數(shù)字圖像相關(guān)方法中的標定對三維形貌和變形測量的影響

陳振寧 劉 聰 何小元

(東南大學土木工程學院，南京 210096)

(東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室，南京 210096)

近年來，隨著光電技術(shù)和計算機的快速發(fā)展，數(shù)字圖像相關(guān)方法［1-4］(digital image correlation，DIC)、電子散斑干涉法、相移法、時間序列法等高精度、非接觸、無損傷的現(xiàn)代光測實驗力學方法［5］逐步走向數(shù)字化和自動化.而數(shù)字圖像相關(guān)方法以其全場測量、現(xiàn)場可測等特點備受關(guān)注，其在土木工程、交通運輸?shù)瓤茖W領(lǐng)域的應(yīng)用得到學者們的普遍關(guān)注［6］.

數(shù)字圖像相關(guān)方法是一種基于光電成像和計算機數(shù)字處理的測量技術(shù)，對相機成像質(zhì)量要求較高.而相機成像是基于針孔成像模型的，對成像元件內(nèi)部參數(shù)進行標定是必不可少的步驟.對于雙相機三維DIC系統(tǒng)，同時要標定2個相機間的相對位置和內(nèi)部參數(shù)才能確定空間中的被測物體位置.因此，標定成為三維DIC系統(tǒng)中關(guān)鍵的步驟.由于實際工程測量現(xiàn)場的復(fù)雜性，標定過程很隨意，使得標定結(jié)果不精確，從而影響測量精度.針對上述問題，本文研究了棋盤標定板的姿態(tài)，考察了標定結(jié)果的穩(wěn)定條件，從而優(yōu)化標定過程.

1 數(shù)字圖像相關(guān)方法

由于散斑的隨機性，物體上計算點周圍小區(qū)域(通常稱為子區(qū)或者模板)的斑點分布是各不相同的，假設(shè)變形前后物體同一個點的灰度不變，因此，若計算點未超出圖像范圍，可以認為子區(qū)中的計算點在變形后的圖像中唯一存在［7］.設(shè)子區(qū)變形前圖像灰度為f(x，y)，變形后的圖像子區(qū)灰度為g(x，y)，根據(jù)相關(guān)函數(shù)進行一定的相關(guān)搜索即可得到目標點變形后的位置.常用的衡量公式歸一化的相關(guān)函數(shù)C表達式［2］為

式中，(2M+1)×(2M+1)為子區(qū)的大小;fm，gm分別為參考子區(qū)和搜索子區(qū)的平均灰度值.運用相關(guān)搜索使得C達到最大值.為了獲得亞像素精度，需要在進行整像匹配的基礎(chǔ)上進行亞像素估計.圖1為一個點的相關(guān)搜索示意圖，對于參考子區(qū)中任一點，可在目標子區(qū)搜索到該點的位置.

由于單相機的二維相關(guān)方法不能保證相機絕對垂直于試件表面，同時，二維數(shù)字圖像相關(guān)方法對試件表面要求苛刻，降低了該方法的測量精度.因此，基于雙目立體視覺原理和三維匹配等技術(shù)的三維DIC被應(yīng)用到物體的三維形貌、位移、應(yīng)變等物理量的測量中［4，8］.下面將介紹相機成像模型，引入雙目立體視覺原理，對三維雙相機DIC的系統(tǒng)進行標定.

圖1 相關(guān)搜索示意圖

2 相機模型與三維標定原理

2.1 針孔相機模型

一般情況下，可用理想針孔模型描述相機成像原理.相機成像的幾個常用坐標系為世界坐標系W-XYZ、相機坐標系C-XcYcZc和圖像坐標系I-xy.

由于相機靶面不一定與被測平面平行，并且工藝制造也存在誤差，要獲得高精度的測量結(jié)果，首先需要知道相機坐標系和世界坐標系之間存在平移和旋轉(zhuǎn)關(guān)系.設(shè)空間中任意一點P的世界坐標為 X={X，Y，Z}T，在相機坐標系中為 Xc={Xc，Yc，Zc}T，則有以下方程:

式中，R為3×3旋轉(zhuǎn)矩陣，其獨立變量為3個旋轉(zhuǎn)角，可以用旁向傾角ω、航向傾角φ和圖像旋角κ表示;t為3×1平移向量，有3個獨立分量 tx，ty，tz.稱參數(shù) ω，φ，κ，tx，ty，tz為每個成像相機的 6 個外部參數(shù).

則點P在相機內(nèi)成像表示為

式中，Cx，Cy為光軸與成像平面交點的圖像坐標，即為圖像主點.稱參數(shù) Cx，Cy，fx，fy為相機內(nèi)部參數(shù).將式(2)～(4)寫成如下矩陣的形式:

在棋盤標定中，通常把世界坐標系建立在標定板的表面，坐標原點放到第一個內(nèi)角點處.

2.2 鏡頭畸變

由于工藝的復(fù)雜性和生產(chǎn)誤差，鏡頭存在畸變使得實際像點與理想點存在像差，尤其是廣角鏡頭.在高精度測量中，必須進行鏡頭的畸變校正［9-11］.上述未經(jīng)校正的理想成像點為～x，設(shè)～x校正后的成像點x=(x，y)，校正畸變的成像點可表述為

式中，δ=(δx，δy)為像差向量(包括徑向像差和切向像差)，是由鏡頭畸變引起的.像差模型有多種，切向畸變的影響相對較小，因而將徑向畸變作為鏡頭畸變的主要影響因素［11］.由鏡頭徑向畸變引起的點A變形前后的成像誤差如圖2所示，假設(shè)δ1，δ2為變化前后點A的畸變像差，點A實際發(fā)生的變形為dAB，由于畸變的存在，成像變形為dA'B'.

圖2 鏡頭徑向畸變引起的誤差

因此，可以用下面的畸變形式表述［12］:

式中，k1，k2分別為一階、二階徑向畸變參數(shù)，即相機標定的畸變參數(shù)，等待標定;ρ為畸變點到畸變中心C的像素距離.

2.3 雙目視覺標定

圖3為空間中任意點P在2個相機中的成像模型，點P1為點P理想成像點，點P2為P點發(fā)生畸變后的成像點(假設(shè)在光軸與像平面的交點上，實際是需要標定的點).圖中的點P'為未進行畸變校正重建后的點，校正后重建點為真實點P.由圖可以清楚地看到，DIC要進行三維匹配計算必須首先知道世界坐標系W與左、右相機坐標系CL，CR的轉(zhuǎn)換關(guān)系，那么需要標定的相機外部參數(shù)有左相機的旋轉(zhuǎn)矩陣RL和平移向量tL、右相機的旋轉(zhuǎn)矩陣RR和平移向量tR、右相機相對左相機的旋轉(zhuǎn)矩陣 RR，L和平移向量 tR，L.理論上固定相機后，RR，L，tR，L是固定值不變的.其次，標定左、右兩個相機的內(nèi)部參數(shù)AL，AR(等效焦距和圖像中心)，以及畸變參數(shù) k1L，k2L，k1R，k2R.

圖3 雙相機成像模型

三維相機標定選取一些已知尺寸的參考物作為標定靶，常用的有原點、棋盤等圖案.本文用2個相機拍攝若干張不同姿態(tài)的棋盤標定靶，利用非線性最小二乘優(yōu)化方法L-M算法對2個相機的內(nèi)部參數(shù)和相對位置參數(shù)做全局優(yōu)化，這樣可獲得雙目立體視覺系統(tǒng)的各個標定參數(shù).

3 標定靶姿態(tài)數(shù)對標定穩(wěn)定性的影響

在進行相機內(nèi)部參數(shù)標定時，選擇5幅圖即可穩(wěn)定［13］;一般情況下，在外部參數(shù)標定時，盡量使棋盤繞橫向、豎向、縱向旋轉(zhuǎn)一定的角度，通常只需5組圖.但在具體實驗中，由于相機噪聲的存在和環(huán)境因素的影響，若標定姿態(tài)過少則標定結(jié)果不夠精確，標定姿態(tài)過多則不易于實驗操作，尤其是在環(huán)境相對復(fù)雜的工程實驗現(xiàn)場.本次實驗所用相機為2048×2448像素，鏡頭焦距為50 mm.標定2個相機時，使用的圖片數(shù)從5組姿態(tài)依次遞增到13組姿態(tài).如表1所示，隨著標定姿態(tài)的增多，外參 RR，L和 tR，L標定逐步趨于穩(wěn)定.

圖4(a)～(c)分別為左相機的內(nèi)部參數(shù)Cx，F(xiàn)y，k1隨標定姿態(tài)數(shù)變化值，結(jié)果顯示，當標定板的姿態(tài)數(shù)大于9時，內(nèi)參值變化相對穩(wěn)定，此時相機內(nèi)部參數(shù)標定的相對誤差不超過2%，如圖4(d)所示.因此，當標定板的有效姿態(tài)數(shù)達到9組以上，便可獲得穩(wěn)定可靠的相機標定結(jié)果，減少了過多標定姿態(tài)數(shù)給實驗帶來的麻煩.標定步驟的減少使得標定過程得到優(yōu)化，為三維計算提供了保證.

表1 外參標定結(jié)果

圖4 左相機內(nèi)部參數(shù)穩(wěn)定性分析

因此，讓棋盤分別繞既定的三軸旋轉(zhuǎn)一定的角度，獲得9組以上的標定圖片，即可獲得穩(wěn)定的標定結(jié)果.

4 應(yīng)用實驗

為了驗證標定結(jié)果，可以測量一個已知試件的形貌.選擇一個標準的圓弧型試件，擬合試件的半徑，與真實值做比較.

選擇半徑為68 mm、寬度為40 mm的鋁合金試件，使其沿離面方向產(chǎn)生剛體位移，選擇標定板角點數(shù)為11×8，間距7 mm.計算模板選擇29像素.處理實驗結(jié)果，分別選擇5組隨意標定姿態(tài)圖和10組優(yōu)化的標定姿態(tài)圖，通過三維DIC計算，由試件的三維形貌再擬合得出試件的半徑.圖5(a)為5組隨意標定姿態(tài)圖的擬合半徑，擬合結(jié)果為68.8 mm;圖5(b)是優(yōu)化標定方案后的結(jié)果，半徑為68.0 mm.

圖5 優(yōu)化標定前后擬合的試件半徑

下面將運用較好的標定結(jié)果進行離面位移的計算.取一小區(qū)域的位移場計算平均值、最大值、最小值，并將結(jié)果與真實值比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，二者的趨勢一致，如圖6(a)所示，所取區(qū)域各點位移的標準差平均值為0.001868 mm;圖6(b)是對實際位移－1.0 ～－1.2 mm 的局部放大圖.

5 結(jié)論

圖6 離面位移與實際位移比較

本文從三維DIC的基本原理出發(fā)，分析相機的標定在對物體形貌和變形進行測量時有重要的意義.以標準板棋盤格作為參考物，分別考察了標定物的姿態(tài)對相機內(nèi)、外參數(shù)等標定參數(shù)的影響.并且通過實驗，對曲表面試件的半徑和剛體位移進行考核.結(jié)果顯示，要獲得穩(wěn)定的標定結(jié)果，只需要9組以上不同姿態(tài)的棋盤標定圖，且不需要過多復(fù)雜的標定過程.優(yōu)化標定后的結(jié)果可以使得三維DIC測量精度高于2 μm，證實了三維DIC不僅操作簡便，還具有相當高的可靠性和精確度.

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