結構設置粘彈性阻尼器后的簡諧受迫振動

符 蓉

(華中科技大學文華學院城建學部土木工程系，湖北武漢 430070)

0 引言

粘彈性阻尼器作為一種理想的耗能構件，目前正廣泛的應用到結構抗風抗震工程領域當中。當結構設置了粘彈性阻尼器后，結構的一些動力特性將會發生改變，因此正確描述粘彈性阻尼器的本構關系是研究結構動力特性的基礎。采用分數導數描述的粘彈性阻尼器本構關系可以僅用較少的參數構成粘彈性阻尼器的力學模型，并能反映外部激勵頻率的變化對粘彈性阻尼器的力學性能的影響，被認為是一種能精確描述粘彈性阻尼器特性的模型。本文研究了結構設置粘彈性阻尼器后的受迫振動，推導了結構對簡諧激勵的穩態響應，討論了粘彈性阻尼器參數對結構幅頻特性的影響。

1 粘彈性阻尼器的分數導數模型

粘彈性阻尼器主要以支撐的形式附加在結構上。當結構受到外激勵作用產生層間位移時，就會帶動粘彈性阻尼器兩側鋼板和中間鋼板產生相對運動，從而使鋼板之間的粘彈性材料產生剪切變形，耗散能量，實現減小結構反應的目的。粘彈性阻尼器的力學特性由分數導數描述為:

其中，kd，cd，α均為與粘彈性阻尼器有關的常數。而 Riemann-Liouville分數導數的定義為:

2 設置粘彈性阻尼器結構的計算模型

設置粘彈性阻尼器結構的動力特性分析是十分復雜的，因為結構一般為多自由度體系，但是一些重要的結構動力特性可以通過分析單自由度結構獲得。為了分析的方便，本文以設置粘彈性阻尼器的單自由度結構為研究對象，如圖1所示，其中，m，c，k分別為結構的質量、阻尼系數和水平剛度。粘彈性阻尼器以斜支撐的形式附加在結構上。

圖1 設置粘彈性阻尼器的單自由度結構計算模型

結構在水平簡諧激勵作用下，其動力方程為:

無量綱化后為:

3 結構的穩態響應

當結構不受到外激勵時，進行Laplace積分變換可以證明，不計平衡點的微小漂移時相應的自由振動方程:

漸近于平衡點。由于Riemann-Liouville分數導數為線性算子，則可以假設的結構的穩態響應與激勵有相同的頻率。

即:

將式(6)代入式(4)，并注意到分數導數的求導公式:

可以得到:

將sin(ωt－φ －απ/2)和 sinωt分別寫成 sin[(ωt－φ)－απ/2]和 sin[(ωt－φ)+φ]，利用三角公式展開并令 sin(ωt－φ)和cos(ωt－φ)項系數相等，得到:

分別消去φ和A，依次可以得到穩態響應的振幅為:

將式(11)和式(12)代入式(6)，即可以得到系統的穩態響應。

4 結構的幅頻特性分析

穩態強迫振動的振幅與結構在靜荷載P作用下產生的靜位移P/(k+kd)的比值稱為動力放大因子β，即:

將放大因子 β寫作頻率比s=ω/ωt的函數，其中 ωt=，則 β(s)為:

由式(14)可以得到與不設置粘彈性阻尼器結構類似的結果如下:

粘彈性阻尼器的粘性系數由系數ζd和α體現?，F在通過數值分析討論ζd和α對幅頻特性的影響。假設ωn=2.0 rad/s，ωd=0.5 rad/s，ζ=0.02。α =0.2，0.4，0.6，0.8 時動力放大因子 β 隨頻率比s變化的曲線分別如圖2～圖5所示，在每個圖中，曲線由上至下依次取 ζd=0.0，0.25，0.5，0.75，1.0。

圖2 α=0.2的幅頻特性曲線

圖3 α=0.4的幅頻特性曲線

從圖2～圖5可以看出，幅頻特性存在最大值，即出現共振。增大ζd和α均可以使共振的幅值減小。由于結構的自身阻尼ζ=0.02很小，所以當附加阻尼ζd=0.0時共振時基本在s=1時出現。隨著ζd的增加以及α的存在使得共振不在s=1出現。對于給定的α，共振頻率隨ζd增大而顯著減小。對于給定的ζd，共振頻率隨著α增大而增大，但是變化不是很明顯。

圖4 α=0.6的幅頻特性曲線

圖5 α=0.8的幅頻特性曲線

5 結語

本文建立了由分數導數型本構關系描述的粘彈性阻尼器結構的動力方程，得到了該結構對簡諧激勵的穩態響應，并分析了粘彈性阻尼器參數對幅頻特性的影響。由于分數導數是線性算子，傳統的疊加原理依然適用，根據本文的結果可以得到系統對一般周期激勵的穩態響應。

[1]Miller K S，Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations，1993.

[2]Koh C G，Kelly J M.Application of Fractional Derivative to Seismic Analysis of Base-isolated Models.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1990:229-241.

[3]劉延柱，陳文良，陳立深.振動力學[M].北京:高等教育出版社，1998.