路面激勵下彈體-運輸車耦合振動分析

吳邵慶 艾洪新 郭應征

(東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室，南京 210096)

(東南大學土木工程學院，南京 210096)

導彈是國防戰略的重要組成部分.現代戰場要求導彈等軍事裝備能夠快速、靈活且精確打擊目標，因此，導彈應具有大推力推進裝置和較大長徑比.彈體長徑比增大使得其柔性增加，在服役過程中動力學問題也更加突出.事實上，由于振動造成結構損傷和內部儀器設備損壞的現象在彈體服役過程中較為常見.因此，彈體振動問題研究至關重要.導彈在服役前常需經過一定距離的運輸;同時，為了滿足戰時靈活機動的要求，導彈需要具備在野外通過發射車直接發射打擊目標的能力，汽車運輸是最常采用的運輸方式.

公路運輸環境下由路面不平整引起的振動激勵具有寬頻、隨機的特征.在由振動引起的彈體動應力水平不高的工況下，長距離公路運輸仍可能引起彈體結構的疲勞損傷.因此，公路運輸過程中導彈動響應水平將直接影響其服役性能.通過仿真分析準確預測運輸時彈體上動響應，能夠節省試驗經費，縮短研究周期，具有重要的研究意義.

路面激勵引起運輸車輛振動，運輸車振動由支撐傳給彈體，彈體自身振動又會通過支撐影響運輸車振動.由此，運輸過程中彈體和運輸車構成了一個耦合振動系統.

關于彈體等包裝物公路運輸已有不少研究成果.馮翔等［1］開展了固支支撐工況下導彈水平放置時彈體的固有模態分析及試驗驗證;許誠等［2］利用飛航導彈的有限元模型，研究了運輸過程中彈體隨儲運箱掉落時的沖擊問題;徐偉民等［3］在只考慮單層堆碼且包裝物與車廂捆扎(未考慮包裝物與車身間支撐)工況下，建立了車輛－包裝箱的動力學方程，并預示了脈沖激勵作用下系統的加速度響應;李恩奇等［4］利用NASTRAN軟件建立了運輸車與彈體的三維有限元模型，研究了車－彈間支撐剛度對彈體振動加速度的影響，并提出減振方案;武鑫楓［5］利用模態疊加法分析了由兩自由度彈簧－質量系統和其上柔性懸臂梁組成的剛柔耦合系統的振動響應，并探討了該系統的減振控制方法;Ghaith［6］對車模型上固定的懸臂梁進行了非線性建模和動響應分析，用于模擬大型機翼結構的公路運輸;Ragulskis等［7］研究了包裝箱公路運輸時的振動響應，建議合理的運輸車速應保證路面激振頻率與結構自然頻率之間最大偏離.李曉剛［8］建立了以白噪聲為路面激勵的車輛－包裝件系統的動力學模型，借助MatLab/Simulink開展了頻域隨機振動分析，獲得了內裝產品及易損零件隨機振動的加速度功率譜.

本文利用歐拉－伯努利梁來模擬柔性彈體，利用有限元方法將梁模型離散后與模擬運輸車的四自由度彈簧－質量系統通過自由度匹配方法建立了車－彈－剛性地面系統的耦合動力學方程.其中運輸車和彈體之間的支撐采用彈簧－阻尼系統模擬，地面不平度參照國標規范［9］規定.根據建立的耦合動力學模型求解路面上行駛車－彈系統上任意部位、任意時刻的振動響應時程，并進一步探討支撐剛度、運輸車速度以及路面等級等因素對彈體設備艙部位振動量級的影響，為運輸過程中彈體的動響應分析、振動控制以及安全性評估提供參考.

1 車-彈耦合動力學模型

1.1 彈體動力學模型

導彈多為具有較大長徑比的柔性結構.采用如圖1所示歐拉－伯努利梁來模擬其動力學特性.彈體梁模型的動力學方程為

式中，ρA，c和EI分別為梁結構的線密度、阻尼以及抗彎剛度;u(x，t)為梁上x處t時刻的位移響應;F1(t)，F2(t)分別為運輸車與彈體間的支撐力;li為第i個支撐與彈體左端點的距離.本文為了動力學模型的推導方便，只考慮包含2個支撐的情況，對于多個支撐情況下的動力學方程可通過類似的推導得出.

圖1 彈體梁模型

采用梁單元離散彈體模型，可得如下有限元模型:

式中，Ms，Cs和Ks分別為彈體結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，本文采用瑞利阻尼模型，則有Cs=α0Ms+α1Ks，其中，α0和 α1為常數;分別為梁模型的節點位移、速度和加速度向量;Hs為梁模型上支撐與彈體間相互作用力的位置矩陣，且有

式中，N為考慮邊界條件時梁模型的自由度數;NP為支撐處相互作用力的個數，本文取NP=2;Hi為第i個力所作用梁單元的形函數，表示為

式中，L為彈體總長度;l1為第1個支撐到彈體左端點距離;l2為第2個支撐到彈體左端點距離;g為重力加速度.

1.2 運輸車動力學模型

本文采用如圖2中所示的四自由度彈簧－質量系統來模擬運輸車的動力學特征.盡管運輸車輛一般都為多軸掛車，但采用兩軸的車模型在推導其耦合振動方程時并不失一般性.圖中，F'1(t)，F'2(t)為支撐對運輸車的作用力;F3(t)，F4(t)為地面對輪胎的作用力;L0為彈體與運輸車間兩支撐的距離;S為車軸距;a1，a2為分配系數;y3，y4分別為梁模型上兩支撐處的位移.

圖2 運輸車模型

根據能量法，利用Lagrange方程可以推導運輸車輛的動力學方程為

1.3 車-彈耦合動力學模型

將彈體有限元模型和運輸車動力學模型通過支撐處自由度匹配，建立車－彈耦合振動系統動力學方程，即

其中，r(x1)，r(x2)分別為兩車輪作用處的路面粗糙度;r'(x)=表示路面粗糙度函數對空間位置的一階導數表示第i個輪子位置對時間的一階導數.

1.4 路面粗糙度

在GB7031—86規范［9］中，路面粗糙度功率譜密度由下式定義:

式中，n0為參考空間頻率，n0=0.1 m－1;n為空間頻率，m－1，n=f/v，f為時間頻率，v為車速;Gd(n0)為在參考空間頻率n0下的路面功率譜值，稱為路面不平度系數，Gd(n0)取 16×10－6，64×10－6，256 ×10－6和 1024 ×10－6m3，分別對應 A，B，C和D級公路;w為頻率指數，決定路面譜的頻率結構，一般取w=2.

根據規范中給出的路面位移功率譜密度，路面粗糙度隨空間變化的函數r(x)可以表示為［10］

式中，θk為一組在0～2π之間服從均勻分布的隨機相位;Gd(fmid，k)為將功率譜的時間頻率劃分為n1個小區間，每個小區間的中心頻率fmid，k處的譜密度值，且

可以證明，由一系列包含隨機相位的簡諧成分疊加而成的粗糙路面剖面樣本服從高斯分布，且每個樣本都可以能夠準確反映式(8)中給出的功率譜密度，具有各態歷經的性質.

2 數值仿真

2.1 車-彈模型參數

彈體、運輸車模型參數如表1所示.

將彈體支撐假設為彈性支撐，在支撐處未加裝阻尼器工況下，其阻尼較小，在本研究中假設支撐阻尼忽略不計，即C1=C2=0;當兩支撐剛度分別為K1，K2時，根據車－彈耦合模型中彈體自由度對應的質量、剛度子矩陣的特征值獲得帶支撐約束彈體梁模型的固有頻率.由于在車－彈模型動力學模型推導過程中包含阻尼項，因此，當支撐阻尼不為零時，本文的分析方法也同樣適用.假設彈體梁模型前兩階模態阻尼比為0.02，利用帶支撐梁模型的前兩階固有頻率計算彈體梁模型的瑞利阻尼系數.利用Matlab編寫計算程序，采用Newmark－β法求解方程(7)，對不同工況下車－彈耦合振動系統動響應進行分析.路面不平度曲線可根據式(10)計算.由于設備艙部位對振動量級要求苛刻且位于彈頭附近，本研究中假設彈體梁模型右側第1個單元中左側節點位置為設備艙部位，并定義為彈體上重點部位.

表1 車－彈模型參數

2.2 支撐剛度對彈體動響應的影響

支撐條件對彈體上振動量級、動應力分布等有一定影響.工程中需要設計合理的支撐剛度，以降低彈體各部位處振動量級.將運輸車－彈體間的2個彈性支撐剛度取相同值，分析運輸車以10 m/s速度在B級公路上行駛時，彈體上重點部位處位移、加速度隨支撐剛度的變化規律，如圖3所示.

彈體支撐剛度過小會引起彈體運動位移過大，在設計時應該予以避免.由圖3可知，支撐剛度過小時彈體振動位移很大，隨著支撐剛度增大，彈體上重點部位處振動位移均方根減小并趨于穩定;振動加速度均方根隨支撐剛度增加呈先增后減然后緩慢增加，最后趨于穩定的變化趨勢，與文獻［5］中得出的規律一致.當支撐剛度較小(如小于8.0 MN/m)時，彈體加速度均方根隨支撐剛度增大而增大，其原因為支撐剛度增大使得車輛的振動能夠更好地傳遞給彈體，同時路面激勵使得車－彈系統在多模態發生共振，引起彈體加速度均方根出現峰值;隨著剛度的進一步增大，共振現象減弱，加速度均方根出現谷值，本工況下，當支撐剛度K1=K2=37 MN/m時，重點部位處加速度均方根出現最小值(3.92 m/s2);之后當支撐剛度繼續增大至102MN/m量級時，加速度均方根逐漸收斂趨于穩定，此時，支撐呈現剛性，彈體與車身的振動量級接近.綜合考慮彈體重點部位的振動位移和振動加速度隨支撐剛度的變化情況，在本工況下，K1=K2=37 MN/m為支撐剛度的最優值.

圖3 彈體重點部位動響應隨支撐剛度變化規律

2.3 車速對彈體動響應的影響

運輸車行駛速度對彈體振動量級也有較大影響.考慮運輸車在B級公路上行駛，分析不同車速工況下，彈體上重點部位處的動響應.圖4給出了車速v=10 m/s時彈體重點部位處的位移、速度和加速度時程.

圖5中給出了彈體設備艙部位的位移、速度和加速度均方根隨車速變化的曲線.可以看出，彈體設備艙處的位移、速度和加速度均方根隨車速增大呈波動增大的趨勢.其原因在于，隨著車速增加，由路面激勵F3(t)，F4(t)的表達式可知，路面激勵對車－彈系統的激振頻率上限會提高，且激振能量分布隨著速度變化而變化.當車速增大時，激振頻率上限提高引起位移響應增大，同時在系統位移響應中增加更多的高頻成分，即位移變化加快，引起速度和加速度均方根增大.根據車－彈系統固有特性分析，其頻響函數在中低頻范圍內有較多峰值，當然路面激勵頻譜各峰值與系統頻響函數各峰值重疊較多時，會引起動響應均方根呈現局部最大值.當車速繼續增大，在一定范圍內激勵和頻響的峰值又會錯位，引起動響應均方根的減小，從而形成如圖5所示動響應均方根波動上升的曲線.

圖4 B級公路上車速v=10 m/s時彈體重點部位處動響應

圖5 B級公路上車速對重要部位處動響應均方根的影響

2.4 路面等級對彈體動響應的影響

路面不平整是車－彈系統的主要激振源，研究路面狀況對彈體動響應的影響非常必要.取運輸車的行駛速度為10 m/s，路面等級取國標規范［9］中的A，B，C，D級4個等級，分別代表路面狀況好、一般、不好、差4種工況進行分析.

圖6中給出了C級公路上以10 m/s速度行駛的運輸車上彈體重點部位處動響應時程.對比圖4和圖6中結果可知，運輸車以相同速度(10 m/s)行駛時，隨著路面狀況的惡化(由B級公路變為C級公路)，彈體重點部位處的豎向振動位移、速度和加速度幅值明顯增大;表2給出了運輸車以相同速度(10 m/s)行駛在不同等級路面上時，彈體上重點部位處的振動位移、速度、加速度均方值(RMS值).可以看出，路面狀況的好壞，對于彈體的運輸振動環境有很大的影響，較差路況導致的彈體振動以及其內部動應力和變形更容易引起彈體結構和內部儀器的損壞.

圖6 C級公路上車速v=10 m/s時彈體重點部位處動響應

表2 不同路面等級下彈體重點部位振動響應均方根

3 結論

本文對導彈在公路運輸過程中的振動問題進行模擬.利用有限元和能量法推導了路面激勵下車－彈系統的耦合動力學方程，并利用Matlab編程實現了路面激勵輸入模擬以及路面激勵下運輸車上彈體重點部位處振動量級的定量分析，為導彈運輸的減振設計和安全評估提供理論分析手段.

利用數值仿真分析了支撐剛度、運輸速度以及路面等級等因素對彈體上設備艙部位振動水平的影響，得出如下結論:

1)彈體上設備艙部位振動位移均方根隨支撐剛度增加而減小并趨于穩定.

2)彈體振動加速度均方根隨支撐剛度增加呈現先增后減然后緩慢增加最后趨于穩定的變化趨勢.當支撐剛度較小時，彈體加速度均方根隨剛度增大而增大，其原因為支撐剛度增大使得車輛振動能夠更好傳遞給彈體，同時路面激勵使得車－彈系統在多模態發生共振，引起彈體加速度均方根出現峰值;隨著支撐剛度進一步增大，共振現象減弱，加速度均方根出現谷值;再繼續增大支撐剛度，加速度均方根緩慢增加后趨于穩定，此時，支撐呈現剛性，彈體與車身的振動量級接近.

3)彈體上位移、速度和加速度均方根隨運輸車速增大呈波動增大的趨勢.

4)隨著路面狀況的惡化，彈體上的振動位移、速度以及加速度都會有明顯增大.路面狀況的好壞，對于彈體運輸振動環境有很大影響，較差路況導致的彈體振動以及其內部動應力和變形更容易引起彈體結構和內部儀器的損壞.

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