細線繞柱問題的探討

李 力

（重慶清華中學 重慶 400054）

在普通物理的力學課程里，細線繞柱問題比較常見，“如圖1，在光滑水平面上立一圓柱，在其上纏繞一根細線，線的另一頭系一個質點.起初將一段線拉直，橫向給質點一個沖擊力，使它開始繞柱旋轉.在此后的時間里線愈繞愈短，質點的角速度怎樣變化？其角動量守恒嗎？動能守恒嗎？”［1］

圖1

圖2

筆者認為上述解答中，“質點的角動量減少”是對的，“角速度增大”也是正確的（此點說理不夠充分），但“繩的張力做了功”和“動能增加”則不對.事實上，繩不斷地纏繞在光滑圓柱的過程中，質點速度與細繩總是垂直的，從而繩的張力不做功，質點的動能守恒，下面我們詳加分析.

把質點在運動中細繩纏繞圓周的過程“回放”，不難意識到質點的運動軌跡正是圓周的漸開線.數學上一般的平面封閉凸曲線C的漸開線是這樣定義的［2］：把繞在一個平面封閉凸曲線C上的不可伸長的細繩伸開，保持細繩與曲線C在將要離開的點相切，這時繩端畫出的運動軌跡L叫所繞曲線C的漸開線.

漸開線有一條重要性質［2］即漸開線L在任一點的法線與所繞曲線C相切.而細繩與凸曲線C處處相切，所以，質點運動軌跡的法線與細繩是重合的，這正是質點速度（在運動軌跡的切線方向上）與細繩垂直的原因.

由于前述問題中細線繞的是圓柱，所以，我們來證明圓的漸開線具有這條性質.如圖3，設定圓的中心為O，半徑為R，而A是繩子未拉開時繩端質點的位置.現取O為原點，過O與A的直線為x軸.設M（x，y）是圓的漸開線上任意一點，這時繩子的一段為直線MT，且是圓的切線.令 ∠AOT＝θ，則漸開線的方程為［2］

圖3

x＝R（cosθ＋θsinθ）

y＝R（sinθ－θcosθ）

與M對應的圓周上的動點T的坐標為xT＝Rcosθ，yT＝Rsinθ，所以，動點T和M的速度分別為

易證：vT·v＝0，即vT與v互相垂直，這說明漸開線上M點的切線與圓周上相應點T的切線彼此垂直，也就是繩端質點速度與繩子MT是垂直的.

同樣地，針對一般的封閉凸曲線，可以通過研究繩端質點以及繩與所繞曲線的切點的運動，簡捷地證明漸開線的這條重要性質，具體的證明可參看文獻［3］.

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理題解（上冊）.北京：高等教育出版社，2009.28

2 《數學手冊》編寫組.數學手冊.北京：人民教育出版社，1979.379，380，400

3 李力.再談《物塊速度垂直于懸線的數學證明》.物理教師，2005.1