基于響應(yīng)面方法的鐵路縱斷面優(yōu)化技術(shù)

李曉娥

（中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司 武漢 430063）

鐵路選線設(shè)計(jì)是鐵路建設(shè)的先行，其目的是要確定線路最合適的空間位置，這一位置決定了鐵路上建筑物的位置、工程數(shù)量的大小和施工的難易，也決定了列車運(yùn)行的條件和運(yùn)營成本的高低。選線設(shè)計(jì)的任務(wù)就在于比選出既滿足鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范要求又使工程運(yùn)營費(fèi)用最小的設(shè)計(jì)方案［1］。隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以及優(yōu)化理論、模糊數(shù)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和灰色理論等的逐步應(yīng)用，現(xiàn)代鐵路選線設(shè)計(jì)方法較以前傳統(tǒng)方法有了很大的突破。目前，基于以上各種理論的設(shè)計(jì)方法都進(jìn)行了較深入的研究，部分已形成商用軟件，運(yùn)用到設(shè)計(jì)實(shí)踐中并且取得了一定的效果。其中，由于優(yōu)化方法相對(duì)簡單易懂，基于優(yōu)化方法的鐵路選線設(shè)計(jì)方法得到了最廣泛的研究和應(yīng)用。

1 問題的提出與研究方法

最優(yōu)化就是從所有可能方案中選擇最合理的一種以達(dá)到最優(yōu)目的的方法。通俗地講，也就是求解多元函數(shù)約束極值問題。其數(shù)學(xué)表達(dá)為［2］：

在線路的平面位置已定的條件下，不同的變坡點(diǎn)位置和高程將決定不同的縱斷面設(shè)計(jì)方案。縱斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是從眾多設(shè)計(jì)方案中選出一種最佳的變坡點(diǎn)位置和高程組合，使相關(guān)工程費(fèi)用或換算運(yùn)營費(fèi)用最小。構(gòu)造這一問題的數(shù)學(xué)模型必須解決以下3個(gè)問題：

（1）確定縱斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)的變量。

（2）確定縱斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。

（3）確定縱斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件。

其中，問題（1）和（3）比較容易解決。前已述及，縱斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)的變量一般是指縱斷面變坡點(diǎn)的位置和高程；而約束條件即是必須滿足規(guī)范和其他各種技術(shù)經(jīng)濟(jì)要求，具體來說主要有坡段的最大坡度限制、相鄰坡段的最大坡度差限制、變坡點(diǎn)高程限制以及變坡點(diǎn)位置限制等等［3］。

問題（2）中的工程費(fèi)用或換算運(yùn)營費(fèi)用主要包括路基土石方費(fèi)、擋墻工程費(fèi)、橋梁工程費(fèi)、隧道工程費(fèi)、鐵路用地費(fèi)和其他費(fèi)用。在方案確定階段，不必精確計(jì)算相關(guān)費(fèi)用。為了簡化計(jì)算，可以采用各計(jì)算點(diǎn)的設(shè)計(jì)標(biāo)高和施工標(biāo)高的平方和作為生成鏈?zhǔn)骄€路平面的目標(biāo)函數(shù)。即

式中：x和y為線路各變坡點(diǎn)的位置和高程；n為變坡點(diǎn)個(gè)數(shù)；Hi為i點(diǎn)地面高程；hi為對(duì)應(yīng)位置線路點(diǎn)設(shè)計(jì)高程。

對(duì)于表達(dá)式比較簡單的目標(biāo)函數(shù)，如式（3）可以直接寫出目標(biāo)函數(shù)的顯式表達(dá)式，優(yōu)化計(jì)算時(shí)目標(biāo)函數(shù)對(duì)變量的梯度也可以直接求得；如果對(duì)于一個(gè)很復(fù)雜的問題如需精確計(jì)算工程費(fèi)用時(shí)，無法寫出目標(biāo)函數(shù)的顯式表達(dá)式，雖然目標(biāo)函數(shù)值可以通過計(jì)算分別求得，但是其對(duì)變量的梯度卻無法求得，優(yōu)化求解將陷入困境。針對(duì)這一問題，本文提出一種基于響應(yīng)面理論的鐵路縱斷面優(yōu)化方法。

2 響應(yīng)面方法

響應(yīng)面方法是一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)學(xué)的綜合試驗(yàn)技術(shù)，用于處理若干變量對(duì)一個(gè)體系或結(jié)構(gòu)的作用問題，也就是體系或結(jié)構(gòu)的輸入與輸出的轉(zhuǎn)換關(guān)系問題，用有限的試驗(yàn)來回歸擬合一個(gè)關(guān)系式，代替結(jié)構(gòu)的真實(shí)響應(yīng)曲面。其思想是選用一個(gè)適當(dāng)?shù)拿鞔_表達(dá)的函數(shù)來近似代替一個(gè)不能明確表達(dá)的函數(shù)，也就是利用式（3）的計(jì)算結(jié)果來擬合一個(gè)具有明確表達(dá)式的響應(yīng)面以代替未知的系統(tǒng)響應(yīng)曲面，從而使得各種針對(duì)顯式功能函數(shù)的分析方法可以應(yīng)用于隱式功能函數(shù)問題的分析中［4］。在選擇響應(yīng)面表達(dá)式形式的時(shí)候，一方面要盡可能簡潔，另一方面要能足夠靈活地反映各種不同的真實(shí)曲面形狀。通常有以下2種形式，表達(dá)式（4）為不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式；表達(dá)式（5）為含有交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式，所含的未知量個(gè)數(shù)分別為2n＋1和（n＋1）（n＋2）／2。

式中：n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；a，bi，ci，di（i＝1，2，…，n）為待定因數(shù)。

本文選取不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式（4）作為響應(yīng)面表達(dá)式。對(duì)于任意xi（i＝1，…，n），均可以xi（i＝1，…，n）為中心點(diǎn)，在n維坐標(biāo)系的各軸上，對(duì)每個(gè)xj（j＝1，…，n，j≠i）左右各設(shè)置一個(gè)適當(dāng)?shù)钠喀粒玫?n＋1個(gè)響應(yīng)點(diǎn)，見圖1。由此，可得2n＋1階線性方程組，a，bi，ci（i＝1，2，…，n）可解。如選取式（4），形式較為簡潔，計(jì)算方便，但由此可能帶來計(jì)算精度的降低。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)表明，一般來說，選取這樣的表達(dá)式是合適的。

圖1 目標(biāo)函數(shù)（4）的變量空間（n＝3）

為了說明響應(yīng)面方法的應(yīng)用，本文對(duì)于可以直接寫出顯式表達(dá)式的式（3）也用響應(yīng)面方法來擬合表達(dá)式。如式（4）所示，當(dāng)設(shè)計(jì)變量為n時(shí)響應(yīng)面表達(dá)式有2n＋1個(gè)待定系數(shù)需要確定。分別變化變量x1，x2，…，xn的值，根據(jù)式（3）計(jì)算得到函數(shù)值如式（6）右端項(xiàng)，構(gòu)造2n＋1階線性方程組如下：

式中：α為響應(yīng)面偏量；a～cn為擬合多項(xiàng)式系數(shù)；F1～F2n＋1為目標(biāo)函數(shù)值。

求解式（6）即得到擬合多項(xiàng)式，進(jìn)而變量梯度可以求解，對(duì)問題的優(yōu)化也就迎刃而解。

3 問題的優(yōu)化求解

目前，對(duì)于優(yōu)化問題式（1）的求解方法比較成熟［2］。在用響應(yīng)面求得目標(biāo)函數(shù)的顯式表達(dá)式之后，目標(biāo)函數(shù)對(duì)變量的梯度易求如式（7）所示，優(yōu)化求解可采用梯度方法如“DFP”算法，此法是目前為止處理無約束優(yōu)化問題的最有效的方法之一。

對(duì)于約束優(yōu)化問題，本文采用內(nèi)部懲罰函數(shù)法，又稱內(nèi)點(diǎn)法，它對(duì)企圖從內(nèi)部穿越容許集邊界的點(diǎn)在目標(biāo)函數(shù)中加入相應(yīng)的“懲罰”，距邊界越近，懲罰越大，在邊界上給以無窮大的懲罰，從而保證迭代點(diǎn)一直在容許集內(nèi)部移動(dòng)，也就保證了約束條件的作用。構(gòu)造如下的增廣目標(biāo)函數(shù)就可以實(shí)現(xiàn)上述想法：

圖2 計(jì)算流程圖

4 算例及結(jié)論

根據(jù)以上方法，筆者編制了計(jì)算機(jī)程序，設(shè)計(jì)簡單算例如圖3以驗(yàn)證方法在理論上的正確性。為簡單起見，優(yōu)化計(jì)算時(shí)用式（3）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，用響應(yīng)面方法擬合目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，并且未嚴(yán)格按照規(guī)范要求約束最大坡度和坡度差，只對(duì)最大坡度和坡度差作了簡單約束。計(jì)算結(jié)果表明，優(yōu)化后的線路變坡點(diǎn)基本與地面點(diǎn)重合，目標(biāo)函數(shù)值接近于0，優(yōu)化結(jié)果令人滿意。本文方法的正確性在理論上得到驗(yàn)證。

圖3 算例

作為工程應(yīng)用，筆者將本文方法用于某鐵路縱斷面優(yōu)化計(jì)算，線路起始里程CK9＋900，終止里程CK32＋600，全長22.7km，共設(shè)橋梁1座，隧道4座，地面地形點(diǎn)最大高程差79.1m。人工設(shè)計(jì)線路縱斷面變坡點(diǎn)個(gè)數(shù)22個(gè)，為了增加優(yōu)化效果，將全部線路分成4段計(jì)算：第一段CK9＋900～CK15＋300，線路長度5.4km；第二段CK15＋300～CK20＋700，線路長度5.4km；第三段CK20＋700～CK28＋100，線路長度7.4 km；第四段CK28＋100～CK32＋600，線路長度4.5km。縱斷面優(yōu)化結(jié)果見表1，計(jì)算中目標(biāo)函數(shù)收斂趨勢(shì)見圖4。經(jīng)過優(yōu)化計(jì)算，各坡段的目標(biāo)函數(shù)值都有明顯減小，變坡點(diǎn)在縱向和豎向都發(fā)生位移，線路縱斷面更趨合理。限于篇幅，此處無法給出優(yōu)化前后的縱斷面對(duì)比圖。經(jīng)粗略估算，可節(jié)約工程費(fèi)用約6%。

表1 縱斷面優(yōu)化結(jié)果

圖4 目標(biāo)函數(shù)值－迭代次數(shù)關(guān)系曲線

鐵路縱斷面優(yōu)化是一項(xiàng)涉及面很廣的綜合性技術(shù)，需要各相關(guān)學(xué)科理論知識(shí)的相互協(xié)調(diào)配合。本文應(yīng)用響應(yīng)面方法擬合目標(biāo)函數(shù)顯式表達(dá)式，對(duì)鐵路縱斷面進(jìn)行優(yōu)化，理論計(jì)算和工程實(shí)際算例均表明了該方法的正確性和有效性。

［1］詹振炎.鐵路選線設(shè)計(jì)的現(xiàn)代理論和方法［M］.北京：中國鐵道出版社，2001.

［2］薛嘉慶.最優(yōu)化原理與方法［M］.北京：冶金工業(yè)出版社，1992.

［3］GB50090－2006鐵路線路設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國鐵道出版社，2006.

［4］佟曉利，趙國藩.一種與結(jié)構(gòu)可靠度分析幾何法相結(jié)合的響應(yīng)面方法［J］.土木工程學(xué)報(bào)，1997，30（4）：51－57.