半空間夾雜物對彈性波散射的有限元法求解

邵爭平 李大廣

(1.新疆地質工程勘察院，新疆烏魯木齊 830000;2.天津農學院，天津 300000)

0 引言

近些年來，隨著國民經濟的快速發展，新一代核電站、機場、高速鐵路、大跨度空間結構等大型重要工程項目不斷涌現。由于我國多數地區位于6度以上地震設防區域，大型土木工程結構的抗震安全性引起了學術界和工程界的廣泛關注。而結構抗震設計的關鍵是確定合理的地震動輸入。研究地下彈性夾雜對彈性波的散射對于場地地震動參數的合理確定具有重要意義。為了滿足理論和工程上的需要，多年來人們在這方面做了大量的研究，取得了許多有價值的成果。綜合文獻來看其研究方法主要有兩種，一種是解析法［1-4］，另外一種是數值法，包括有限元法、有限差分法、混合方法等。

本文擬采用波動有限元方法［4］，結合粘彈性人工邊界，求解彈性半空間中夾雜物對入射P波的散射。通過參數分析，研究均勻半空間中彈性夾雜對彈性波散射的基本規律。

1 計算模型

圖1為半空間中任意彈性夾雜對彈性波散射的整體計算模型?？紤]實際問題的復雜性，采用動力有限單元法對該問題進行求解研究。為便于分析整體反應本質規律，把握問題的關鍵因素，暫限于二維分析。假設平面波從半空間入射，彈性夾雜截面沿z軸方向不變，整體反應處于平面應變狀態。首先進行均勻半空間自由場分析，然后進行波場分離，對散射場(外行波)引入粘彈性人工邊界，通過對動力平衡方程的離散求解得到總波場。夾雜物和半空間介質的有限單元離散如圖1所示，考慮到夾雜周圍波場比較復雜和應力集中，對該區域進行了單元細化。

圖1 半空間中彈性夾雜有限元離散圖

2 計算方法

整體運動方程的有限元格式為:

其中，［M］，［C］，［K］分別為結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;{¨u}，{˙u}，{u}分別為節點的加速度、速度和位移向量，體系上施加的外力為P(t)。

在任何給定的時間t，這些方程被認為一系列考慮了慣性力和阻尼的靜態方程。用步長積分的方法計算出整個時間段的地震反應。

逐步積分法基于增量動平衡方程，其推導過程如下。

結構體系在時間t時的動平衡方程為:

在時間t+Δt時的動平衡方程為:

假設子步內加速度線性變化，由式(3)減去式(2)即得增量動平衡方程:

在增量動力平衡方程中，假定［K］t和［C］t在時間間隔(t，t+Δt)中為常量，［M］不隨時間變化。

3 算例與分析

針對半空間中夾雜物對平面P波的散射問題，下面通過數值計算，進行參數分析。平面P波的豎向入射角度(與y軸夾角)為θα。假定入射波隨時間為簡諧變化。首先定義無量綱頻率:η=2a/λβ。該參數表示夾雜物直徑同剪切波波長的比值。圖2給出了不同頻率、不同角度P波入射情況下，夾雜物上方地表位移幅值。參數取值:夾雜物埋深d/a=1.5，夾雜物內外剪切模量比值μ2/μ1=1/6，密度比 ρ2/ρ1=2/3，泊松比均取為 1/3。入射波角度分別取:θα=0°，30°，60°，入射波頻率分別取 η =1.0，1.5 和 2.0?？梢钥闯?，隨著入射角度變化，地表位移反應特征差異很大。而豎向位移峰值一般出現在波垂直入射情況。θα=60°情況，水平位移幅值較大。隨著入射角度增大，當接近水平入射時，地表位移反應很小，夾雜物對平面波的散射效應也很微弱。隨著入射波頻率增大，地表位移振蕩更為劇烈，散射作用也更為明顯。

圖2 不同頻率平面P波入射下地表位移幅值（軟夾雜）

圖3 不同頻率平面P波入射下地表位移幅值（硬夾雜）

圖3 針對硬夾雜物情況，給出了不同頻率、角度P波入射情況下，夾雜物附近地表位移幅值。參數取值:夾雜物埋深d/a=1.5，夾雜物內外剪切模量比值 μ2/μ1=6/1，密度比 ρ2/ρ1=3/2，泊松比均取為1/3。如圖3所示，硬夾雜對平面波的散射同軟夾雜情況有顯著的差異，一般在夾雜正上方位移幅值較小。但需要注意的是在夾雜直徑區域之外，由于散射波的影響，會出現位移放大效應。另外，還可以看出，隨著入射波頻率增大，夾雜正上方位移振蕩較平緩，而夾雜區域外部，則振蕩較為劇烈。

4 結語

結合粘彈性人工邊界，利用波動有限單元法，求解了彈性半空間中彈性夾雜對彈性波的二維散射。本文主要分析了夾雜物對附近地面運動的影響，分析入射波頻率和角度等因素對附近地面運動的影響。研究表明:半空間中彈性夾雜對彈性波的散射同全空間情況存在很大差別。彈性夾雜對附近位移幅值有著顯著的影響，但影響規律隨著介質軟硬程度發生較大變化。軟夾雜上方的位移放大比較明顯;隨入射角度變化，地表位移反應特征差異很大。P波入射時，豎向位移峰值一般出現在垂直入射情況。隨著入射角度增大，當接近水平入射時，地表位移反應很小，夾雜物對平面波的散射效應也很微弱。入射波頻率對位移反應影響較大。

［1］李宏亮，劉殿魁.SH波作用下圓形夾雜與裂紋的相互作用［J］.哈爾濱工程大學學報，2004，25(5):618-622.

［2］劉殿魁，田家勇.SH波對界面圓柱形彈性夾雜散射及動應力集中［J］.爆炸與沖擊，1999，19(2):115-123.

［3］袁曉銘.地表下圓形夾塞區出平面散射對地面運動的影響［J］.地球物理學報，1996，39(3):373-381.

［4］廖振鵬.工程波動理論導引［M］.北京:科學出版社，1999.