受花鍵聯接的約束，不能完全自由浮動，浮動輪的支承剛度如圖3所示.

圖3 浮動輪支承剛度示意圖

由圖3示出，在花鍵傳遞扭矩的過程中，內外花鍵摩擦力為Fm=τFN，FN表示內外花鍵之間的正壓力，τ為摩擦系數，取τ=0.1.浮動時的浮動量為表示在x和y方向的浮動量，n代表計算次數.

浮動過程中，浮動小輪受到2個嚙合大齒輪的嚙合力和花鍵聯接軸的支承反力共同作用，當支承反力小于摩擦力Fm時，內外花鍵之間不產生滑移，由輸入軸的彎曲適應小輪位置變化，即0～S1段;當支承反力大于摩擦力Fm時，內外花鍵產生滑移，由滑移量適應浮動輪的位置變化，即S1～S2段;當滑移量超出S2時，即內外花鍵消除了徑向間隙量，小輪位置變化重新由輸入軸的彎曲變形決定，圖3中S1～S2即為內外花鍵的徑向間隙.浮動小輪支承反力在x、y向的分量ΔF(

x1n)、分別為

式中:Kw表示彎曲剛度，ζ(n)表示向量的方向角.則有，浮動件的支承平衡條件:

將式(14)聯立其它各構件的支承平衡條件和力矩平衡條件以及變形協調條件，建立間隙非線性數學模型，可以求解得到系統的均載系數.

5 徑向限位環輔助均載條件

浮動件在浮動過程中，沒有徑向支承，為了防止浮動量過大而脫離嚙合狀態，則浮動輪的兩端面上分別設有一個徑向限位環，徑向限位環起輔助均載的作用.浮動輪徑向限位環的外徑與浮動輪的節圓直徑相等，兩個關聯的大齒輪的徑向限位環的外徑與大齒輪的節圓直徑相等，如圖4所示.

圖4 限位環結構示意圖

同時，應保證浮動輪和其關聯的齒輪同步運動，形成封閉力系，如圖5所示.

圖5 浮動輪相互運動關系示意圖

浮動輪的中心可在O1～O1'之間上下浮動來滿足均載，左右擺動由兩側大齒輪空刀槽里的徑向限位環限制.當浮動輪與齒輪3嚙合時，受到齒輪嚙合力的作用，浮動輪中心有向上運動的趨勢，以消除浮動輪與齒輪2間的圓周側隙jwt12，此時浮動輪的中心O向上浮動到O1'的位置.浮動輪與齒輪2嚙合時，向下浮動同理.浮動區域如圖5中H1所示，如果浮動平衡點超出該區域內，則將浮動輪的平衡位置點強行定位在徑向限位環的邊界上，此時，徑向限位環起支承作用.浮動輪在兩個相互嚙合的齒輪和徑向限位環的支承反力的共同作用下自動定心，得到平衡條件如下:

式中:FCx1和FCy1為限位環在x和y向的對浮動輪的支承反力.

6 算例求解

算例中各參數完全依據文獻［4］中的實驗參數，功率373Kw，轉速8 780 r/min，數據見表1.

表1 各齒輪參數

根據第3小節所述的方法，計算得到兩級各齒輪副的嚙合剛度如圖6所示.

圖6 時變嚙合剛度曲線圖

各軸承數據引用文獻［4］中的tableⅡ的軸承數據，軸承剛度計算按照GB/T307.3—1996計算.

取ΔAx2=ΔAx4=ΔAx6=0.05 mm，當安裝誤差共同作用時，計算得系統的均載系數為1.089 3，功率分配為54.47%.各個誤差分別作用時的扭矩分配如圖7所示.可以看出，扭矩在各個嚙合位置成周期性波動，反應了齒面上不同嚙合位置點的載荷分配.ΔAx2、ΔAx4和ΔAx6影響下的均載系數分別為1.020 7、1.078 3和1.064 1，功率分配為51.03%、53.92%和53.21%.且誤差具有累加作用.

圖7 安裝誤差影響下的扭矩分配

誤差ΔAxi(i=2，4，6)單獨變化時，均載特性如圖8所示.可以看出，均載系數隨安裝誤差的增大而增大，第Ⅱ級小齒輪影響最大，其次是第Ⅱ級大齒輪，最后是第Ⅰ級大齒輪.

圖8 安裝誤差單獨變化時系統的均載系數曲線圖

均載系數隨花鍵間隙量變化的情況如圖9所示，給定ΔAx2=0.05 mm，ΔAx4=0.05 mm，τ=0.1.可以看出，間隙越大，均載特性越好，花鍵間隙量為0時，完全由軸的彎曲適應浮動輪的位置變化.由于摩擦力的影響，最后在不同誤差下得到均載系數分別為1.004 2和1.007 9.

圖9 均載系數隨間隙量變化曲線圖

當花鍵間隙量滿足浮動輪完全浮動時，浮動輪要受到在限位環的徑向限位，圖10給出了均載系數隨側隙量變化的情況，給定誤差為ΔAy2=0.05 mm和ΔAy4=0.05 mm.可以看出，在誤差恒定的條件下，側隙量越大均載性能越好.側隙量為0時，浮動輪則相當于軸承支承，得到均載系數分別為1.015 1和1.056 3，當側隙量足夠大時，系統達到完全理想的均載特性.

圖11給出了浮動輪平衡位置點的中心軌跡.可以看出，在徑向限位環的作用下，不同誤差影響下，浮動輪最終達到平衡位置，平衡點為(-2.978 1×10-7，0.018 3)和(-4.833 8×10-6，0.073 6)，且落在徑向限位環邊界上.

圖10 均載系數隨間隙量變化曲線圖

圖11 浮動輪中心位置浮動軌跡

7 數據分析和實驗

由文獻［4］所述，2路分支在傳遞扭矩過程中存在一個使得系統的均載特性發生變化的夾角β，該夾角可以通過圖12所示的方式測量.

圖12 測量扭轉夾角β的實驗示意圖

實驗中通過在第Ⅰ級大齒輪軸向增加薄墊片的方法來改變該夾角β，由圖12示出，首先測量了不同薄墊片厚度下輸入扭矩和扭力軸傳遞的扭矩的關系，同時測量了薄墊片的厚度和夾角β之間的函數關系，從而建立了給定某一特定輸入扭矩時扭力軸傳遞的扭矩和夾角β的函數關系，最后確定某一夾角β以使扭力軸傳遞的扭矩能夠滿足功率分配在50%±3%范圍內.

實驗中給定薄墊片厚度為3 mm時，扭力軸傳遞扭矩隨系統輸入扭矩變化的關系如圖13(a)，同時給出理論計算結果如圖13(b)所示.

由圖13(a)可知，實驗數據的一側分支扭矩為728.61 Nm，另一側分支扭矩為625.32 Nm，則功率分配為53.88%，均載系數為1.077 6，由圖13(b)可知，理論分析數據的連接軸的一側分支扭矩760.89 Nm，另一側分支扭矩661.23 Nm，得到功率分配為53.50%，均載系數為1.070 1.理論和實驗結果對比，趨勢一致，驗證了本文方法的正確性和可行性.

圖13 實驗數據和理論分析數據對比曲線圖

8 結論

1)同一誤差下各構件對系統均載系數的影響不一樣，尤其應注意第Ⅱ級構件的誤差分布情況.

2)間隙浮動能提高系統的均載特性，設計時花鍵的最小間隙量可取為各誤差引起的浮動件的最大極限位移量，就可滿足均載浮動的要求.

3)徑向限位環起到了良好的輔助均載作用.

通過實驗驗證了本文方法的可行性和正確性.

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