電磁軸承五種故障模式下的容錯控制與分析

段 焱，鄭世強

（北京航空航天大學 儀器科學與光電學院，北京 100038）

0 引言

隨著主動磁軸承應用范圍的逐步擴大，主動磁軸承的可靠性也變得越來越重要。主動磁軸承的可靠性已成為其廣泛應用的一大障礙。根據電磁軸承獨特的冗余結構，在部分線圈（功放）故障的情況下，可對其進行容錯控制，以保證電磁軸承系統穩定可靠地運行。

二十世紀九十年代，美國弗吉尼亞大學的Maslen和Meeker[1]針對任意結構的徑向磁軸承提出了廣義偏流線性化理論，該理論提出一種通用的將電磁力和控制電流兩者關系顯性化的方法，當線圈（或功放）全部正常工作時，可以得到電磁力和控制電流之間的線性化控制關系，當部分線圈（或功放）失效的情況，利用廣義偏流線性化仍然可以電磁力與控制電流之間的線性化關系。因此，廣義偏流線性化理論可以為磁軸承系統執行器容錯控制提供理論基礎。Schroder[2]和Ming[3]在Maslen的基礎上采用拉格朗日法進行了電流分配矩陣的求解，Na[4,5]在此基礎上又進行了仿真分析。Won[6,7]針對一種永磁偏置四磁極結構，利用拉格朗日乘子法計算電流分配矩陣。

國內對這方面研究比較少，吳步洲[8,9]等根據文獻[1]中提到的磁軸承結構和容錯控制方法進行了參數計算和仿真。韓輔君[10]針對一種Homopolar結構的永磁偏置結構磁軸承，根據力不變原理得到故障前后控制電流的關系，進而得到相應的電流分配矩陣。本文在Maslen和Meeker提出的廣義偏流線性化的基礎上，針對某種八極點磁軸承進行了五種故障模式分析，并且利用一種類似牛頓-拉普遜的數值方法進行每種故障模式下電流分配的計算，仿真結果表明，這種方法所求出的電流分配矩陣能夠在線圈五種故障模式下實現磁軸承線圈容錯的目的，提高了磁軸承系統的可靠性，最后還對每種故障模式下電磁軸承的軸承承載力進行了計算和分析。

1 軸承電磁力的一般表達式

主動磁軸承閉環控制系統的執行器是電磁軸承定子線圈，指定大小和方向的電磁力可通過控制每個線圈上的電流產生。以一個八磁極的徑向電磁軸承為例（結構示意圖以及磁路模型如圖1所示），利用磁路法推導軸承所產上的電磁力。

圖1 磁軸承結構示意和磁路模型

首先假定鐵磁體工作在線性區，設磁通φj的正方向如圖1中箭頭方向所示，每個磁極的電流方向均與φj符合右旋法則。由安培環路定律，可以得到7個獨立等式，由磁通守恒定律又可得到1個獨立等式，將這8個獨立等式寫成矩陣的形式，得

本文以NNSS磁極結構為例，可以引入一個電流方向矩陣Id來描述實際的電流方向：

因此電流向量可表示為：

磁場中的所有能量可看作存儲在整個氣隙中，其表達式為：

根據虛位移原理，磁場在x，y方向上產生的力分別為：

2 廣義偏置電流線性化

采用廣義偏流線性化的方法可以將任意情形下的電磁力轉換為電流的線性函數。首先，假設軸承力已經被線性化成電流的函數，即每個方向的軸承力正比于這個方向的控制電流，即：

其中c0是偏置電流，cx、cy分別為x方向軸承力Fx，y方向軸承力Fy對應的控制電流。而在實際控制中，為了將c0、cx和cy與實際電流Ir對應起來，可引入一個電流分配矩陣W，滿足：

由（11）式可知，只要W已知就可得到軸承力和電流的線性關系。為了得到電流分配矩陣W，首先將（10）式帶入（8）式可得：

對照（12）和（13）可得電流分配矩陣滿足的條件為：

3 電流分配矩陣求解

電流分配矩陣W首先應該滿足式（14）這一約束條件，然后利用文獻[1]中總所提到的類似牛頓-拉普遜的數值方法可以分別求解得到五種故障模式下電流分配矩陣。

五種故障模式下電流分配矩陣定義為：線圈無故障時的電流分配矩陣為Wm，線圈出現故障時的電流分配矩陣為Wmfx，x表示故障線圈編號，具體數值計算如下。

4 仿真與分析

4.1 容錯方案

本文的容錯方案可描述為：在容錯控制時，根據檢測到相應的故障模式，電流分配矩陣模塊切換到相應的電流分配矩陣W，W將一路偏置電流c0和兩路PID控制器輸出的控制電流cx、cy經過功放分配到八個磁極上，并且結合轉子當前位置，計算軸承電磁力，在對轉子進行控制，最終實現轉子穩定懸浮。根據上述的容錯控制方案，可設計如圖2所示的磁軸承線圈容錯控制系統。

圖2 電磁軸承容錯控制系統模型

4.2 仿真模型

控制系統模型參數的具體取值如表1所示，電磁極中心線與x軸夾角如表2所示。

表1 仿真系統參數表

表2 磁極中心線與x軸夾角表

4.3 仿真條件

1）磁軸承轉子動力學模型為

2）故障設定：t=0.01s時線圈1發生故障，t=0.03s時線圈1和線圈2同時發生故障，t=0.05 s時線圈1、線圈2和線圈4同時發生故障，t=0.07 s時線圈1、線圈2、線圈4和線圈6同時發生故障，t=0.09 s時線圈1、線圈2、線圈4、線圈6和線圈7同時發生故障。

4.4 仿真結果

圖3和圖4為電磁軸承容錯控制系統在磁軸承在正常模式與五種故障模式下系統的位移與電流響應波形圖。

在電磁軸承系統容錯控制時，以轉子在x軸的位移輸出為例從圖3可以看出在t0=0 s時刻，磁軸承控制系統開始調節轉子的初始位置，使其穩定在x=0，y=0的位置上，很快磁軸承轉子穩定懸浮在初始位置。

圖3 電磁軸承容錯控制位移波形圖

圖4 電磁軸承容錯控制電流波形圖

分別在t1=0.01s，t2=0.03s，t3=0.05s，t4=0.07s時刻，電磁軸承系統分別有一個線圈，兩個線圈，三個線圈和四個線圈發生故障，觀察位移波形圖中可知系統容錯過程都比較快，迅速的就可以過渡到平穩狀態。從電流波形圖如圖4所示中也可以清晰的看到這一過程中八個線圈中電流的變化情況。

在t5=0.09s時刻，有五個線圈同時發生了故障，磁軸承控制系統再一次進入容錯調節過程，觀察位移波形可知電磁軸承系統進入了一個比較緩慢的衰減震蕩的容錯過程，最終趨于穩定。由容錯過程時間較長，振幅較前四種模式增大，可知這種故障模式下系統穩定性較前四種模式有所降低。

根據圖3和圖4可知電磁軸承容錯過程調節時間很短，振幅也比較小，調節過程基本上保持了快速平穩的過渡。

5 結論

仿真結果表明，當若干個磁軸承定子線圈或功放故障時，利用本文計算出的每種故障模式下電流分配矩陣和容錯控制方法，都可以確保系統穩定運行。

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