基于雙對數壓縮模型的真空預壓非線性固結解

韓文君 劉松玉 章定文 劉維正

(1東南大學交通學院，南京 210096)

(2常州市軌道交通發展有限公司，常州 213022)

(3中南大學土木工程學院，長沙410075)

真空預壓法是一種優良的地基加固方法.工程設計中，常采用砂井固結理論研究真空預壓固結過程［1-2］.Schiffman 等［3］給出了砂井非線性固結解答;Hansbo等［4］采用水力梯度和滲透速度的指數關系來反應土體固結過程中滲透系數變化過程;Indraratna等［5］引入孔隙比 e與有效應力 σ'、孔隙比e與水平滲透系數kh的關系式，得到了正常固結土和超固結土的非線性固結解答;周琦等［6］采用e-σ'及e-kh關系式，研究了砂井地基正常固結土固結性狀;董志良［7］建立了真空預壓加固地基固結方程;Indraratna等［8］假定砂井內超靜孔壓(負壓)沿豎向呈線性衰減分布，求得整個地基的平均超靜孔壓;彭劼等［9-11］提出了考慮真空荷載實際邊界條件的固結解答.但是，已有的解答都未能同時考慮真空荷載實際邊界和土體固結參數變化的特性.

本文在文獻［5-6，10］的基礎上，考慮真空荷載沿深度衰減的實際邊界條件，引入能對土體壓縮曲線進行線性化的雙對數坐標lg(1+e)-lgσ'及lg(1+e)-lgkh，建立了真空預壓砂井地基非線性固結近似解答.

1 真空預壓砂井固結計算模型

1.1 基本假定及求解條件

完全打穿砂井地基固結的計算簡圖見圖1.假定土體滿足等應變條件，土中水的滲流服從達西定律;任意深度z處，從土體中流入砂井的水量等于砂井中向上水流量的增量.涂抹區與未擾動區的土體除滲透系數不同外，其他性質相同.真空荷載為瞬時荷載，固結過程中為常量.圖1中，dw，rw分別為砂井直徑和半徑;ds，rs分別為涂抹區直徑和半徑;de，re分別為砂井影響區直徑和半徑;r為距砂井中心距離;H為土層厚度;p0為膜下真空荷載的絕對值;kl為真空荷載衰減系數.

圖1 砂井地基徑向固結軸對稱問題的計算簡圖

根據文獻［12］，砂井地基僅考慮徑向固結時的基本控制方程為

式中，us，ur分別為涂抹區、非涂抹區中任一深度的孔壓;ˉuz為影響區中任一深度的平均孔壓;ε為體積應變;ks，kh分別為涂抹區、原狀土的滲透系數;mv為體積壓縮系數;γw為水的重度.

井周的流量連續方程為

式中，uw為排水板內任一深度的超靜孔壓;kw為排水板滲透系數.

式(1)～(4)的邊界條件如下:① 當r=re時，?ur/?r=0;② 當 r=rs時，ks?us/?r=kh?ur/?r;③ 當r=rs時，ur=us;④ 當 r=rw時，us=uw;⑤ 當z=0時，uw=－p0;⑥ 當 z=H 時，?uw/?z=p0(1－kl)/H.

式(1)～(4)的初始條件如下:當 t=0時，ˉu=u0(z)=0，其中，ˉu為整個地基的平均超靜孔隙水壓力;u0(z)為任意深度z處的孔壓.

1.2 固結方程的推導

整個地基的平均超靜孔隙水壓力值為

將式(1)和(2)兩邊均對r積分，結合邊界條件，將積分結果代入式(5)可得［8］

式中，Ru為無量綱的中間變量.

將式(6)代入式(7)，整理后可得［5］

式中，σ為土體總應力.

式中，Th為時間因子;ch0為土體的固結系數;e0為土體的初始孔隙比;mv0為土體的初始體積壓縮系數;kh0為土體的初始水平滲透系數.

引入反應土體固結非線性的雙對數模型，以便在同一坐標系下建立固結方程，即［13-14］

式中，C'r，C'c分別為雙對數坐標下土體屈服前、后的壓縮指數;C'k為雙對數坐標下的滲透指數;σ'0為土體的初始有效應力，即土體的有效自重應力.

對于正常固結土，將式(10)對 σ'求導，可得［6］

將式(12)聯合式(10)、(11)，代入式(9)，可得

由于 σ'=σ'0+0.5p0(1+kl)(1－Ru)，則式(13)可以表示為

式中，W=［1+0.5p0(1+kl)(1－Ru)/σ'0］1－C'c/C'k.

式(14)是含有變量Ru的非線性偏微分方程，該方程沒有通解.由于0≤Ru≤1，則

對式(16)積分，并代入邊界條件T'h=Th=0，Ru=1，可得正常固結土時Ru為

對于超固結土而言，當有效應力小于前期固結壓力(即σ'≤σ'y)時，其固結特性與正常固結土一致，僅用C'r代替式(17)中的C'c，則

根據文獻［6，13-14］可知，t時刻土體沉降St及最終沉降S∞的計算公式如下:

按照沉降定義的平均固結度和按照孔壓定義的平均固結度有所不同.當不考慮真空荷載沿深度衰減(即kl=1)時，式(17)～(20)退化為文獻［6］中的解答，該解答僅分析了正常固結土的情況;當不考慮固結過程中的非線性(即C'c/C'k=1)時，式(17)～(20)退化為文獻［8，10］中的解答;當不考慮真空荷載沿深度衰減且不考慮固結過程中的非線性(即kl=1且C'c/C'k=1)時，式(17)～(20)退化為負壓邊界條件下的Hansbo解答［12］.

2 實例驗證

為了驗證本文解答的可靠性，利用真空預壓室內模型的試驗結果對不同解答進行對比分析，詳細的試驗過程見文獻［15］.試驗中，H=60 cm，rw=1.78 cm，re=14.54 cm，n=8.15.不考慮涂抹作用，s=1，kh=1.5 ×10－8cm/s，kh/ks=1，kw=5 ×10－4cm/s，e0=1.673，σ'0=5.6 kPa，σ'y=20 kPa，kl=0.953，p0=85 kPa;C'r=0.0328，C'c=0.1014，C'k=0.1285;Cr=0.2388，Cc=0.4992，Ck=0.6338.采用不同方法計算的最終沉降量見表 1.Indraratna 解［5］和周琦解［6］分別采用 e-lgσ'模型和 e-σ'模型;Tuan 解［10］和 Hansbo 解［12］不考慮固結過程的非線性.

表1 不同方法計算得到的最終沉降量 mm

由表1可知，利用不同方法計算的最終沉降量基本相近，且本文解答的計算結果與實測值最為接近，與 Indraratna 解［5］、Tuan 解［10］及 Hansbo 解［12］的差別在 5% 以內;Tuan解［10］相對于 Hansbo解［12］的沉降量偏小.

利用不同方法計算得到的超靜孔隙水壓力以及任意時刻的沉降量分別見圖2和圖3.由圖2可知，固結初期基于不同解答所得的超靜孔壓與實測數據都有不同程度的偏差，整體來說都是偏小的.隨著時間的增長，考慮固結過程土體參數變化的解答與超靜孔隙水壓力實測曲線吻合，基于Indraratna 解［5］、周琦解［6］所得的結果略大于實測值.由圖3可知，不考慮非線性時，基于Tuan解［10］及Hansbo解［12］計算得到的沉降明顯小于實測值及其他計算值，尤其是在固結初期，這種差別較為顯著.周琦解［6］由于僅考慮了正常固結狀態時的沉降，因此其沉降計算值明顯小于實測值.基于Indraratna解［5］及本文解答所得的結果與實測值較為吻合.由此可見，基于本文解答的計算結果更加接近實測結果.

圖2 超靜孔隙水壓力

圖3 不同時刻的沉降量分布

3 固結性狀影響因素分析

真空荷載衰減系數kl、回彈指數C'r、壓縮指數C'c、滲透指數C'k及前期固結壓力σ'y均對土體固結性狀有所影響.本文主要分析了C'c/C'k，C'c/C'r和σ'y/σ'0對輕微超固結土固結性狀的影響.

假設某軟土厚20 m，采用真空預壓法處理.排水板為正三角形布置，H=20 m，rw=3.38 cm，re=63 cm，rs=13.50 cm，n=18.64，s=4，kh=6 ×10－7cm/s，kh/ks=2.0，kh/kw=10－4，e0=2.0，σ'0=20 kPa，p0=80 kPa.當分析其中某單一因素影響時，其他因素保持不變.

3.1 C'c/C'k的影響

分析C'c/C'k對固結性狀的影響時，C'k=0.16，0.08，0.04，kl=0.5，1.0，σ'y=30 kPa，C'r=0.02，C'c=0.08.計算結果見圖4.由圖可知，土體處于正常固結狀態時kl和C'c/C'k的變化對土體固結過程的影響大于土體處于超固結狀態時的影響.基于變形計算的固結度Us隨C'c/C'k的增大而減小，隨著kl的減小而減小.基于孔壓計算的固結度Up也隨C'c/C'k的增大而減小，但其隨kl的變化規律與Us明顯不同.當土體處于超固結狀態時，Up隨kl的減小而減小;當土體處于正常固結狀態且C'c/C'k＜1時，Up隨kl的減小而減小，當C'c/C'k＞1時，Up隨kl的減小而增大.

圖4 C'c/C'k對固結度的影響

此外，對于超過固結土而言，Us不再恒大于Up.當土體有效應力小于前期固結壓力時，Us＜Up，這主要是因為土體在超固結狀態下變形較小，孔壓消散速率較快.當土體進入正常固結狀態后，超固結土的固結性狀逐漸向正常固結土趨近，變化規律也接近一致.隨著C'c/C'k的比值增加，土體由超固結狀態進入正常固結狀態的時間增大.

3.2 C'c/C'r的影響

分析C'c/C'r對固結性狀影響時，C'c=0.08，C'r=0.08，0.04，0.01，0.005(即 C'c/C'r=1，2，4，8，16)，kl=0.5，σ'y=30 kPa，C'k=0.08.計算結果見圖5.

由圖可知，Up隨C'c/C'r的增大而增大.當土體處于超固結狀態時，Us隨著C'c/C'r的增大而減小.當土體進入正常固結狀態后，Us隨C'c/C'r的增大而增大，但是C'c/C'r的影響程度明顯小于超固結階段.當C'c/C'r=1時，Up，Us的變化規律與正常固結土一致;隨著C'c/C'r的增大，超固結土與正常固結土的固結性狀區別越來越明顯;當C'c/C'r≥4時，固結過程中出現Us＜Up的情形.

圖5 C'c/C'r對固結度的影響

4 結語

本文考慮真空荷載沿深度衰減分布的實際邊界條件，引入能對土體壓縮曲線線性化的雙對數坐標lg(1+e)-lgσ'，建立了真空預壓砂井地基非線性固結近似解答，計算得到的沉降、超靜孔壓與實測值很接近.通過參數計算分析可知，對于超固結土而言，根據變形計算的固結度隨著壓縮指數與滲透指數比值的增大而減小，隨著真空度沿深度衰減系數的減小而減小;當壓縮指數與滲透指數比值大于1時，正常固結狀態中基于孔壓計算的固結度隨真空荷載衰減系數的減小而增大.隨著壓縮指數與回彈指數比值的增大，地基超靜孔壓消散速率逐漸增大，超固結狀態下的沉降速率逐漸減小，正常固結狀態下的沉降速率逐漸增大，土體由超固結狀態進入正常固結狀態的時間逐漸增加.

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