無網格伽遼金方法在鋼筋混凝土梁開裂問題中的應用分析

（武漢科技大學理學院，湖北 武漢 430065）

1 概述

在現代建筑施工中，混凝土是一種非常重要的建筑材料，由于混凝土結構在通常情況下都是帶裂縫工作的，因此其非常重要的一個特征是抗拉強度非常低。裂縫導致應力和位移發生突變，這是混凝土非線性分析的非常關鍵的因素。對于混凝土裂縫的處理是否適當以及正確的分析混凝土結構一個非常復雜的問題。目前，采用傳統的有限元法處理裂縫的方式包括三種，一種是把裂縫作為單元邊界處理，該方法基本思想簡單，并且其和真實情況比較符合，但是計算過程中比較繁瑣，并且需要增加新的節點和單元，計算效率非常低；第二種是采用彌散裂縫的方法，該方法使用簡單，易于實現程序，目前是一種使用最為廣泛的方法，但是，該方法的不足是很難得到單條裂縫的寬度，裂縫擴展方向等相關信息；第三種是利用斷裂力學方法，構造一個包含裂縫的單元，這種方法的優勢是計算結果精度高，但是隨著裂縫發展的需要，要不斷的修改單元類型和放置新型的包含裂縫的單元，因此該方法使用起來過程也非常繁瑣，并且效率低下。

隨著無網格方法的快速發展，目前在固體力學計算過程中，已經不再需要單元網格，因此修改節點分布時非常的簡單，并且無網格方法非常適合斷裂分析領域，因此，本文基于筆者多年的工作經驗，在鋼筋混凝土梁裂開的問題中，引入了無網格伽遼金方法，以便提高混凝土數值計算過程中的效率和結果的精確度。

2 無網格伽遼金方法應用中關鍵問題

2.1 影響域的設定和裂縫邊界的處理

在采用無網格伽遼金方法處理混凝土梁裂縫問題時，本文采用最小二乘法構造函數。由于混凝土梁裂縫的擴展，節點和高斯積分點之間的關系是在不斷的連續變化的，因此，本文在使用過程中，在處理影響域的設定和裂縫邊界處理時，以及節點和高斯積分點之間的關系，可以采取以下方法。

（1）判斷節點和高斯積分點之間的關系時，本文針對某一高斯積分點Pint，首先判斷各個節點和它之間的關系，將該高斯積分點和節點之間進行連線，如果連線和某個邊界具有相交的關系，則假設這個節點該邊界覆蓋了，則無需在計算該高斯積分點。

（2）對于剩余的未被覆蓋的節點，選取六個和該高斯積分點距離最近的節點，以便參與該高斯積分點的相關運算。

（3）本文將計算的最遠節點的距離作為高斯積分點P 的相關影響半徑；

重復以上步驟，對于每個高斯積分點進行計算，就可以得到無網格伽遼金方法在計算時需要的各個相關幾何參數。

2.2 裂縫的分類

為了區分宏觀裂縫和微觀裂縫，我們可以采取以下方法進行分類：

（1）假設某一閾值，混凝土的拉應變能力小于該閾值時，我們可以認為此時混凝土的裂縫基本上是肉眼不可見的微裂縫，這樣混凝土的裂縫依然可以承受部分的拉應力。對于混凝土來講，在進行固體力學分析時依然可以采用傳統的彌散裂縫模型。

（2）當混凝土的拉應變大于上述閾值時，本文即認為此時混凝土中已經存在的裂縫是肉眼可以看清的，稱為宏觀裂縫，此時可以采用無網格伽遼金方法進行力學分析。

2.3 宏觀裂縫的生成

在進行宏觀裂縫生成過程中，由于無網格伽遼金方法無需網格劃分，因此可以非常方便的在任意位置上布置節點和邊界生成可能產生的裂縫。生成裂縫的具體方法包括以下三個步驟：

（1）對于確定的荷載步，將距離邊界最近的高斯積分點的拉應變值外推出構件邊界上相關位置點Pext 的拉應變值。

（2）如果某一個邊界上的外推點Pext具有的最大拉應變值大于閾值Q，則認為該點將會產生宏觀裂縫。

（3）在外推點Pext 兩側沿著原構件邊緣方向增加兩個新的節點，每一個點具有一個很小的偏移量，同時延伸外推點的最大壓應力方向在構件內部增加一個裂縫尖端點N，該節點距離邊緣為2 倍的高斯點間距。使用三個新增節點組成兩個新的邊界，也即是裂縫邊界。

（4）建立新的節點和邊界分布下的節點和高斯積分點的關系，重新計算荷載步，得到裂縫尖端節點N 的最大拉應變Qmax。

（5）如果Qmax 大于Q，則此時的裂縫深度比給定的深度要大，需要重新修正裂縫深度，可以將Q 繼續延現有的裂縫移動1 倍的高斯點間距。

（6）重復步驟（4），（5），知道最大拉應變Qmax 小于Q，則可以認為當前荷載步下構件的宏觀裂縫已經生成。

結語

裂縫作為混凝土的一個非常重要的力學特性，在進行固體力學計算分析時，具有非常關鍵的作用。一般的，混凝土中存在有著許多大量的宏觀裂縫和微觀裂縫，因此在進行混凝土裂縫分析時，該問題非常復雜。本文在進行混凝土分析時，將混凝土宏觀裂縫分析時引入了無網格伽遼金方法，并針對無網格伽遼金方法應用過程中的關鍵問題進行了分析和介紹。總而言之，無網格伽遼金方法在混凝土裂縫處理時取得了非常好的結果。

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