實時混合模擬頻域評價方法的物理意義

徐偉杰 郭 彤 陳 城

(1東南大學土木工程學院，南京 210096)

(2舊金山州立大學工程學院，舊金山 94132)

實時混合模擬是一種新型的動力試驗方法［1］.該方法可實現結構在足尺條件下的實時加載，能夠全面反映其動力特性，因而在近年來得到廣泛關注和快速的發展［2-7］.由于伺服系統的動力特性，作動器總是不能絕對實時地達到預定的位移，而是存在一個“時滯”，如果不能進行合理的補償，將會導致試驗失敗.因此，實時混合模擬結果的有效性評價是該試驗技術的核心內容之一.文獻［8］提出了一種頻域評價方法，將實時混合模擬的誤差分為幅值誤差和相位誤差，通過引入等效頻率的概念，可定量計算出實時混合模擬的時滯，該方法與傳統的時域評價方法相比，具有一定的優越性［9-13］.然而，作為一種新的評估手段，該方法的物理意義目前尚不夠明確.本文通過數值模擬和實驗室試驗，分別對線性和非線性子結構進行分析，并對該方法的物理意義做出剖析.

1 頻域評價方法

本文涉及的實時混合模擬的頻域評價方法是一種雙參數方法［8］，分別采用參數A和d對試驗的幅值和時滯進行評估，即

式中，A和d分別表示實時混合模擬的幅值和等效時滯;‖·‖表示求模;FEI為頻域評價指標;φ表示實時混合模擬的相位差，可分別按下式計算:

式中，yI(f)和yo(f)為輸入和輸出的傅里葉變換，一般取計算位移作為輸入，測量位移作為輸出;p為分析數據的一半;feq表示等效頻率，通過對輸入進行傅里葉變換，再將得到的頻率按照該頻率的幅值平方進行加權，即

式中，wi和fi為第i個頻率的權重和大小.在輸入和輸出進行傅里葉變換之前，為消除頻譜泄露的影響，可乘上一個窗函數［14］(如漢寧窗).

理想情況下，輸入與輸出沒有任何誤差，此時φ和d應為0，且A為1.幅值A與1的誤差稱為幅值誤差，相位φ與0的誤差稱為相位誤差.幅值誤差和等效時滯的絕對值越小，實時混合模擬的效果越好.

按照實時混合模擬評價方法的基本思路，同樣可以計算出每一個頻率的幅值、相位和等效時滯［8］，即

式中，Aj，φj，dj和 fj分別為第 j個頻率下的幅值、相位、等效時滯和頻率.需要注意的是，式(8)計算得到的相位取值范圍在±π之間，當信號頻率較高時，計算得到的相位可能與實際相位存在誤差(相差若干個2π).

2 數值模擬

2.1 試驗子結構為線性結構

首先，利用Matlab軟件的 Simulink模塊［14］進行數值模擬研究.當試驗子結構為線性結構時，設結構的自振頻率為1 Hz，質量m取1000 kg，結構阻尼比為 0.02.根據 Wallace 等［15］的研究，此時結構保持穩定的臨界時滯為6.4 ms，故實時混合模擬的時滯選擇為5 ms，且在模擬過程中不采用補償環節.為了證明實時混合頻域評價方法能夠區分幅值誤差，令模擬的測量位移與指令位移之間存在一個1.1的幅值誤差.此時，實時混合模擬的Simulink模型如圖1所示，為了防止積分算法對模擬的影響，采用運動方程的轉換函數來代替積分算法.地震波選擇水平分量為CHY101-N的Chi-chi地震波，其峰值加速度為0.4401g.

圖1 實時混合模擬的Simulink模型

采用實時混合模擬頻域評價方法，將計算位移作為輸入，指令位移作為輸出，得到的幅值、相位和等效時滯分別為1.1，－0.0326 rad和5 ms，這與理論值完全相同.為研究頻域評價方法的物理意義，根據式(7)～(9)和式(5)分別計算出每個頻率的幅值、相位和等效時滯以及每個頻率在加權時的權重，如圖2所示.由圖2(a)可見，對于幅值A，除在高頻處存在突變外，其他數值整體上較為平穩;而由圖2(b)可以發現，相位φ著隨頻率的增加而近似呈周期性變化，這是由于式(8)計算得到的相位只能在±π之間，當相位超過±π時，計算得到的高頻相位要比實際相位大若干個2π.因此，當頻率在較低的范圍內時，計算得到的等效時滯約為5 ms，而當頻率較大時，時滯將出現震蕩，如圖2(c)所示.由于圖2(b)中每一段相位都是隨頻率增加而線性減小，故理論上時滯在各個頻率上仍然為5 ms左右.然而，由圖2(d)可以發現，權重主要集中在低頻段，故在頻域評價方法中，高頻處相位和時滯計算的誤差可以忽略.

圖2 線性結構頻域評價方法在各個頻率上的指標

圖3進一步給出了低頻區的頻域分析結果.由圖3(a)可以發現，低頻上的幅值并非是1.1，但是相差非常小;而圖3(b)中的相位也不是一條直線.當頻率稍大于0 Hz時，計算得到的時滯與5 ms相差較大，相差部分的時滯稱為“虛假時滯”，隨頻率的增加，時滯很快收斂到5 ms，如圖3(c)所示.虛假時滯主要集中在前3個頻率，這可能是由于傅里葉變換引起的，當前3個頻率權重不大時，該虛假時滯對等效時滯不會產生影響，當前3個頻率權重較大時(主要指非線性結構)，會對時滯產生較大影響，所以應在加權時將前3個頻率的計算結果舍去.此外，由于實時混合模擬過程中存在1.1的幅值誤差，因此結構的等效頻率要稍微大于1 Hz，如圖3(d)所示.

圖3 線性結構頻域評價方法在低頻上的指標

對于每個頻率，在計算其幅值Aj、相位φj和時滯dj時，按照該頻率的權重wj進行加權，由此得到綜合的幅值A'、相位φ'和等效時滯d'，即

由式(10)～(12)計算得到的幅值A'、相位φ'和等效時滯 d'分別為 1.1，－0.0326 rad和5 ms，與采用頻域評價方法直接計算得到的幅值、相位和等效時滯完全相同.因此，實時混合模擬的頻域評價方法實質上是計算出各個頻率的幅值和相位，并按照各頻率輸入幅值平方的權重進行加權.

2.2 試驗子結構為非線性結構

當結構為非線性結構時，采用與線性結構相同的模型和參數，但用 Bouc-Wen模型［16］來代替試驗子結構的剛度k，Bouc-Wen模型計算恢復力的方法為

式中，xy為數結構的屈服位移，xy=10 mm;k為結構的線彈性剛度，k=11.75 kN/mm;η為數值子結構屈服前后的剛度比，η=0;x(t)為施加在數值子結構上的位移;z(t)為Bouc-Wen參數，由以下方程得到:

式中，β，γ，q為控制滯回曲線形狀的參數，其值分別為0.55，0.45和2.由于非線性有助于提高結構的穩定性，故模擬在5 ms的時滯下仍然會保證穩定.采用實時混合模擬頻域評價方法，將計算位移作為輸入，指令位移作為輸出，得到的幅值、相位和等效時滯分別為1.1，－0.0033 rad和5 ms.由于結構的非線性會降低結構剛度，因此非線性結構的相位小于線性結構的相位.根據式(6)～(8)分別計算出每個頻率上的幅值、相位和等效時滯以及每個頻率在加權時的權重，如圖4所示.

與線性結構類似，幅值A除在高頻處存在突變外，總體上較為平穩，如圖4(a)所示.與圖2(b)相比，圖4(b)中的相位φ不再隨頻率做周期性變化.由于式(8)計算得到的相位只能在±π之間，因而高頻范圍內的等效時滯計算結果并不準確.當頻率較低時，計算得到的等效時滯在5 ms左右，而當頻率較大時，時滯同樣出現震蕩現象，如圖4(c)所示.由圖4(d)可發現，權重主要集中在低頻段，故在頻域評價方法中，高頻處相位和時滯計算的誤差同樣可被忽略.圖5給出了低頻區段的計算結果.

圖4 非線性結構頻域評價方法在各個頻率上的指標

圖5 非線性結構頻域評價方法在低頻上的指標

非線性結構的幅值A、相位φ和等效時滯d與線性結構類似，如圖5(a)～(c)所示.然而，非線性結構的權重主要集中在0.1 Hz附近，明顯小于線性結構的情況(見圖3(d)，集中于1.0 Hz)，這是由于結構的非線性會造成剛度退化，從而降低了結構的等效頻率，如圖5(d)所示.同時，虛假時滯范圍內的頻率權重不大，對等效時滯的影響可忽略.

采用式(10)～(12)計算得到綜合的幅值A'、相位 φ'和等效時滯 d'分別為1.1，－0.0033 rad 和5 ms，與采用頻域評價方法直接計算得到的幅值、相位和等效時滯完全相同，進一步證明了實時混合模擬的頻域評價方法實質上是計算出各個頻率的幅值和相位，并按照各頻率輸入幅值平方的權重進行加權.

3 試驗驗證

為進一步驗證頻域評價方法的物理意義，利用Lehigh大學完成的實時混合模擬試驗數據進行分析［13］.其中，數值子結構采用多自由度的鋼框架，其質量為5.034×105kg，結構自振頻率為0.77 Hz，阻尼比為0.02.試驗子結構采用洛德(LORD)公司生產的磁流變(MR)阻尼器.阻尼器的長度為1.47 m，沖程為584 mm，最大工作荷載為200 kN.整個試驗裝置由阻尼器、作動器、反力架等依次串聯而成.動態作動器的最大輸出荷載為1700 kN，沖程為500 mm，最大運動速率為760 mm/s，伺服控制器采用PID控制，其中比例增益為20，積分增益為4，微分增益為0，采樣頻率為1024 Hz.積分算法采用 CR算法［3］，補償方法采用倒轉補償法［4］，預測時滯為 29 ms.

由于試驗子結構為非線性結構，根據式(7)和(8)分別計算出每個頻率上的幅值、相位和等效時滯以及每個頻率的權重，如圖6所示.由圖可以發現，實時混合模擬的幅值變化規律與非線性結構較為相似，而圖6(b)中相位在低頻波動要比數值模擬更為明顯，這同樣造成了時滯在低頻的波動，如圖6(c)所示.由圖6(d)還可以發現，權重主要集中在低頻段.圖7給出了低頻區段的計算結果.

圖6 實時混合模擬頻域評價方法在各個頻率上的指標

圖7 實時混合模擬頻域評價方法在低頻率上的指標

由圖7(a)可發現，在低頻區域，幅值A約為1，說明實時混合模擬的幅值誤差較小;圖7(b)中的相位在0附近，說明實時混合模擬的時滯較小.由圖7(c)可見，當頻率非常小時，由于虛假時滯的影響，得到的時滯存在較大誤差.且由于權重集中于該非常小的范圍(見圖7(d))，在加權中若將這部分時滯考慮進去會對結果產生較大的影響.經試算，從第4個頻率開始加權得到的效果較好，得到的幅值、相位和等效時滯分別為1.007，0.0013 rad和－0.4 ms.這說明實時混合模擬中，測量位移的幅值是計算位移的1.007倍，同時要比計算位移滯后0.4 ms.將式(10)～(12)從第4個頻率開始加權，得到綜合的幅值A'、相位φ'和等效時滯d'同樣是 1.007，0.0013 rad 和－0.4 ms，再次驗證了實時混合模擬頻域評價方法的意義.

4 結語

本文對實時混合模擬的頻域評價方法進行了簡要介紹，分別計算了數值模擬和試驗中每個頻率上的幅值、相位、等效時滯和權重，并與整體的幅值、相位、等效時滯進行對比，證明實時混合模擬的頻域評價方法實質上是計算出各個頻率的幅值和相位，并按照各頻率輸入幅值平方的權重進行加權.

各個頻率組分在結果中的權重并不相同，低頻組分對于結果的影響顯著高于高頻組分.此外，通過計算每個頻率上的等效時滯發現，當頻率非常小時，計算得到的等效時滯與時滯的理論值有時會存在顯著差異(當權重集中在該低頻范圍之外時除外).此時可以將前面極低頻率組分(如前3個頻率)舍棄，從之后的頻率開始加權.對于頻率的截取，尚需在后續研究中做進一步的分析.

References)

［1］Nakashima M，Kato H，Takaoka E.Development of real-time pseudo dynamic testing ［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1992，21(1):79-92.

［2］Wu B，Bao H，Ou J，et al.Stability and accuracy analysis of central difference method for real-time substructure testing［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2005，34(7):705-718.

［3］Chen C，Ricles J M.Real-time hybrid testing using an unconditionally stable explicit integration algorithm［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2009，38(1):23-44.

［4］Chen C，Ricles J M.Analysis of actuator delay compensation methods for real-time testing ［J］.Engineering Structures，2009，31(11):2643-2655.

［5］Chen C，Ricles J M.Development of direct integration algorithms for structure dynamics using discrete control theory［J］.Journal of Engineering Mechanics，2008，134(8):676-683.

［6］Horiuchi T，Inoue M，Konno T，et al.Real-time hybrid experimental system with actuator delay compensation and its application to a piping system with energy absorber［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1999，28(10):1121-1141.

［7］Chen C.Development and numerical simulation of hybrid effective force testing method［D］.Bethlehem，USA:Department of Civil and Environmental Engineering，Lehigh University，2007.

［8］徐偉杰 實時混合模擬試驗的頻域評估方法研究［D］.南京:東南大學土木工程學院，2013.

［9］Mosqueda G，Stojadinovic B，Mahin S A.Real-time error monitoring for hybrid simulation.PartⅠ:methodology and experimental verification［J］.Journal of Structural Engineering，2007，133(8):1100-1108.

［10］Mosqueda G，Stojadinovic B，Mahin S A.Real-time error monitoring for hybrid simulation.PartⅡ:structural response modification due to errors［J］.Journal of Structural Engineering，2007，133(8):1109-1117.

［11］Mercan O.Analytical and experimental studies on large scale real-time pseudodynamic testing［D］.Bethlehem，USA:Department of Civil and Environmental Engineering，Lehigh University，2007.

［12］Hessabi R M，Mercan O.Phase and amplitude error indices for error quantification in pseudodynamic testing ［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2012，41(10):1347-1364.

［13］Chen C，Ricles J M，Guo T.Minimizing actuator tracking and energy errors for real-time hybrid simulation through a new adaptive compensation scheme［C］//20th Analysis ＆ Computation Specialty Conference.Chicago，USA，2012:335-345.

［14］王濟，胡曉.MATLAB在振動信號處理中的應用［M］.北京:中國水利水電出版社，知識產權出版社，2006.

［15］Wallace M I，Sieber J，Neild S A，et al.Stability analysis of real-time dynamic substructuring using delay differential equation models ［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2005，34(15):1817-1832.

［16］Wen Y K.Equivalent linearization for hysteretic systems under random excitation［J］.Journal of Applied Mechanics，1980，47(1):150-154.