軟集和模糊集的相互轉化

蔡曉波 劉用麟

（1.漳州師范學院 數學與信息科學系，福建 漳州 363000；2.武夷學院 數學與計算機學院，福建 武夷山 354300）

一、軟集和模糊集的定義和同構

美國學者Zadeh于1965年提出的模糊集理論[1]，以及Molodstov于 1999年提出的軟集理論[2]，都是用以處理研究不確定性的數學方法。

定義1[1]設U為論域，則U上的一個模糊集A由U上的一個實值函數uA:U→[0，1]來表示。對于u∈U，函數值uA（u）稱為u對于A的隸屬度，而函數uA稱為A的隸屬函數。

論域U上的所有模糊集的全體記為ζ（U），稱為模糊冪集。

由模糊集的分解定理以及表現定理[1]，我們不難發現可以用截集來定義一個模糊集。

定義3 設U為論域，則U上的一個模糊集A由一個由[0，1]到 P（U）映射 Aλ定義，如果 Aλ滿足其中，Aλ稱為 A 的 λ截集稱為元素u的隸屬度。

不難證明對于模糊集的兩種定義是等價的。在本文的討論中，我們將更傾向于使用后者。

假設U為所考慮的論域，E為參數集，A?E，按照Molodstov的理論可以如下定義一個軟集。

定義4[2]稱一個序對（F，A）為U上的軟集，其中F為A到U的冪集P（U）的一個映射。

比較定義3和定義4不難發現，模糊集是軟集的特殊形式，軟集可以認為是模糊集的一般化。所以，在本文的研究中，我們將把模糊集作為軟集的同態或者同構直接認為是模糊集之間的同態或者同構。

實際上，由于一般的軟集的元素之間并沒有定義運算，所以對于一般軟集之間的同態和同構的定義并沒有學者研究過。本文將借用H.Aktas和N.Cogman在對軟群的研究過程中提出的軟群同態和同構的定義。

定義 5[3]設（F，A）和（H，B）分別是 G、K 上的軟集，如果映射f，g滿足以下條件：

（1）f是G到K的滿同態；

（2）g是A到B的滿射；

（3）? α∈ A ，f（F（α））=H （g（α）），

則稱（f，g）是一個軟集同態，稱（F，A ）同態于（H ，B），簡記（F，A）～（H ，B）。

如果 f是 G 到 K 的同構，g是雙射，則稱（f，g）是一個軟集同構，稱（F，A）同構于（H ，B），簡記（F，A）≈（H ，B）。

對于兩個沒有定義任何運算的集合之間的滿同態我們認為其等同于滿射；對于兩個沒有定義任何運算的集合之間的同構我們認為其等同于一一映射。這們的處理方便我們將一般的軟集和特殊的軟代數統一考慮，而不是將討論范圍限定為一般軟集或者某種特殊的軟代數，如軟群。

二、模糊集到軟集的轉化

前面已經提到，模糊集是特殊的軟集。所以這里將要提到的模糊集對軟集的轉化實際上可以認為是兩個軟集之間的同構變化。

在不引起混淆的情況下，稱軟集（F，A）是由模糊集M生成的。

三、軟集到模糊集的轉化

本節將討論特殊軟集到模糊集的轉化方法，在本節的其它部分，我們將試圖使這一轉化方法在更一般的軟集上可用。

1、第一類軟集

第一類軟集可以看做是直接由模糊集生成的，其具體定義如下。

定理1 由模糊集生成的軟集是第一軟集。

證明：由第一類軟集的定義，顯然。

第一類軟集到模糊集的轉化是顯然的。

定義8 設（F，A）是第一類軟集，則模糊集M稱為由（F，A）φ-生成的，其中

在不引起混淆的情況下，稱模糊集M是由軟集（F，A）生成的。

2、第二類軟集

我們試圖將軟集到模糊集的轉化推廣到更一般的軟集上，由此產生了第二類軟集的概念。但是第二類軟集并不是第一類軟集的更一般形式，它只是為第一類軟集的一般化所做的一個鋪墊。

定義 9 設（F，A）是一個軟集，φ：[0，1]→ A 是一個一一映射，且滿足

則稱（F，A）為第二類軟集。

定理2 第二類軟集能夠可逆轉化為第一類軟集。

證明：設（F，A）為第二類軟集，另設

則（G，A）是第一類軟集。另由第二類軟集的定義可知這一過程是可逆的。

3、第三類軟集

第三類軟集即是第一類軟集的更一般形式。

定義 10 設（F，A）是一個軟集，φ：[0，1]→A 是一個一一映射。則稱（F，A）是第三類軟集。

定理3 第三類軟集能夠可逆轉化為第二類軟集。

易證這一過程是可逆的。

定理4 第三類軟集能夠可逆轉化為第一類軟集。

證明：由定理2和定理3顯然。

四、模糊集和軟集相互轉化的可逆性討論

由于第三類軟集能夠可逆轉化為第一類軟集，所以在本節中，我們將主要討論模糊集合第一類軟集相互轉化的可逆性。

我們所要討論的可逆性將主要由以下四個定理給出。

綜上所述，M≈N。

在以上的證明過程中，我們不難發現以下的特殊情況。

定理 6 設 M ∈ ζ（U），（F，A）是由 Mφ生成的模糊集，N 是由（F，A）ψ生成的模糊集，且 φ（λ）=ψ（λ），? λ∈[0，1]，則有 M=N。

證明：由定理5的證明過程，顯然。

以上兩個定理說明模糊集向軟集的轉化是可逆的。

定理7 設（F，A）是U上的第一類軟集，模糊集M 是（F，A）ψ-生成的，第一類軟集（G，B）是由 M φ-生成的，則（G，B）≈ （F，A）。

證明：設e為恒等映射；則e為U到U的同構，即同構的條件（1）成立。

由于 ψ是[0，1]到 A 的一一映射；φ是[0，1]到 B的映射，所以φ·ψ-1是A到B的一一映射，即同構的條件（2）成立。

在以上的證明過程中，我們不難發現以下的特殊情況。

定理8 設（F，A）是U上的第一類軟集，模糊集M 是（F，A）ψ-生成的，第一類軟集（G，B）是由 M φ-生成的，且 ψ（λ）=φ（λ），? λ∈ [0，1]，則（G ，B）=（F，A）。

證明：由定理7的證明過程，顯然。

以上兩個定理說明第一類軟集向模糊集的轉化是可逆的。

五、其它的特殊軟集

本文主要討論了第一類軟集和模糊集之間相互轉化的可逆性，以此為基礎也可以證明第二類以及第三類軟集和模糊集之間相互轉化的可逆性。

實際上，我們感興趣的還有其它的一些特殊軟集。比如給定 U 上的一個軟集（F，A ）,如果 A={α1，α2，…}為一個可數集。那么我們可以構造一個如下的二元函數

利用這一函數我們可以定義U上的一個模糊集M，其中

易證這一變化也是可逆的。

研究模糊集和軟集之間的相互轉化的目的是要利用模糊集的已有理論解決軟集中的問題，或者反過來利用軟集中的已有理論解決模糊集中的問題。不過本文將不會就此展開了。

[1]Zadeh L.A.Fuzzy Sets[J].Inform.Control,1965,8：338-353.

[2] Molodstov D.Soft sets theory-first results[J].Comput.Math.Appl.,1999,37：19-31.

[3] Aktas H.Soft Sets and Soft Groups[J].Inform.Sci.,2007,177：2726-2735.