基于Matrix Pencil的低頻振蕩辨識及PSS優化配置研究

張軍財 金 濤

（福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350108）

電力系統低頻振蕩的傳統分析方法是建立在小干擾穩定分析基礎上的，在平衡點線性化處理得到近似的狀態空間方程，繼而求解系統矩陣的特征值?；ヂ摰碾娏ο到y無疑是龐大而復雜，為高階系統，參數繁多。因而，建立準確的數學模型并求解高維數的系統矩陣無疑是非常困難的[1]?；诒孀R的振蕩模態識別方法能夠直接從系統輸出的受干擾軌跡的信號中提取系統的模態信息。

PSS抑制電力系統低頻振蕩是目前公認的最為經濟的，有效一種手段[2]。在PSS優化設計過程中除了PSS參數設計重要外，PSS的地點配置亦是一個重要課題[3]。在實際電力系統中每臺機組都安裝PSS是不現實的，而且過多的控制器之間也有可能產生耦合效果，會降低控制效果。因此，研究如何在復雜多機系統的低頻振蕩中PSS的優化配置是有意義的，為合理的安裝PSS阻尼控制器提供指導，提高電力系統的穩定性。在多機電力系統的低頻振蕩中，通常認為對其中參與振蕩主導模態的發電機組安裝PSS進行控制。

在對PSS配置地點的問題研究中，通常是基于特征值分析法的基礎上，對系統矩陣以及控制和輸出矩陣進行一定的變化，分解出主導振蕩模態在各輸出量上可觀性向量和控制量上的可控性向量。此類方法有最早的右特征向量法[4]，以及后來發展而來的參與因子法等[5-6]。然而特征值分析是需對電力系統進行建模前提下進行的，這必須要有所研究的電力系統的完備的參數以及復雜而處理、計算，顯然不太現實。文獻[7]提出用傳遞函數留數進行PSS和SVC的選址方法，無需對電力系統建模，能定量評價系統狀態變量的可控性和可觀性指標。

在給定的已知干擾信號情況下，本文研究了基于Matrix Pencil算法的建立系統低階近似傳遞函數，并對建立的系統低階近似傳遞函數輸出與仿真系統輸出對比驗證該方法的有效性。并在此基礎上，對系統傳遞函數基于SVD分解分析系統各輸出和輸入量對電力系統的主導振蕩模態的影響，找出對主導振蕩模態能觀性顯著的輸出狀態量，和對主導振蕩模態能控性顯著的輸入量，從而找出最適合的PSS安裝機組，對分析結果進行仿真試驗驗證其有效性。

1 基于Matrix Pencil的傳遞函數辨識

對于一個單輸入單輸出的線性時不變系統，輸入輸出滿足如下關系：Y( s)為輸出，G( s)為傳遞函數，I( s)為輸入。

因為是線性時不變系統，傳遞函數G( s)可寫成含特征值和對應留數的形式，如下：

式中，jλ為系統特征值，Rj對應的留數。

對于輸入I( s)，可給予如下特定特征的信號，由一系列延遲信號相加而成，表示如下：

式中，D0=0，λn+1輸入信號特征值，Dk為延遲信號時間常數，ck延遲信號的幅值。

則輸出Y( s)根據是式（1），求得為

按部分式展開得：

其中：

對Y( s)進行拉普拉斯變換，

在t≥Dk時，輸出信號y( t)可以簡化為下式：

對輸出信號，可以利用Matrix Pencil算法對獲得的輸出數據進行低頻振蕩辨識分析，求得各振蕩模態的振蕩頻率、阻尼系數、振蕩幅值和相對相位等有關信息。

將辨識得到的輸出信號與式（8）對比，得

因此，傳遞函數留數Rj則據下式可求：

在本文中對于輸入信號I( s)，令 λn+1=0，c1=-c0，ck=0 （ k = 2 ,3,…） 。所以輸入信號簡化為I(s)=

2 奇異值分解分析PSS優化配置

n×n的多輸入多狀態變量輸出之間的傳遞函數有如式（12）成立

對傳遞函數進行奇異值分解如下：

U(s)=[U1( s), … ,Un(s )]為G(s)奇異值分解后左奇異值向量，V(s)=[ V1( s) ,… ,Vn( s )]為右奇異值向量，且滿足

Λ(s) = diag (Λ1(s ),… ,Λn(s ))為G(s)奇異值分解得到的奇異值矩陣。

如此，左右奇異值向量則構成n維狀態輸出空間與n維輸入空間的標準正交基，Λ(s)則是輸入向量和輸出狀態在各自的酋空間中的各對應坐標值之間的增益。

在低頻振蕩中，只考慮低頻振蕩主導振蕩模態i，其振蕩頻率 w ，將s=jw帶入G(s)得G(jw)，得到的G(jw)即為主導振蕩模態的矩陣。對G(jw)進行奇異值分解如下：

式中，Λ(jw)是由G(jw)的奇異值構成

且滿足有關系：

U(jw)和VT(jw)則為對應于G(jw)的左、右奇異值向量。

若abs(σ1(j w))? abs(σ2(j w))

則有：

U1(j w)反映了輸出狀態量x對模態i的能觀性，反映了輸入量對模態i的能控性。

3 仿真實驗分析

3.1 求辨識傳遞函數

對于如圖1所示的4機2區域系統，對機組1的勵磁參考電壓在1s時刻施加幅值為0.05，持續時間為0.1s的方波脈沖干擾，則輸入信號拉普拉斯變換為I( s)=。用Matrix Pencil方法分別對干擾消失后的 4機轉速變化曲線擬合求取y(τ)。求出的信號極點如圖2所示，從此圖可以看出有一對極點在復數圖的右半平面，系統不穩定。

圖1 4機2區域電力系統

圖2 信號極點分布圖

根據前文中的方法求取低階近似辨識傳遞函數，取4階近似。分別以G11、G12、G13、G14表示以機 1的勵磁參考擾動電壓為輸入，4臺發電機的轉速變化為輸出建立的傳遞函數。表1給出了辨識傳遞函數的參數，Num、 Den分別為傳遞函數分子、分母。

表1 機1的勵磁參考擾動電壓為輸入，4機的轉速變化為輸出的傳遞函數

將求得的辨識傳遞函數給以的輸入和系統對于4機2區域系統的機組1的勵磁參考電壓給以的輸入一樣：在 1s時刻受到幅值為 0.05，持續為 0.1s的方波脈沖干擾信號輸入，然后對比輸出如圖3所示。從圖3可以看出，降階辨識傳遞函數的輸出與4機 2區域系統的轉速變化輸出基本一致。在開始受到干擾的時刻出時段，輸出誤差比較大，原因是辨識傳遞函數是降階的擬合，忽略掉了不是弱阻尼的振蕩模式，在干擾后一段時間（4～5s后），擬合度越來越好，原因是弱阻尼振蕩模式衰減較快，經過一段時間衰減到很小。

圖3 辨識傳遞函數輸出與4機2區域系統輸出比較

用同樣的方法，分別以機2、3、4的勵磁參考擾動電壓為輸入，4機組的轉速變化為輸出求取低階近似辨識傳遞函數，建立4×4的多輸入多輸出系統的傳遞函數。

3.2 SVD分解分析PSS配置

用 Matrix Pencil分析輸出干擾軌跡得到振蕩主導模態的角頻率w=2×pi×0.65rad/s。圖4是4×4低階近似辨識傳遞函數的幅頻特性曲線特性曲線，從圖4也可以看出系統的在角頻率w=4.095rad/s附近最大。

圖4 4×4傳遞函數的幅頻特性曲線

基于SVD分解主導振蕩模態的矩陣G(jw)可得到Λ(jw)、、分別如下：

Λ( jw)=diag(1.1555, 0.1198,0.0947,0.0170)

左奇異向量

右奇異向量

對應于最大奇異值，從左右奇異值向量分別取絕對值后的第一列，可以看出，機3的主導模態的能觀性最好，機2的主導模態的能觀性最差；機4的主導模態的能控性最好，機1的主導模態的能控性最差。本文的 PSS的反饋信號采用各自的機組轉速變換信號，因此將左右奇異向量點乘取絕對值，并除以向量中最大的值，得[0.5936,0.4254,0.9626,1]。從該向量可以看出配置PSS效果好的機組是機3、4，效果差的是機1、2。

對上述分析結果進行仿真驗證。分別在機1、2、3、4上單獨裝設以各自的轉速變化為輸入的PSS控制器。PSS采用IEEE標準的單通道PSS模型，結構框圖如圖5所示，包含放大環節、隔直環節、兩個相位補償環節和限幅環節四個環節。本文實驗設計PSS參數采用留數法設計，得到的各機PSS參數見表2。

圖5 IEEE單通道PSS模型

表2 4機PSS的參數表

實驗條件則仍在機1上施加小脈沖干擾，1s時刻受到幅度為0.05，持續時間為0.1s勵磁電壓干擾信號，觀察其各自抑制振蕩效果。圖6是顯示的是聯絡線上功率振蕩曲線圖。從圖6中的PSS效果可以看到，在機4上裝設PSS效果最好，其次是機3，機1、2效果不好，不能很好地抑制區域間振蕩。說明基于 SVD分解法的能夠定量地分析多機系統中各機組參與振蕩主導模態的程度，并據此配置 PSS是實現低頻振蕩抑制是合理的。

圖6 不同PSS配置點下的聯絡線上功率振蕩曲線

電力系統安全穩定運行一般要求系統阻尼比不小于0.05，大約5個周波振蕩要衰減至很小?？紤]到機3、4參與區間振蕩模式程度深，于是在機3、4裝PSS并設計好參數。仿真運行比較無PSS、全部裝PSS，機3、4裝PSS聯絡線功率振蕩曲線如圖7所示。從圖可知在機3、4上裝可以抑制低頻振蕩，滿足穩定運行的要求。

圖7 不同PSS配置點下的聯絡線上功率振蕩曲線

4 結論

本文通過基于Matrix Pencil方法的傳遞函數辨識，并對建立的系統低階近似傳遞函數，并與4機2區域系統輸出對比，結果驗證該方法能準確地得到系統低階近似傳遞函數模型；并在此基礎上，對系統傳遞函數基于SVD分解方法分析了多機系統PSS優化配置，并實驗仿真分析結果說明基于SVD分解方法的多機系統PSS優化配置是可行有效的。

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