自由曲面數(shù)控加工的實時自適應進給速度規(guī)劃算法

董靖川，王太勇，丁彥玉，李 勃，劉 喆

（1. 天津大學 電氣與自動化工程學院，天津 300072；2. 天津大學 機構(gòu)理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津300072；3. 天津大學 機械工程學院，天津，300072）

0 引言

進給速度規(guī)劃對數(shù)控機床的加工效率、輪廓精度、振動和表面質(zhì)量等方面有重要影響。對于自由曲面的加工，CAM軟件生成的程序包含了大量的由小線段組成的刀具路徑。數(shù)控系統(tǒng)需要在機床性能的約束條件下對進給速度曲線進行優(yōu)化，以減少加工時間并獲得平滑的進給運動。

為了實現(xiàn)小線段程序的高速平滑加工，在數(shù)控系統(tǒng)中引入了前瞻算法。前瞻算法提前預讀若干程序段，并通過對預讀程序段的分析實施加減速處理。Han等人[1]引入了預讀緩沖區(qū)實現(xiàn)對小線段的速度規(guī)劃。Hu等人[2]討論了小線段轉(zhuǎn)角的約束條件，并對前瞻段數(shù)和時間的關系進行了仿真。Luo等人[3]發(fā)表一種通過雙向鏈表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)的通過速度規(guī)劃算法。Ye等人[4,5]對小線段幾何特征進行分類，引入了包含多個小線段的規(guī)劃元。但是該方法中要求規(guī)劃元內(nèi)小線段數(shù)目基本相等，而且需要根據(jù)經(jīng)驗指定。

小線段路徑在轉(zhuǎn)角位置具有方向不連續(xù)性。為了提高加工速度，降低沖擊，很多學者應用曲線擬合或插值的方法修改程序中的加工路徑以提高連續(xù)性[6～8]。但曲線構(gòu)造、速度規(guī)劃和插補的方法需要的運算量非常大，而且會產(chǎn)生一定的誤差。實際上，在生成自由曲面加工程序時，由于原始刀具路徑本身是連續(xù)曲線，可以通過提高CAM軟件的直線擬合精度減小生成的程序中相鄰小線段間的方向變化。但在復雜曲面加工中，刀具路徑的曲率變化范圍很大，在高曲率位置如果以高速進給會產(chǎn)生很大的沖擊，需要進行適當控制[10]。同時，在不同曲面相交的位置刀具進給方向也會發(fā)生突變，需要預先檢測并處理。

本文針對自由曲面數(shù)控加工的小線段程序，提出了一種自適應進給速度規(guī)劃算法。通過分析小線段間幾何關系對曲率進行估計，在此基礎上實施進給速度調(diào)整。同時檢測進給速度具有較大突變的轉(zhuǎn)角位置，進行速度限制。在前瞻處理中采用了具有限制加加速度的7段加減速曲線，給出了不同情況下的規(guī)劃解。在該算法中開發(fā)了目標速度濾波器，以減小進給速度波動，并降低速度規(guī)劃單元的數(shù)量，減少實時運算負擔。最后，通過仿真和實際加工測試驗證了本文算法的有效性。

1 自適應進給速度調(diào)整

1.1 加工路徑曲率估計

在自由曲面的高速加工中，如果采用恒定的進給速度加工，那么在到達刀具路徑曲線上大曲率的位置時將產(chǎn)生極大的加速度沖擊，導致輪廓誤差增大和機床結(jié)構(gòu)振動。為了達到平穩(wěn)的加工效果，數(shù)控系統(tǒng)需要在大曲率位置自動減速，降低法向加速度。在三維空間中，對于解析式已知的參數(shù)曲線，曲率κ可由下式確定：

然而，對于由微小線段組成的加工路徑，無法獲得曲率的解析表達式，因此只能根據(jù)線段間的幾何關系對曲率進行估算。

首先考慮對于圓的等弦高誤差小線段逼近，如圖1所示。其中，φ為兩個小線段間的夾角，S為小線段長度，則可求得半徑R為：

注意到在生成自由曲面的數(shù)控加工程序時，為了減少小線段的數(shù)目，CAM軟件同樣會采取等弦高誤差的方法用小線段生成加工路徑。可以根據(jù)小線段的長度及線段間的夾角構(gòu)造一個近似曲率圓?C，如圖2所示，并用其半徑作為曲率半徑的估計。假設加工路徑上某個小線段的長度為S，該線段與上一線段間的夾角為φ，則曲率半徑估計值?ρ為：

圖1 圓的等弦高誤差小線段逼近

圖2 小線段加工路徑的曲率半徑估計

按照式和估計曲率時，需要進行耗時的三角函數(shù)計算。在實時速度規(guī)劃中，可以用以下方法避免三角函數(shù)計算。如圖3所示，假設相鄰兩個小線段的單位方向向量分別為1e和2e，則：

單位方向向量e1和e1還可以進一步用于插補計算。

圖3 用向量關系求解

1.2 進給速度調(diào)整

若刀具路徑上某一點的曲率為κ，進給速度為v，則該點的法向加速度nA為：

假設加工過程中允許的最大法向加速度為Anmax，曲率半徑估計值為κ?，由式可知進給速度v應滿足：

對于刀具路徑上一個小線段，假設其編程進給速度為pv，則其目標運行速度tv可設置為：

另外，如圖3所示，在加工路徑的上兩個小線段的夾角位置，由于有速度方向的突變，可能造成沖擊。在對連續(xù)曲面加工時，一般相鄰小線段間夾角接近180°，沖擊較小。但在刀具路徑不連續(xù)的地方，例如兩個曲面的相交位置，則可能造成較大沖擊。因此必須限制速度突變。設伺服系統(tǒng)允許的最大突變?yōu)閙axvΔ，則轉(zhuǎn)角處進給速度cv應滿足：

2 前瞻速度規(guī)劃

2.1 限制加加速的加減速方法

對于運動路徑上的每一個速度規(guī)劃單元（簡稱規(guī)劃元），給定其運動距離、起始速度、目標速度和結(jié)束速度，為了獲得平滑的進給運動，需要應用適合的加減速方法得到其速度規(guī)劃曲線。限制加加速度的加減速方法具有連續(xù)的梯形加速度曲線，減少了對結(jié)構(gòu)的沖擊。完整的加減速曲線包含7段[9]，如圖4所示。圖中，t，S，v，A，J分別表示時間，位移，速度，加速度和加加速度。在每個段內(nèi)的運動方程為

根據(jù)機床特性，可以設定最大加加速度J和最大加速度Amax，則最大加加速時間Tj為:

在對小線段路徑進行速度規(guī)劃時，在長度較短或速度變化較小的情況下，加減速曲線可能少于7段。速度規(guī)劃需要確定加減速曲線包含哪些階段，并確定各階段的運行時間。給定規(guī)劃元長度S，起始速度vs，目標運行速度vt和目標結(jié)束速度vet，通過位移方程和速度方程可解出各段運行時間，具體規(guī)劃算法如下：

圖4 完整的限制加加速度加減速曲線

1）計算臨界距離1cS

4）計算臨界距離c4S

6）計算臨界距離c5S

在求解某些規(guī)劃結(jié)果時需要解高次多項式方程，可以采用Newton-Raphson迭代方法求得數(shù)值解，其中迭代初始值可設為

2.2 前瞻速度規(guī)劃

在速度規(guī)劃中，為了減少不必要的加減速，縮短加工時間，希望每個規(guī)劃元的目標結(jié)束速度vet盡量大。在實時前瞻速度規(guī)劃中，控制器通過提前預讀多個規(guī)劃元確定當前規(guī)劃元的 vet。假設前瞻緩沖區(qū)內(nèi)已預讀了N個規(guī)劃元，其中第k個規(guī)劃元的長度和目標速度分別為 S (k)和 vt(k)，由式確定的第 k -1個和第k個規(guī)劃元間的轉(zhuǎn)接點速度限制為 vc(k - 1 )，設 vme(N)=0，則以第N段到第1段的順序依次應用以下反向速度規(guī)劃得到 vet。

2.3 目標速度濾波器

由前瞻算法原理可知，速度元的數(shù)量決定了速度規(guī)劃的實時計算量和加減速的次數(shù)。在加工小線段程序時，如果將每個小線段視為一個規(guī)劃元，則需要大量實時運算，同時加減速限制在每個小線段內(nèi)部，造成過多加減速。為此，本文提出了目標速度濾波器算法，以減少規(guī)劃元的數(shù)量。假設第k段小線段的目標運行速度為 vtin(k)，則對應的濾波器輸出 vtout(k)為

式中a為濾波器參數(shù)，取值范圍[0,1)。目標速度濾波器的作用是，在目標速度變化較小時，延遲目標速度的變化，使相鄰的小線段盡可能以相同的目標進給速度運行，如圖5所示。

圖5 目標速度濾波

若第k段和第 k + 1 段的轉(zhuǎn)角限制速度為 vc(k)，則對于滿足 vtout(k)= vtout(k + 1 )且的相鄰兩個小線段可以合并到一個規(guī)劃元。通過反復執(zhí)行合并，一個規(guī)劃元可以包含多個微小線段。可見，目標速度濾波器減少了規(guī)劃元數(shù)量，提高了加工效率。

3 實驗測試

首先，在matlab軟件中驗證本文提出的實時自適應進給速度規(guī)劃算法的有效性，測試軌跡如圖6所示。該平面圖形由1498條小線段構(gòu)成。根據(jù)本文算法獲得的曲率估計如圖7所示。軌跡規(guī)劃中編程進給速度為1000mm/min，前瞻規(guī)劃緩沖區(qū)大小為10個規(guī)劃元，允許的最大速度突變?yōu)?0mm/s，最大法向加速度為50mm/s2，最大加加速度為50000mm/s3，最大加速度為2500mm/s2，濾波器參數(shù)為0.3。在未開啟目標速度濾波器和開啟目標速度濾波器的情況下，規(guī)劃結(jié)果分別如圖8和圖9所示。可見，開始目標速度濾波器后，速度波動明顯減少，運動軌跡更加平滑，總體運行時間也更少。同時可以看出，進給速度在尖角處和高曲率位置處自動下降，防止產(chǎn)生沖擊，實現(xiàn)了自適應調(diào)整。

圖6 平面測試刀具路徑軌跡

圖7 平面測試刀具軌跡曲率估計

圖8 未開啟目標速度濾波器的規(guī)劃結(jié)果

圖9 開啟目標速度濾波器的規(guī)劃結(jié)果

為了驗證實際加工自由曲面零件時的效果，在自行開發(fā)的運動控制卡上實現(xiàn)了本文的算法。該運動控制卡基于ARM處理器和FPGA芯片，其實物如圖10所示。實際加工在一臺加工中心上進行。測試加工程序為三軸聯(lián)動曲面銑削，包含大量小線段，其曲率估計結(jié)果如圖11所示。由于測試程序的進給方向與X軸呈45度夾角，因此看以看出曲率分布并不對稱。測試時編程進給速度為2000mm/min，前瞻規(guī)劃緩沖區(qū)大小為100個規(guī)劃元，允許的最大速度突變?yōu)?0mm/s，最大法向加速度為1000mm/s2，最大加加速度為10000mm/s3，最大加速度為500mm/s2，濾波器參數(shù)為0.3。在加工過程中切削進給平穩(wěn)，沒有振動現(xiàn)象，實際加工效果如圖12所示。

圖10 運動控制卡實物

圖11 曲面銑削刀具路徑的曲率估計結(jié)果

圖12 測試加工的零件

4 結(jié)論

本文針對自由曲面的小線段程序加工問題提出了一種實時自適應進給速度規(guī)劃算法。該算法能夠?qū)庸ぢ窂降那蔬M行估計，并在高曲率位置和大速度突變位置自動實施減速，實現(xiàn)了自適應進給速度調(diào)整。通過限制加加速的前瞻速度規(guī)劃處理實現(xiàn)了平滑的進給速度曲線。目標速度濾波器的應用減少了規(guī)劃元數(shù)量，降低了實時規(guī)劃運算量。仿真和實際加工測試驗證了本文算法的可行性。與傳統(tǒng)方法相比，本文方法不但能夠?qū)崿F(xiàn)基于曲率估計的自適應平滑速度規(guī)劃，而且有效降低了小線段程序的前瞻處理運算量，有利于實現(xiàn)高性能數(shù)控加工。

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