模擬混凝土破壞過程的微裂紋模型及其應用

吳佰建 李兆霞 郭 力

(東南大學土木工程學院，南京 210096)

混凝土材料先天性含有大量微觀缺陷，在外力的作用下，微缺陷進行分布式生長聚合形成宏觀主裂紋，主觀裂紋持續擴展導致混凝土的最終破壞［1］.混凝土破壞的細觀尺度模擬有兩大類方法，第1類方法是Lattice模型［2-5］.該類方法將物理模型通過某些方式簡化成桿件或梁結構模型，并設定桿件破壞規則，在此基礎上進行加載混凝土的破壞過程模擬，最后將計算結果加以處理，以裂紋等缺陷形式顯示.該類方法易于實現，但與材料實際情況差距較大.第2類方法將連續損傷力學的本構關系引入混凝土的多相材料中［6］，將混凝土視作多相連續體進行有限元建模，求解得到混凝土破裂過程.值得注意的是，一些在細觀尺度上進行基于多個黏結(cohesive)裂紋［7］或磨平(smeared)裂紋［8-9］的模擬實際上也屬于連續損傷力學方法的范疇.這是因為上述方法實際上都是將介質的不連續性(內部缺陷所致)通過某種方式歸結到材料的本構關系上，轉換成連續介質問題以有利于有限元建模.這類模型的共同點是將宏觀現象學方法用于微細觀尺度的各個非均質組分.混凝土的各組分都為脆性材料，不具有損傷演化導致的非線性材料特征.此外，混凝土力學行為研究的一個重要問題是定量解釋各個組分的脆彈性如何導致了整體的準脆性(即具有一定程度的延性和非線性強化行為)，上述基于損傷力學的方法大體上還是用非線性來解釋非線性.

與上述兩類方法不同，本文的建模直接基于混凝土的失效機理.將初始存在于骨料砂漿界面的裂紋視為主要初始缺陷形式，根據線彈性斷裂力學理論模擬裂紋從界面到基體的擴展聚合、主裂紋的形成與擴展、直至混凝土的破壞.本模型是對Krajcinovic模型［10］的推廣;實現上述目標的一個主要困難是如何實現裂紋聚合模擬，這也是本文研究的另一個關鍵問題.

1 混凝土微裂紋模型的建模準則

本文模型的目標是模擬混凝土先天性微裂紋擴展導致材料破壞的過程，建模過程中必須遵循的主要準則有:

1)先天的初始微裂紋主要存在于砂漿與粗骨料之間的界面上.由于細骨料對裂紋擴展影響不大，這里將細骨料與水泥漿合起來以砂漿的形式加以考慮.此外，將界面過渡區(ITZ)的行為考慮在界面的斷裂韌度中，不另加考慮.

2)裂紋擴展采用線彈性斷裂力學的基本準則，即K＞KC時裂紋擴展.其中K為裂紋應力強度因子，KC為斷裂韌度.這里采用線彈性斷裂力學的原因是混凝土的各組分都是線彈性脆性材料.

3)骨料、砂漿和界面的斷裂韌度具有如下關系:KC，a?KC，m＞ KC，i.其中 KC，a，KC，m和KC，i分別表示顆粒、砂漿和界面的斷裂韌度.因此，認為裂紋不會穿刺到骨料中.由于高強混凝土不一定滿足該假設，因而本模型目前不適用于高強混凝土.

4)在失效過程模擬中，采用應力強度因子控制方法，即具有最大K/KC值的裂紋才會擴展.加載過程中不斷調整荷載大小以使得最大應力強度因子始終等于斷裂韌度.雖然該方法相對應力或者位移控制計算效率較低，但不存在迭代和因此產生的收斂問題，也便于觀察混凝土內部狀態的逐步變化.

在上述準則導致的微裂紋擴展過程中，會出現裂紋之間的聚合現象，具體包括融合與交叉.其中，裂紋融合的形態如圖1(a)所示，裂紋1與裂紋2在某端點相遇，因而實質上融合成一條裂紋.圖1(b)顯示了2條裂紋的交叉，此時裂紋4擴展并與裂紋3的裂紋面相交，一旦2條裂紋相交，裂紋4的尖端應力奇異性將消失并停止擴展.因此，圖1(c)中的情形在理論上不會存在，在本模型中不予考慮.

圖1 主要的裂紋擴展形態

2 骨料投放方法

為遵循建模準則1)，實現不同級配的骨料在模型中隨機投放就成為微裂紋建模的關鍵，因為實現了骨料的隨機投放也就實現了砂漿骨料界面上初始微裂紋的隨機分布模擬.

骨料級配被分成幾個等級，記為{Gi:i=1，2，…，M}.在等級Gi中，骨料尺寸(即長軸的長度)為在(Di，Di+1)區間上均勻分布的隨機變量.在投放之前需要首先估計每個等級的顆粒數.這里骨料被認為是橢圓形的并具有隨機的長短軸比r，并假定r在0.5～1之間均勻分布.因此對于等級Gi，單個骨料的面積期望值可計算為

由此可以得到該等級的骨料代表尺寸為

長短軸比的代表值為ˉr=0.75.給定該等級的體積Vi，即可估算該等級的顆粒數為

基于上述各等級的顆粒數，利用Monte Carlo法進行骨料的投放，主要步驟如下:① 遍歷所有等級 Gi，分別隨機產生 Ni個骨料，記為{(di，j，ri，j):j=1，2，…，Ni}.這里 di，j為骨料尺寸，從 Di與 Di+1之間均勻地隨機抽取出來;ri，j為骨料的長短軸比，從0.5～1之間均勻地隨機抽取.全部骨料生成后記為{(di，j，ri，j):i=1，2，…，M;j=1，2，…，Ni}.②將所有骨料的尺寸di，j按照降序排列，重新記為{(di，ri):i=1，2，…，N}，其中 N=為顆粒的總數.降序排列的目的是保證大顆粒先投放，有利于提高投放的成功率.③遍歷所有顆粒，根據容器的大小隨機生成位置和長軸的方向，然后依次投放到容器內.在此過程中，不允許顆粒相互重疊［6，11-12］.此外，若顆粒暫時無法投放成功，則重新生成隨機數，進行多次投放.所有顆粒成功投放后，視作骨料投放結束，即獲得了所有顆粒的完整信息，記為 {(xi，yi，θi，di，ri):i=1，2，…，N}.這里xi，yi與θi分別為顆粒 i中心處的 x，y軸坐標與長軸角度.

3 混凝土微細觀裂紋模型

遵循上述準則，可通過建立混凝土物理模型繼而轉換得到混凝土微裂紋模型，并遵循相關裂紋擴展準則建立微裂紋擴展和聚合的模擬算法.

3.1 物理模型與裂紋模型

根據上述混凝土破壞機理，初始裂紋都被認為在砂漿/骨料界面產生，并且有可能擴展到砂漿中.界面裂紋與一般裂紋的特征完全不同，數學上裂紋尖端具有的抖動性質［13］使得在有限元模型中容納該變形和位移模式異常困難.因此一般混凝土的研究中都將界面裂紋處理成普通裂紋［10，14-15］.本文將文獻［10］中提出的理論模型擴展到混凝土破壞的全過程，從而將混凝土的物理模型簡化成裂紋模型.

本模型中，所有的裂紋都被模擬成普通裂紋.不同的是，當裂紋尖端位于砂漿/骨料界面時，斷裂韌度取為KC=KC，i;而當裂紋尖端位于砂漿中時，斷裂韌度取值為KC=KC，m.此外，物理模型的裂紋面位于界面的部分都將被映射到顆粒的長軸上.當裂紋模型計算完成后，可以通過逆映射對應到真實的破壞狀態.

圖2給出了上述簡化方法在單個顆粒情形下的示意圖，其中粗實線為裂紋面.圖3給出了某試樣物理模型與理想化模型的實例圖.圖3(b)中的裂紋是根據各顆粒最大可能的界面裂紋長度而繪制的，不是實際的初始裂紋長度.實際計算過程中，初始裂紋在所示線段上以一定長度比例隨機產生.將破壞前的裂紋構形逆影射到物理模型中，形成圖3(d)所示的混凝土實際破壞模式.

3.2 微裂紋擴展準則和融合、交叉模擬

初始狀態只含有界面裂紋.隨著加載的進行，裂紋首先在界面上擴展，之后可能擴展到基體中.本文采用統一的裂紋擴展準則來決定裂紋的擴展.計算等效應力強度因子KJ為

圖2 裂紋的實際曲線與理想化的裂紋

圖3 混凝土微裂紋模型示意圖

式中，KⅠ，J，KⅡ，J分別為裂紋 J 的Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子.裂紋擴展準則為:當 KJ＞KC，J，且 KⅠ，J＞0時，裂紋擴展，否則不擴展.其中 KC，J為裂紋 J斷裂韌度.根據下面不同情況選取不同 KC，J值:① 裂紋尖端位于界面時，KC，J=KC，i;② 裂紋尖端位于砂漿內時，KC，J=KC，m.

尋找到危險裂紋之后，采用如下準則判斷裂紋擴展方向:

1)若裂紋尖端位于界面上，應用條件①判斷是否起裂.若起裂，則立即沿界面擴展至長軸兩端.此后，將該裂紋視作一般裂紋，在計算中使用條件②.

2)如果裂紋尖端處于砂漿內部，應用條件②判斷是否起裂，若起裂，利用最大周向應力［16］法則判定擴展方向:

在進行微裂紋擴展和聚合過程計算時，裂紋面將以向量的方式近似描述，選取裂紋面上合適距離的幾何點序列即可較為精確地模擬裂紋的構形，再針對幾種主要的擴展和聚合模式，發展了專門的模擬算法，可成功模擬出裂紋的擴展、融合和交叉.這些算法在有限元商用軟件ABAQUS的平臺上通過面向對象的Python語言接口來實現，這樣將有利于混凝土工程結構失效的分析.

4 模型在混凝土拉伸失效過程仿真分析中的應用

本節將上文建立的模型應用于混凝土拉伸失效過程的算例分析.所有的試樣都為150 mm×200 mm的方塊，承受拉伸荷載.選取15%，30%，45%，60%4種不同的骨料體積比，分別記為M15，M30，M45，M60.對任一種骨料體積比，隨機產生 4 個試樣(如 M15，1M15，2，M15，3，M15，，4)，并對計算結果進行平均.所有試樣都采用相同的骨料級配，如表1所示.出于建模復雜性的考慮，研究過程中將小于8 mm的顆粒視作細顆粒，不加以建模.

表1 骨料級配示意圖

4.1 失效模式分析

圖4給出了部分試樣的失效形式.每種混凝土配比選取了2個代表性的試樣.可以看出，本模型可以成功地模擬出裂紋融合和交叉，進一步還可以成功地模擬出混凝土破壞全過程(依次包括微裂紋的分布式生長、裂紋聚合、宏觀裂紋形成與擴展和試樣破裂等).

圖4 各級配混凝土試樣的拉伸失效圖(放大系數10.0)

從這些破壞形式還可以看出，主裂紋形成后大體具有2種失效模式:第1種是該主裂紋一直往前擴展，兼并路徑中的各個微裂紋，最終導致失效;第2種是主裂紋會被一些顆粒所阻止而停止擴展，此時其他位置有可能會出現新的主裂紋并繼續擴展，甚至可能形成多條主裂紋，因而導致最后的破壞構形含有多個‘眼孔’(eyelets)［17］，如圖 4(c)、(g)、(h)所示.總的來說，當骨料體積較小時，第1種模式發生較多;而當骨料體積增大時，第2種模式發生的可能性增大，當然第1種破壞模式始終占據不小的比例.

4.2 骨料體積比對混凝土拉伸性能的影響

首先將試樣的拉伸曲線從計算結果中提取出來，圖5為典型的拉伸曲線.從圖中可以看出，本模型可以依次計算出混凝土的線性階段、非線性強化階段、軟化階段等.對于某些試樣，特別是骨料體積較小時，由于混凝土的脆性較強，試樣在應力峰值之后會出現所謂跳回(snap-back)階段，本模型同樣可以模擬出該階段，此處不再贅述.

圖5 某試樣的拉伸曲線

如圖5所示，從拉伸曲線中可提取出3組控制參數(εth，σth)，(εp，σp)和(εu，σu)，其中，εth和 σth分別表示線性極限應變和應力;εp和σp分別表示強度極限應變和應力;εu和σu分別表示破壞應力和應變.εp/εth和 εu/εp反映了材料的延展性，其數值越小，脆性越大，反之則延展性越大.

圖6為 εp/εth，εu/εp與 σp隨骨料體積比的變化趨勢圖，可以看出，隨著骨料體積的增加，混凝土的延展性有增大的趨勢，而強度呈現減小的趨勢.這與文獻［1］的實驗結果相符，這也從側面驗證了本模型的合理性.

圖6 骨料體積比對混凝土性能的影響圖

5 結論

1)本文的數值模型通過對混凝土物理模型一定程度的理想化，在解決了裂紋融合和交叉模擬問題的基礎上，成功地模擬出混凝土破壞全過程，包括微裂紋的分布式生長、裂紋聚合、宏觀裂紋形成與擴展、試樣破裂等.

2)應用本文建立的混凝土微裂紋數值模型，對混凝土試樣拉伸破壞過程進行仿真分析，在大量拉伸試樣仿真分析結果的基礎上，可定量揭示一些混凝土拉伸破壞的模式與機理.研究結果表明，隨著骨料體積的增加，混凝土的延展性有增大的趨勢，而強度則呈現減小的趨勢.這些結論與已有的實驗現象和文獻中給出的結果相符，驗證了本模型的有效性.

3)本文提出的模型直接從真實的混凝土破壞機理出發，這與其他基于宏觀唯象學的混凝土損傷破壞分析模型有所不同，本文模型可定量描述混凝土材料內部缺陷從微細觀到宏觀的發展過程，因此可作為混凝土材料和結構失效的數值仿真實驗的基礎，可為這類材料及其結構的失效控制和安全設計提供參考.

References)

［1］Milne I，Ritchie R O，Karihaloo B L.Comprehensive structural integrity 2:fundamental theories and mechanisms of failure［M］.Oxford:Elsevier Pergamon，2003.

［2］Bazant Z P，Tabbara M R，Kazemi M T，et al.Random particle model for fracture of aggregate or fiber composites［J］.Journal of Engineering Mechanics-Asce，1990，116(8):1686-1705.

［3］Schlangen E，Garboczi E J.Fracture simulations of concrete using lattice models:computational aspects［J］.Engineering Fracture Mechanics，1997，57(2/3):319-332.

［4］Lilliu G，van Mier J G M.3D lattice type fracture model for concrete ［J］.Engineering Fracture Mechanics，2003，70(7/8):927-941.

［5］Mungule M，Raghuprasad B K.Meso-scale studies in fracture of concrete:a numerical simulation［J］.Computers＆Structures，2011，89(11/12):912-920.

［6］Wriggers P，Moftah S O.Mesoscale models for concrete:homogenisation and damage behaviour［J］.Finite Elements in Analysis and Design，2006，42(7):623-636.

［7］Yang Z J，Chen J F.Fully automatic modelling of cohesive discrete crack propagation in concrete beams using local arc-length methods［J］.International Journal of Solids and Structures，2004，41(3/4):801-826.

［8］Mohamed A R，Hansen W.Micromechanical modeling of concrete response under static loading-part 1:model development and validation［J］.Aci Materials Journal，1999，96(2):196-203.

［9］Deborst R，Vandenboogaard A H.Finite-element modeling of deformation and cracking in early-age concrete［J］.Journal of Engineering Mechanics-Asce，1994，120(12):2519-2534.

［10］Krajcinovic D，Fanella D.A micromechanical damage model for concrete［J］.Engineering Fracture Mechanics，1986，25(5/6):585-596.

［11］Wang Z M，Kwan A K H，Chan H C.Mesoscopic study of concreteⅠ:generation of random aggregate structure and finite element mesh［J］.Computers＆Structures，1999，70(5):533-544.

［12］Stroeven P，Stroeven M.Assessment of packing characteristics by computer simulation［J］.Cement and Concrete Research，1999，29(8):1201-1206.

［13］Rice J R.Elastic fracture-mechanics concepts for interfacial cracks ［J］.Journal of Applied Mechanics，Transactions of the ASME，1988，55(1):98-103.

［14］Ortiz M.Microcrack coalescence and macroscopic crack-growth initiation in brittle solids［J］.International Journal of Solids and Structures，1988，24(3):231-250.

［15］Huang X，Karihaloo B L.Tension softening of quasibrittle materials modeled by singly and doubly periodic arrays of coplanar penny-shaped cracks［J］.Mechanics of Materials，1992，13(3):257-275.

［16］Erdogan F，Sih G C.On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear［J］.Journal of Basic Engineering，1963，85(4):519-525.

［17］Vanmier J G M.Mode-Ⅰfracture of concrete-discontinuous crack-growth and crack interface grain bridging［J］.Cement and Concrete Research，1991，21(1):1-15.